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摘要：光的折射、全反射问题是高中物理的经典问题，也是重点问题。针对一道光学考题中学生出现的问题，教师可以在新课或复习中引入光程的概念，运用费马原理证明光的反射和折射定律，帮助学生深入理解该定律。
关键词：高中物理 光学 教学建议
光的反射定律与全反射现象是人教版选择性必修第一册第四章《光》的重点内容，也是高考中选修3-4常考察的知识点。光学系统本身性质复杂，学生一般机械记忆，很难深入理解其内涵，造成实际使用出错。本文借助光程的概念，几何证明了光的折射定律，解释全反射现象，筑牢几何光学的根基，为大学物理的学习奠定基础。
一、问题再现，找到症结
问题 梅溪湖激光喷泉是国内最长的音乐激光喷泉，它利用先进的灯光影像设备，呈现出震撼人心的水光世界。喷泉的水池中某一射灯发出一细光束，光线射到水面上，入射的角度α=37°，从水面上出射的角度γ=53°。
（ⅰ）求光在水面上发生全反射的临界角;
（ⅱ）该射灯（看作点光源）位于水面下h=7 m处，求射灯照亮的水面面积（结果保留两位有效数字）。
该题为2020年合肥市二模第34题第二问，满分10分。当时有4130人作答，平均分5.58，属于较易题，主要考查全反射概念的理解、全反射折射模型的建构、应用数学运算解决物理问题等，重点落实物理观念、科学思维的考查。然而在阅卷中，我们发现部分学生出现以下问题：
错解 根据折射定律得sinαsinγ=n=34，由公式sinC=n得到临界角C=arcsin34
二模后，笔者与学生交流得知：学生只知道折射定律的公式是sinθ1sinθ2=n，θ1表示入射角，θ2表示折射角，n代表折射率。如果n是相对折射率也没有问题，但高中阶段教材上给的n是绝对折射率，简称折射率，后面全反射现象“临界角C与折射率的关系sinC=1n”中n也是指绝对折射率。学生若只是机械记忆折射定律的公式，就会在应用中出现较大问题。
二、教学改进，突破难点
人教版选修第一册通过“荷兰数学家斯涅耳在1621年前后做了大量实验，在分析前人及自己的实验数据后，给出了入射角和折射角的关系，我们称之为光的折射定律”直接给出折射定律，学生通过机械记忆被动地接受定律，效果可想而知。我们不妨在教学中引入光程的概念以证明折射定律和反射定律，帮助学生系统地学习几何光学。
光程是指折射率与路程的乘积，用符号Δ表示：
Δ=nr，n为介质折射率，r为路程。
我们可以把光程理解为在相同时间内光在真空中通过的路程，它是一个折合量，在同样的传播时间或相位不变的条件下，把光在介质中传播的路程转变为光在真空中传播的路程。
无论折射定律还是反射定律，都是费马原理的推导，其实质就是光的折射路径和反射路径总是沿着光程最短的方向。下面我们针对折射定律做一个简单的证明：
如图1所示，光从折射率为n1的物质1经过O1点进入折射率为n2的物质2，入射角为α折射角为β。另一与之平行的光从O2点进入，多的光程为n1·AO2，进入物质2后，少的光程为n2·O1B，二者应相等。由几何关系知∠AO1O2=α，
∠O1O2B=β，n1·AO2=n2·O1Bn1·O1O2·sinα=n2·O1O2·sinβn1·sinα=n2·sinβ，可以得到sinαsinβ=n2n1
折射定律得证。
若物质1为真空，折射定律可写为sinαsinβ=n，此为高中物理课本给出的折射定律表达式。
我们也可以这样理解：当光从光疏介质射入光密介质，因为光程最短的约束，光线会往法线方向偏移，直观的反映就是介质中的路程变短，如图2所示。通过这一性质可以帮助学生理解和记忆折射定律。
同理，可以证明反射定律：
位于同一介质中的入射光线与反射光线光程间的关系与实际距离间的关系是相同的，所以只要考虑实际距离间的关系即可。如图3所示，O点为AB的中垂线与物质分界面的交点，假设光路沿着如图AN到NB的路线，由三角形两边之和大于第三边的性质可知，AO到OB为光程最短的路径。关于法线，入射光线和反射光线是对称的，反射角与入射角相等，反射定律得证。
全反射现象是指光从光密介质进入光疏介质时，光线全部被反射回原介质内的现象。也就是说，当入射角大到一定值（临界值）时，我们发现只有反射光线，没有折射光线，如果借助光程很容易理解这个现象：
