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（沈阳市第七十六中学）
[摘要]笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，听了四位老师上的同一节课，即北师大版第四章第三节《菱形》一节，其中就张杰老师的课与大家共同分享并谈一些个人看法。
[关键词]数学思想 基本元素 特例 类比
10月12日笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，有幸听了来自不同四城市的四位教师上的同一节课，即北师大版八年级上册第四章第三节《菱形》一节，同一节课，不同的教学设计，不同的精彩，引发笔者深入的思考。尤其对来自大连市的张杰老师的课印象深刻。这节课张杰老师将数学思想运用恰到好处，笔者就此一点来和大家共同分享张杰教师的精彩教学。
一、教学实录
本节课的教学目标：
知识目标：理解菱形的概念，探索菱形的性质并能应用它们解决一些简单的数学问题。
能力目标：经历探索菱形的性质的过程，丰富数学活动经验和体验，同时进一步了解和体会说理的基本方法。
情感态度目标：在操作活动过程和观察分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识。
教学重点：菱形的性质方法。
教学难点：探索菱形的性质的过程。
教学方法和手段：发现式学习法
教学过程：
第一环节——设置情境，引入课题
师：上节课我们学习了平行四边形，了解了些什么？
生：我们学习了平行四边形的性质，从边的角度看，平行四边形两组对边分别相等；从角的角度看，平行四边形两组对角分别相等；从对角线的角度看，平行四边形的对角线互相平分。
生：还学习了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
生：我们还学习了平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
师：这些知识都是从哪些方面研究的？
生：边、角、对角线。
师：为什么？
（学生满脸疑惑，没有回答。）
师：边、角、对角线是四边形的基本元素。三角形也有基本元素：边和角。因此，考察基本元素是研究几何的方法之一。
（师边讲边板书。）
师：为什么要把四边形的学习放在这一位置呢？
生：因为它特殊。
师：对，所以考察特例是我们学习几何的又一研究方法。三角形考察了哪些特例？
生：等腰、等边三角形。
生：直角三角形。
生：还有等腰直角三角形。
师：这些特例是从哪些基本元素上来特殊的？
生：等腰、等边三角形，从边上特殊的；直角三角形，是从角上特殊的；等腰直角三角形，是从边和角上同时特殊的。
师：四边形基本采用了哪些方法？
生：大多采用了全等。
师：这是转化方法。
（板书：转化。）
师：复习就到这里。
屏幕演示：
师：四边形是怎样特殊化成为平行四边形的？平行四边形特殊化可成为什么？
生：四边形两组对边分别平行特化成平行四边形。
生：平行四边形边特殊化可成为菱形。
生：平行四边形角特殊化可成为矩形。
生：从边、角上同时特殊化可成为正方形。
师：这节课我们就来学习菱形。什么是菱形呢？
（板书：菱形。）
生：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（板书：菱形定义。）
第二环节：思考探究，体验成功
师：分析定义：平行四边形与菱形关系。
生：包涵关系。
师：菱形会有什么性质？
生：一定具有平行四边形的性质。
（板书：一般特点。）
师：它还有特殊性质，对于它的特殊性质，请同学们进行探究。
师：请同学们看备用小卷。
活动一：探究菱形性质。
用现有的两个菱形，用各种方法进行探究。
（学生四人一组，有用圆规、直尺、量角器测量的，有推理证明的，有互相交流讨论的。老师参与其中，时而与学生讨论，时而给予鼓励。）
师：下面我们汇报结果，为了给更多同学机会，每组同学只说一条性质。
生：如图：因为AB=AD，根据三线合一，AC与BD垂直。
生：证明有问题，应先证明BO=DO。
生（齐）：对。
生：我来证明对角线平分一组对角。接前一个同学三线合一的证明，就可证明每一条对角线平分一组对角。
生：定义也是性质，所以四条边都相等。
生：菱形是轴对称图形，因为两侧图形能全等。
师：全等就是轴对称图形吗？
生（齐）：不一定。
师：怎么证明呢？老师借你一个道具。（将一个准备好的菱形递给学生，学生将图形沿对角线折叠，发现能够重合。）
师：很好的证明。对称轴是什么？
生：对角线。
（很多同学举手。）
生：对角线所在的直线为对称轴。
师：我们来归纳一下菱形的性质吧！
生：菱形四条边都相等，菱形对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，菱形是一个轴对称图形。
