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[摘 要]小学是一个人成长的最基础阶段，作为从一年级就开始学习的数学学科如何发挥“奠基”的作用？掌握知识、培植思维、孕育情感、发展人格是其中的应有之义。小学数学教学中，基于学科又超越学科，可以让这种“基础”价值表达得更加充分。
[关键词]图形几何 导引策略 思维困扰
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-059
小学教育是基础教育，作为“基础”的小学教育应该具有这样的特点：底面宽、底子实、后劲足。作为小学教育中的基础学科之一的小学数学教学，自然也应该将“底面宽、底子实、后劲足”的内涵具体化、学科化。底面宽，就是数学学习的各方面内容（知识的、技能的、方法的、思想的、经验的、思维的、情感的、行为的、外在的、内隐的……）都有所触及，得到基本而又全面的培养；底子实，就是各方面的发展达到规定的要求，没有“软肋”，没有“短板”，没有“漏洞”，热情高，兴趣浓；后劲足，就是为更高年级的数学学习、为未来的生活奠定数学知识、数学能力、数学思维的基础。
换个角度看，这种具体化、学科化也可以看成是小学数学的教育目标。
数学知识与数学技能方面的基础。小学数学教学是围绕小学数学课程的内容、目标而展开的，应该充分体现数学学科的特点、内涵和价值。张奠宙先生说，“数学教育，自然是以‘数学’内容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依据。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出 “让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”“了解数学的价值”等小学数学教学和数学学习的目标和重点，这些都十分突出地体现了向数学回归的改革方向。数学课要有数学的含金量，这是小学数学教学最基本的要求。
数学思考和数学思维方面的基础。郑毓信教授在《数学教育哲学》中提到，学好“数学”的关键则是“学会数学地思维”。不过，从数学教学或数学教育过程来看，又不能仅仅停留在“帮助学生学会数学地思维”，应更加强调“通过数学帮助学生学会思维”，即“将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来”，“用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学”。只有通过深入地揭示隐藏在具体数学知识内容背后的思维方法，才能真正做到将数学“讲活”“讲懂”“讲透”。
数学情感和数学品格的基础。数学课程标准在修订时特别强调，小学数学教学中最需要做的是：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动學生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”这段话中的关键词有“兴趣”、“积极性”、“数学思考”、“创造性思维”、“数学学习习惯”、“数学学习方法”。为什么不提数学“基础知识”“基本技能”，它们不重要？其实，这不是说“基础知识”“基本技能”不重要，而是说它们还排不到“最需要”的位置上。那为什么说兴趣、积极性等又是“最需要”的呢？因为它们在学生数学学习中具有很强的“催化”“助力”作用，并能产生长效，让学生在数学学习之路走得更长远，让他们的学习生活和生命成长更加精彩。不过，这些“最需要”做的恰恰也是最难做的，因为它们不可能像显性的知识和技能那样可以直接“教”，而是需要在知识和技能的学习中慢慢地去滋养、孕育、培植。
一、数学思考和数学思维贯穿在数学知识和数学技能的习得之中
数学知识往往以确定结论形式出现，这很容易形成一种错觉，那就是学习数学知识只要掌握那些确定的结论就行，比如，学习三角形，知道了“由三条线段围成的图形就是三角形”好像就学习了三角形；学习方程，知道了“含有未知数的等式叫做方程”就叫学习了方程。实际上，任何数学知识的形成都经历了一个历史发展与演变的过程，是“一项人类的活动”（弗赖登塔尔）。在数学思考和数学思维的作用下，数学知识和技能才逐渐形成并以确定的结论“定型”。弗赖登塔尔认为，“让学生重复人类发现数学的过程是可能的”，这和数学课程改革强调过程、关注过程性目标的达成是非常贴切的。对此，2002年出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》中就曾有这样的论述：这里的“过程”大体上要包括两个方面：①发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题。②在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理，从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学概念是怎样获得和应用的，通过这个过程学习和应用数学，在一个充满探索的过程中，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，学生从中感受发现的乐趣，增强学好数学的信心，形成应用意识、创新意识。