光密介质折射率较大，光疏介质折射率较小，受光程最小的约束，出射角大于入射角，随着入射角的增大，出射光线就要向偏离法线方向移动，当出射角为90°，将没有出射光线，此时入射角的值称为临界角，用C表示。当光疏介质为真空或空气时，发生全反射的临界角C和光密介质的折射率n的关系，可表示为sinαsinβ=n2n1sinC=1n。
三、迁移应用，提升能力
引入光程，通过几何关系推导出折射定律，解释了全反射现象，帮助学生理解其内涵。学生在实际中可以迁移应用，提升自身能力，实现物理学科素养的提高。如2020年全国Ⅱ卷第34题：
直角棱镜的折射率n=1.5，其横截面如图4所示，图中∠C=90°，∠A=30°。截面内一细束与BC边平行的光线，从棱镜AB边上的D点射入，经折射后射到BC边上。
（ⅰ）光线在BC边上是否会发生全反射？说明理由;
（ⅱ）不考虑多次反射，求AC边的出射光线与AB边的入射光线夹角的正弦值。
理解了全反射思想的内涵，只要计算出光从棱镜射入空气发生全反射的临界角C，就可以判断出是否发生全反射;而第ⅱ小问，学生只要正确运用折射定律n1·sinα=n2·sinβ就可以解答。
解析：（ⅰ）如图，入射角记为i，折射角记为r。折射光线与BC边的交点记为E点。设光线在E点的入射角为θ，由几何关系，有
θ=90°-（30°-r）>60°
根据题给数据得
sinθ>sin60°>1n
即θ大于全反射临界角，因此光线在E点发生全反射。
（ⅱ）AC边上的出射点记为F，出射角记为r′，入射角记为i′，由关系图、反射定律及折射定律，有
i=30°
i′=90°-θ
sini=nsinr
nsini′=sinr′
联立并代入题给数据，得
sinr′=22-34
由几何关系，r′即AC边的出射光线与AB边的入射光线的夹角。
参考文獻：
[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.物理·选修·第一册[M].北京：人民教育出版社，2019：81.
[2]姚启钧.光学教程-第4版[M].北京：高等教育出版社，2008：15.
[3]李开玮.光的反射与折射定律的两种证明与联想[J].南方农机，2020，51（09）：200-202.
关键词：高中物理 光学 教学建议
光的反射定律与全反射现象是人教版选择性必修第一册第四章《光》的重点内容，也是高考中选修3-4常考察的知识点。光学系统本身性质复杂，学生一般机械记忆，很难深入理解其内涵，造成实际使用出错。本文借助光程的概念，几何证明了光的折射定律，解释全反射现象，筑牢几何光学的根基，为大学物理的学习奠定基础。
一、问题再现，找到症结
问题 梅溪湖激光喷泉是国内最长的音乐激光喷泉，它利用先进的灯光影像设备，呈现出震撼人心的水光世界。喷泉的水池中某一射灯发出一细光束，光线射到水面上，入射的角度α=37°，从水面上出射的角度γ=53°。
（ⅰ）求光在水面上发生全反射的临界角;
（ⅱ）该射灯（看作点光源）位于水面下h=7 m处，求射灯照亮的水面面积（结果保留两位有效数字）。
该题为2020年合肥市二模第34题第二问，满分10分。当时有4130人作答，平均分5.58，属于较易题，主要考查全反射概念的理解、全反射折射模型的建构、应用数学运算解决物理问题等，重点落实物理观念、科学思维的考查。然而在阅卷中，我们发现部分学生出现以下问题：
错解 根据折射定律得sinαsinγ=n=34，由公式sinC=n得到临界角C=arcsin34
二模后，笔者与学生交流得知：学生只知道折射定律的公式是sinθ1sinθ2=n，θ1表示入射角，θ2表示折射角，n代表折射率。如果n是相对折射率也没有问题，但高中阶段教材上给的n是绝对折射率，简称折射率，后面全反射现象“临界角C与折射率的关系sinC=1n”中n也是指绝对折射率。学生若只是机械记忆折射定律的公式，就会在应用中出现较大问题。
二、教学改进，突破难点
人教版选修第一册通过“荷兰数学家斯涅耳在1621年前后做了大量实验，在分析前人及自己的实验数据后，给出了入射角和折射角的关系，我们称之为光的折射定律”直接给出折射定律，学生通过机械记忆被动地接受定律，效果可想而知。我们不妨在教学中引入光程的概念以证明折射定律和反射定律，帮助学生系统地学习几何光学。