（生归纳，师板演。）
师：看小卷第二题。
练习：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。
（1）图中有哪些相等线段？有哪些相等的角？为什么？
（2）图中有哪些特殊三角形？它们之间有怎样关系？
（3）若∠DAB=60°，AB=2，求对角线AC、BD的长。
（学生分组讨论，师巡视。）
师：我们来交流一下。 生：相等的线段有：AB=BC=CD=DA，因为四条边都相等；AO=CO；BO=DO，因为对角线互相平分。
生：相等的角有：∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，每条对角线平分一组对角；∠AOD=∠AOB=∠COB∠=DOC，对角线互相垂直；∠ABC=∠ADC；∠BAD=∠DCB，平行四边形对角相等。 生：直角三角形有△AOD、△AOB、△DOC、△BOC；等腰三角形有△ABD、△CBD、△ADC、△ABC。
师：这些三角形之间有什么特殊关系？
生：四个直角三角形都全等。
△ABD和△CBD全等。
△ADC和△ABC全等。
可通过轴对称证明。
二、教学评价
纵观整节课，张杰老师的课让人耳目一新，让我感受颇多，就此谈一些个人想法。张杰老师的课最大的一个特点就是数学方法和数学思想在教学中的渗透与应用，有有以下两大亮点：
1.数学思想无处不在。
复习旧知，讲授新知，归纳小结都时时渗透着数学思想，在复习旧知中首先复习了上一节课所学习到的数学思想方法，为本节课小结奠定了基础。以此为契机，引导学生对菱形的性质进行探索，巩固上节所学的数学思想，也让学生知道新知识如何进行研究，为学生的学习起到“导”的作用，拿拈得恰到好处。而在归纳小结时，不仅让学生对知识进行总结，同时对思想方法进行总结。
2.数学思想和知识有机组合
数学思想是数学的灵魂，能够运用数学思想去驾驭知识，才真正学到了数学的精髓，张杰老师正是努力尝试让学生用数学的灵魂来驾驭数学知识。在理科的教学中，让人有了一种读散文的感受，“形散而神不散”。本节课要研究的是菱形的性质，性质有很多，如何去研究？那就是特例与元素方法组合，让学生知道这节课实验、猜想、操作、证明都是围绕着什么展开的，不论这节课讲了多少内容，但有一条主线将它们连接起来，这样课，无疑是很容易让学生掌握的，让学生体会了“万变不离其宗”的含义，对几何的学习有了更深入的理解，无外乎从基本元素的角度来进行特殊化。
三、教学启示
在教学过程中笔者经常发现这样的现象，有些问题老师一讲，学生就说：“我会了，太简单了，老师，可是为什么我自己想不出来呢？”是啊！知识点，讲过了，为什么学生不能独立解决问题呢？除了缺少练习之外，还有一个更重要的原因：教师如何教会学生解决问题的方法。听了张杰老师的课，笔者得到一些启示：
1.教学是一门艺术，没有止境
张杰老师能够把教学思想和数学知识如此恰到好处的运用，让笔者感觉到学无止境。有句话：“没有教不会的学生，只有不会教的老师。”说得便是老师教的艺术，教材中的知识点是固定的，但每个人挖掘的深度是不同的。按照教材的安排，菱形一章是以生活实例引入菱形定义，又以一道小题为探究材料，探究菱形的性质。而张杰老师重新整合教材，站在纵观全章的角度来引领学生学习，给人一种“一览众山小”的感觉。在这里感觉书真的变薄了，四边形就是从边、角上进行特殊化的过程。在本节课中，除了要学会菱形的定义和性质，还学会怎样去思考问题，这节课，对于学生来说，收获是丰硕的。因此，让学生获得一碗水，就需要老师有一桶水。不要因为有了几年的教学经验，就在那周而复始地去做教书匠，教学有无穷的东西让你去琢磨，只有走进去，才能体会教学的艺术佳境。
2.初中数学也要重视数学思想的渗透
张杰老师的表演无疑是一个很好的例子，让笔者看到能够恰到好处地运用数学方法，会让学生学会如何去学习数学，并为以后的教学起到事半功倍的作用，也为学生的长久发展打下基础。不要认为初中生太小了，不能理解，关键在于何时，用怎样的方法去渗透数学思想。
[摘要]笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，听了四位老师上的同一节课，即北师大版第四章第三节《菱形》一节，其中就张杰老师的课与大家共同分享并谈一些个人看法。
[关键词]数学思想 基本元素 特例 类比
10月12日笔者参加了东北三省四城市数学研讨会，有幸听了来自不同四城市的四位教师上的同一节课，即北师大版八年级上册第四章第三节《菱形》一节，同一节课，不同的教学设计，不同的精彩，引发笔者深入的思考。尤其对来自大连市的张杰老师的课印象深刻。这节课张杰老师将数学思想运用恰到好处，笔者就此一点来和大家共同分享张杰教师的精彩教学。
一、教学实录
本节课的教学目标：
知识目标：理解菱形的概念，探索菱形的性质并能应用它们解决一些简单的数学问题。