因而，突出数学知识和技能获得过程中的数学思考与数学思维就显得特别重要。这样的数学课才会更具“数学味”。
“圆的认识”是一节经典课，就其知识点而言比较简单，就是认识圆，了解它的特征，知道圆心、半径、直径及其相互间的关系。但是，名师专家在演绎时却异彩纷呈。华应龙老师从“小明寻宝”的问题研究开始引出圆——宝物藏在距离他左脚3米的地方，宝物可能在哪呢？张齐华老师让学生从长方形、正方形、梯形、椭圆形、圆形等图片袋中“摸”圆，然后谈谈为什么不会把长方形当成圆摸出来，为什么不会把椭圆当成圆摸出来，从而揭示圆的特征。朱乐平老师则出示自己的自画像，从不够“圆”的脸怎样变化就能变成滚圆的脸开始，逐步进入圆的特征学习。三种设计，三种思路，三种精彩，共同之处都是淡化学生对固化的概念的记忆，强化了学生对圆形特征的认识，尤其是将这种认识置于一种现实的、富有挑战的、广阔的图形背景之中，着重的是比较、分析、抽象、概括等数学思考，发展批判性、逻辑性的思维。这种自我领悟、自我调试、自我修正、自我批判、自我建构的学习能力正是小学生需要努力奠定的基础。 二、数学情感和数学品格需要数学思考和数学思维来滋养和孕育
唤起兴趣、乐于学习是引导儿童学习数学的第一要务。石中英在《教育哲学导论》中提醒我们：“学习知识对于人类而言不仅意味着实际的用途，也意味着理智的欢乐，所以课程的目的也不能仅仅局限于给予学习者一些实用的知识，而且也要能够给予他们一种理智的快乐—— 一种经过严肃认真的思考后豁然开朗的情感体验。这种理智的欢乐对于学习者的吸引力要超越任何外在的奖赏。尽管这种理智的欢乐超越任何实际的用途，但是它对于人类个体保持认真的积极性以及整个精神生活的健康来说是必不可少的。显而易见，没有这种理智上的欢乐，课程内容的学习就会变成一种有用但无趣的活动，变成一种不求甚解的机械记忆或练习，甚至变成一种沉重的负担，威胁到学生的身心健康。”作为数学教学而言，数学情怀的滋养不能离开基本的数学教学活动而存在，相反，它是和最日常的数学学习活动有机融合在一起的，并在日复一日、一堂课又一堂课的点化、熏染的累积中凝聚。用数学本身的魅力“打动”学生、吸引学生、发展学生、成就学生是每一个数学老师的责任，小学数学需要打好这样的重要“基础”。
曹培英老师说：“数学的每一个知识点几乎都有令人赞叹、激动的理由。或在知识本身，或在知识关联，或在知识应用，或在知识发现……只要我们去思考、去发掘都能找到，并以此打动学生。”当然，我们不必奢望每个学生都成为数学天才，将来成为数学大家，但是，我们应该努力让每个学生对数学都有这样一份感觉——领悟数学是怎么回事，知道数学知识、数学能力、数学思考对日常生活的重要作用，知晓数学的逻辑力量、严谨之美，对数学充满着热爱和敬畏。
三、小學数学的基础性还充分体现在它的阶段性、发展性、个体性
小学阶段可以说是人生求学最长的阶段，历时5～6年。讨论这一阶段的基础性，难度是比较大的，最突出的就是不能过于机械化和绝对化。毕竟，从6、7岁懵懂的小孩到12、13岁的少年，无论是身体、行为方面还是在心理、思维方面都有很大的飞跃。就小学数学学科而言，它的基础性还充分体现在它的阶段性、发展性、个体性。
所谓阶段性，从大的划分来看，小学相对于初中、高中、大学而言，是一个最初级阶段；从小的划分来看，小学有低段、中段、高段（或第一学段、第二学段）之分，每个阶段也都有它的独特性。这就使得同样是学图形，同样是学计算，不同的年级有不同的要求和特点。同样关注数学思考、培养数学思维、孕育数学情感，不同的年级应该有不同的表达，呈现出不同的姿态。那种不顾学生基础和实际硬是拔高要求、死拉硬拽的“超前”发展固然不可取，但是，一味地在浅层次徘徊、低水平发展也是应该摒弃的。
所谓发展性，就是教学要有一种“向未来”打开的无限可能。按照国家督学成尚荣先生在《人民教育》2013年第22期课改系列文章中观点，教学改革要“以学生学会学习为核心”，要着力于培养学生“不教而教”、“转识成慧”，这是一种“带得走”能力。小学数学要能为学生未来更好地学习数学，更好地学习，甚至于更好地生活做好铺垫，埋下“种子”。如果今天的数学学习不能对学生的未来产生积极的影响，只能是一种“应景之作”。
所谓个体性，就是每个学生在数学学习上表现出的差异。这种差异不仅是习惯上的，习性上的，还包括生理上的，情感上的。一百个人同唱一首歌，可能会唱出一百个水平，因为有人天生五音不全，有人天生就是“百灵鸟”。同样，在数学学习上，我们也应该看到有些学生形象思维能力强，有些学生思维有跳跃性，而有的学生总是显得很“木讷”，数感、符号意识、直观、抽象……好像和数学沾边的都不开窍，这都是很正常的。只要充分认识到儿童数学学习的具体差异，我们才会在课堂上努力寻找差异，并将差异转变为学习资源，进而在相互启迪、对话交流、共生发展中实现自身超越。
