不等式作为高中数学知识中的重要组成部分，也成为了解决数学问题的必要工具；例如：平均值不等式的应用，一元二次不等式的应用，以及指数函数、对数函数中常常涉及的比较大小的问题等等；但是由于高中课本中对不等式本身知识要求亦不高，故而我们见到的不等式不多，对不等式所拥有的性质了解更不深，所以许多常见常用的性质需要我们去发掘，去学习！
　　我们在生活中也常遇到诸如： 与 的大小问题， 与 ，都是些关于正整数问题、指数型的大小问题，此类问题中的大小关系如何判定，其中所蕴含的性质又有哪些，也成为了解决它们的大小关系后所应该引起我们思考的问题！下面我就在证明这个不等式过程中得出了结论与性质功与大家共勉，不当之处，望批评指正.
　　一、不等式的证明
　　1、
　　证明：设 ，则 ，又 ，即 ，那么 ，故有： ，则 ，当且仅当 时取“=”，当 时， ，故有 ，则 .
　　2、同理可证
　　二、不等式的推广
　　推广：
　　证明：设
　　， ，则
　　有 在上 上为减函数 ，
　　故 ，当 时，有 ，即 ， ，则 ，则 得证.
　　所以形如： 与 ， 与 的大小都能判定了！
　　三、不等式的性质
　　1、
　　证明： （已证）
　　，即 ，有 得证.
　　2、 证明： （已证） ，即 ，有 得证.
　　3、 证明：由 则 ， ， 即 得证.
　　推论：
　　证明： ，故有 ，同理 ，则 得证.
　　综上仅对关于整数底数，指数的一些简单问题进行了思考，不等式还有许多性质，期待着大家去发现，去学习，更好地成为我们学习的工具，以上几点就是对一个简单不等式的思考！希望能与读者共飨，得到更多的性质！.