光程是指折射率与路程的乘积，用符号Δ表示：
Δ=nr，n为介质折射率，r为路程。
我们可以把光程理解为在相同时间内光在真空中通过的路程，它是一个折合量，在同样的传播时间或相位不变的条件下，把光在介质中传播的路程转变为光在真空中传播的路程。
无论折射定律还是反射定律，都是费马原理的推导，其实质就是光的折射路径和反射路径总是沿着光程最短的方向。下面我们针对折射定律做一个简单的证明：
如图1所示，光从折射率为n1的物质1经过O1点进入折射率为n2的物质2，入射角为α折射角为β。另一与之平行的光从O2点进入，多的光程为n1·AO2，进入物质2后，少的光程为n2·O1B，二者应相等。由几何关系知∠AO1O2=α，
∠O1O2B=β，n1·AO2=n2·O1Bn1·O1O2·sinα=n2·O1O2·sinβn1·sinα=n2·sinβ，可以得到sinαsinβ=n2n1
折射定律得证。
若物质1为真空，折射定律可写为sinαsinβ=n，此为高中物理课本给出的折射定律表达式。
我们也可以这样理解：当光从光疏介质射入光密介质，因为光程最短的约束，光线会往法线方向偏移，直观的反映就是介质中的路程变短，如图2所示。通过这一性质可以帮助学生理解和记忆折射定律。
同理，可以证明反射定律：
位于同一介质中的入射光线与反射光线光程间的关系与实际距离间的关系是相同的，所以只要考虑实际距离间的关系即可。如图3所示，O点为AB的中垂线与物质分界面的交点，假设光路沿着如图AN到NB的路线，由三角形两边之和大于第三边的性质可知，AO到OB为光程最短的路径。关于法线，入射光线和反射光线是对称的，反射角与入射角相等，反射定律得证。
全反射现象是指光从光密介质进入光疏介质时，光线全部被反射回原介质内的现象。也就是说，当入射角大到一定值（临界值）时，我们发现只有反射光线，没有折射光线，如果借助光程很容易理解这个现象：
光密介质折射率较大，光疏介质折射率较小，受光程最小的约束，出射角大于入射角，随着入射角的增大，出射光线就要向偏离法线方向移动，当出射角为90°，将没有出射光线，此时入射角的值称为临界角，用C表示。当光疏介质为真空或空气时，发生全反射的临界角C和光密介质的折射率n的关系，可表示为sinαsinβ=n2n1sinC=1n。
三、迁移应用，提升能力
引入光程，通过几何关系推导出折射定律，解释了全反射现象，帮助学生理解其内涵。学生在实际中可以迁移应用，提升自身能力，实现物理学科素养的提高。如2020年全国Ⅱ卷第34题：
直角棱镜的折射率n=1.5，其横截面如图4所示，图中∠C=90°，∠A=30°。截面内一细束与BC边平行的光线，从棱镜AB边上的D点射入，经折射后射到BC边上。
（ⅰ）光线在BC边上是否会发生全反射？说明理由;
（ⅱ）不考虑多次反射，求AC边的出射光线与AB边的入射光线夹角的正弦值。
理解了全反射思想的内涵，只要计算出光从棱镜射入空气发生全反射的临界角C，就可以判断出是否发生全反射;而第ⅱ小问，学生只要正确运用折射定律n1·sinα=n2·sinβ就可以解答。
解析：（ⅰ）如图，入射角记为i，折射角记为r。折射光线与BC边的交点记为E点。设光线在E点的入射角为θ，由几何关系，有
θ=90°-（30°-r）>60°
根据题给数据得
sinθ>sin60°>1n
即θ大于全反射临界角，因此光线在E点发生全反射。
（ⅱ）AC边上的出射点记为F，出射角记为r′，入射角记为i′，由关系图、反射定律及折射定律，有
i=30°
i′=90°-θ
sini=nsinr
nsini′=sinr′
联立并代入题给数据，得
sinr′=22-34
由几何关系，r′即AC边的出射光线与AB边的入射光线的夹角。
参考文獻：
[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.物理·选修·第一册[M].北京：人民教育出版社，2019：81.
[2]姚启钧.光学教程-第4版[M].北京：高等教育出版社，2008：15.
[3]李开玮.光的反射与折射定律的两种证明与联想[J].南方农机，2020，51（09）：200-202.