（责编 金 铃）
[关键词]图形几何 导引策略 思维困扰
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-059
小学教育是基础教育，作为“基础”的小学教育应该具有这样的特点：底面宽、底子实、后劲足。作为小学教育中的基础学科之一的小学数学教学，自然也应该将“底面宽、底子实、后劲足”的内涵具体化、学科化。底面宽，就是数学学习的各方面内容（知识的、技能的、方法的、思想的、经验的、思维的、情感的、行为的、外在的、内隐的……）都有所触及，得到基本而又全面的培养；底子实，就是各方面的发展达到规定的要求，没有“软肋”，没有“短板”，没有“漏洞”，热情高，兴趣浓；后劲足，就是为更高年级的数学学习、为未来的生活奠定数学知识、数学能力、数学思维的基础。
换个角度看，这种具体化、学科化也可以看成是小学数学的教育目标。
数学知识与数学技能方面的基础。小学数学教学是围绕小学数学课程的内容、目标而展开的，应该充分体现数学学科的特点、内涵和价值。张奠宙先生说，“数学教育，自然是以‘数学’内容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依据。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出 “让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”“了解数学的价值”等小学数学教学和数学学习的目标和重点，这些都十分突出地体现了向数学回归的改革方向。数学课要有数学的含金量，这是小学数学教学最基本的要求。
数学思考和数学思维方面的基础。郑毓信教授在《数学教育哲学》中提到，学好“数学”的关键则是“学会数学地思维”。不过，从数学教学或数学教育过程来看，又不能仅仅停留在“帮助学生学会数学地思维”，应更加强调“通过数学帮助学生学会思维”，即“将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来”，“用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学”。只有通过深入地揭示隐藏在具体数学知识内容背后的思维方法，才能真正做到将数学“讲活”“讲懂”“讲透”。
数学情感和数学品格的基础。数学课程标准在修订时特别强调，小学数学教学中最需要做的是：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动學生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”这段话中的关键词有“兴趣”、“积极性”、“数学思考”、“创造性思维”、“数学学习习惯”、“数学学习方法”。为什么不提数学“基础知识”“基本技能”，它们不重要？其实，这不是说“基础知识”“基本技能”不重要，而是说它们还排不到“最需要”的位置上。那为什么说兴趣、积极性等又是“最需要”的呢？因为它们在学生数学学习中具有很强的“催化”“助力”作用，并能产生长效，让学生在数学学习之路走得更长远，让他们的学习生活和生命成长更加精彩。不过，这些“最需要”做的恰恰也是最难做的，因为它们不可能像显性的知识和技能那样可以直接“教”，而是需要在知识和技能的学习中慢慢地去滋养、孕育、培植。
一、数学思考和数学思维贯穿在数学知识和数学技能的习得之中
数学知识往往以确定结论形式出现，这很容易形成一种错觉，那就是学习数学知识只要掌握那些确定的结论就行，比如，学习三角形，知道了“由三条线段围成的图形就是三角形”好像就学习了三角形；学习方程，知道了“含有未知数的等式叫做方程”就叫学习了方程。实际上，任何数学知识的形成都经历了一个历史发展与演变的过程，是“一项人类的活动”（弗赖登塔尔）。在数学思考和数学思维的作用下，数学知识和技能才逐渐形成并以确定的结论“定型”。弗赖登塔尔认为，“让学生重复人类发现数学的过程是可能的”，这和数学课程改革强调过程、关注过程性目标的达成是非常贴切的。对此，2002年出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》中就曾有这样的论述：这里的“过程”大体上要包括两个方面：①发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题。②在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理，从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学概念是怎样获得和应用的，通过这个过程学习和应用数学，在一个充满探索的过程中，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，学生从中感受发现的乐趣，增强学好数学的信心，形成应用意识、创新意识。
因而，突出数学知识和技能获得过程中的数学思考与数学思维就显得特别重要。这样的数学课才会更具“数学味”。
“圆的认识”是一节经典课，就其知识点而言比较简单，就是认识圆，了解它的特征，知道圆心、半径、直径及其相互间的关系。但是，名师专家在演绎时却异彩纷呈。华应龙老师从“小明寻宝”的问题研究开始引出圆——宝物藏在距离他左脚3米的地方，宝物可能在哪呢？张齐华老师让学生从长方形、正方形、梯形、椭圆形、圆形等图片袋中“摸”圆，然后谈谈为什么不会把长方形当成圆摸出来，为什么不会把椭圆当成圆摸出来，从而揭示圆的特征。朱乐平老师则出示自己的自画像，从不够“圆”的脸怎样变化就能变成滚圆的脸开始，逐步进入圆的特征学习。三种设计，三种思路，三种精彩，共同之处都是淡化学生对固化的概念的记忆，强化了学生对圆形特征的认识，尤其是将这种认识置于一种现实的、富有挑战的、广阔的图形背景之中，着重的是比较、分析、抽象、概括等数学思考，发展批判性、逻辑性的思维。这种自我领悟、自我调试、自我修正、自我批判、自我建构的学习能力正是小学生需要努力奠定的基础。 二、数学情感和数学品格需要数学思考和数学思维来滋养和孕育
唤起兴趣、乐于学习是引导儿童学习数学的第一要务。石中英在《教育哲学导论》中提醒我们：“学习知识对于人类而言不仅意味着实际的用途，也意味着理智的欢乐，所以课程的目的也不能仅仅局限于给予学习者一些实用的知识，而且也要能够给予他们一种理智的快乐—— 一种经过严肃认真的思考后豁然开朗的情感体验。这种理智的欢乐对于学习者的吸引力要超越任何外在的奖赏。尽管这种理智的欢乐超越任何实际的用途，但是它对于人类个体保持认真的积极性以及整个精神生活的健康来说是必不可少的。显而易见，没有这种理智上的欢乐，课程内容的学习就会变成一种有用但无趣的活动，变成一种不求甚解的机械记忆或练习，甚至变成一种沉重的负担，威胁到学生的身心健康。”作为数学教学而言，数学情怀的滋养不能离开基本的数学教学活动而存在，相反，它是和最日常的数学学习活动有机融合在一起的，并在日复一日、一堂课又一堂课的点化、熏染的累积中凝聚。用数学本身的魅力“打动”学生、吸引学生、发展学生、成就学生是每一个数学老师的责任，小学数学需要打好这样的重要“基础”。
曹培英老师说：“数学的每一个知识点几乎都有令人赞叹、激动的理由。或在知识本身，或在知识关联，或在知识应用，或在知识发现……只要我们去思考、去发掘都能找到，并以此打动学生。”当然，我们不必奢望每个学生都成为数学天才，将来成为数学大家，但是，我们应该努力让每个学生对数学都有这样一份感觉——领悟数学是怎么回事，知道数学知识、数学能力、数学思考对日常生活的重要作用，知晓数学的逻辑力量、严谨之美，对数学充满着热爱和敬畏。
三、小學数学的基础性还充分体现在它的阶段性、发展性、个体性
小学阶段可以说是人生求学最长的阶段，历时5～6年。讨论这一阶段的基础性，难度是比较大的，最突出的就是不能过于机械化和绝对化。毕竟，从6、7岁懵懂的小孩到12、13岁的少年，无论是身体、行为方面还是在心理、思维方面都有很大的飞跃。就小学数学学科而言，它的基础性还充分体现在它的阶段性、发展性、个体性。
所谓阶段性，从大的划分来看，小学相对于初中、高中、大学而言，是一个最初级阶段；从小的划分来看，小学有低段、中段、高段（或第一学段、第二学段）之分，每个阶段也都有它的独特性。这就使得同样是学图形，同样是学计算，不同的年级有不同的要求和特点。同样关注数学思考、培养数学思维、孕育数学情感，不同的年级应该有不同的表达，呈现出不同的姿态。那种不顾学生基础和实际硬是拔高要求、死拉硬拽的“超前”发展固然不可取，但是，一味地在浅层次徘徊、低水平发展也是应该摒弃的。
所谓发展性，就是教学要有一种“向未来”打开的无限可能。按照国家督学成尚荣先生在《人民教育》2013年第22期课改系列文章中观点，教学改革要“以学生学会学习为核心”，要着力于培养学生“不教而教”、“转识成慧”，这是一种“带得走”能力。小学数学要能为学生未来更好地学习数学，更好地学习，甚至于更好地生活做好铺垫，埋下“种子”。如果今天的数学学习不能对学生的未来产生积极的影响，只能是一种“应景之作”。
所谓个体性，就是每个学生在数学学习上表现出的差异。这种差异不仅是习惯上的，习性上的，还包括生理上的，情感上的。一百个人同唱一首歌，可能会唱出一百个水平，因为有人天生五音不全，有人天生就是“百灵鸟”。同样，在数学学习上，我们也应该看到有些学生形象思维能力强，有些学生思维有跳跃性，而有的学生总是显得很“木讷”，数感、符号意识、直观、抽象……好像和数学沾边的都不开窍，这都是很正常的。只要充分认识到儿童数学学习的具体差异，我们才会在课堂上努力寻找差异，并将差异转变为学习资源，进而在相互启迪、对话交流、共生发展中实现自身超越。
（责编 金 铃）