能力目标：经历探索菱形的性质的过程，丰富数学活动经验和体验，同时进一步了解和体会说理的基本方法。
情感态度目标：在操作活动过程和观察分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识。
教学重点：菱形的性质方法。
教学难点：探索菱形的性质的过程。
教学方法和手段：发现式学习法
教学过程：
第一环节——设置情境，引入课题
师：上节课我们学习了平行四边形，了解了些什么？
生：我们学习了平行四边形的性质，从边的角度看，平行四边形两组对边分别相等；从角的角度看，平行四边形两组对角分别相等；从对角线的角度看，平行四边形的对角线互相平分。
生：还学习了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
生：我们还学习了平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
师：这些知识都是从哪些方面研究的？
生：边、角、对角线。
师：为什么？
（学生满脸疑惑，没有回答。）
师：边、角、对角线是四边形的基本元素。三角形也有基本元素：边和角。因此，考察基本元素是研究几何的方法之一。
（师边讲边板书。）
师：为什么要把四边形的学习放在这一位置呢？
生：因为它特殊。
师：对，所以考察特例是我们学习几何的又一研究方法。三角形考察了哪些特例？
生：等腰、等边三角形。
生：直角三角形。
生：还有等腰直角三角形。
师：这些特例是从哪些基本元素上来特殊的？
生：等腰、等边三角形，从边上特殊的；直角三角形，是从角上特殊的；等腰直角三角形，是从边和角上同时特殊的。
师：四边形基本采用了哪些方法？
生：大多采用了全等。
师：这是转化方法。
（板书：转化。）
师：复习就到这里。
屏幕演示：
师：四边形是怎样特殊化成为平行四边形的？平行四边形特殊化可成为什么？
生：四边形两组对边分别平行特化成平行四边形。
生：平行四边形边特殊化可成为菱形。
生：平行四边形角特殊化可成为矩形。
生：从边、角上同时特殊化可成为正方形。
师：这节课我们就来学习菱形。什么是菱形呢？
（板书：菱形。）
生：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（板书：菱形定义。）
第二环节：思考探究，体验成功
师：分析定义：平行四边形与菱形关系。
生：包涵关系。
师：菱形会有什么性质？
生：一定具有平行四边形的性质。
（板书：一般特点。）
师：它还有特殊性质，对于它的特殊性质，请同学们进行探究。
师：请同学们看备用小卷。
活动一：探究菱形性质。
用现有的两个菱形，用各种方法进行探究。
（学生四人一组，有用圆规、直尺、量角器测量的，有推理证明的，有互相交流讨论的。老师参与其中，时而与学生讨论，时而给予鼓励。）
师：下面我们汇报结果，为了给更多同学机会，每组同学只说一条性质。
生：如图：因为AB=AD，根据三线合一，AC与BD垂直。
生：证明有问题，应先证明BO=DO。
生（齐）：对。
生：我来证明对角线平分一组对角。接前一个同学三线合一的证明，就可证明每一条对角线平分一组对角。
生：定义也是性质，所以四条边都相等。
生：菱形是轴对称图形，因为两侧图形能全等。
师：全等就是轴对称图形吗？
生（齐）：不一定。
师：怎么证明呢？老师借你一个道具。（将一个准备好的菱形递给学生，学生将图形沿对角线折叠，发现能够重合。）
师：很好的证明。对称轴是什么？
生：对角线。
（很多同学举手。）
生：对角线所在的直线为对称轴。
师：我们来归纳一下菱形的性质吧！
生：菱形四条边都相等，菱形对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，菱形是一个轴对称图形。
（生归纳，师板演。）
师：看小卷第二题。
练习：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。
（1）图中有哪些相等线段？有哪些相等的角？为什么？
（2）图中有哪些特殊三角形？它们之间有怎样关系？
（3）若∠DAB=60°，AB=2，求对角线AC、BD的长。
（学生分组讨论，师巡视。）
师：我们来交流一下。 生：相等的线段有：AB=BC=CD=DA，因为四条边都相等；AO=CO；BO=DO，因为对角线互相平分。
生：相等的角有：∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，每条对角线平分一组对角；∠AOD=∠AOB=∠COB∠=DOC，对角线互相垂直；∠ABC=∠ADC；∠BAD=∠DCB，平行四边形对角相等。 生：直角三角形有△AOD、△AOB、△DOC、△BOC；等腰三角形有△ABD、△CBD、△ADC、△ABC。
师：这些三角形之间有什么特殊关系？
生：四个直角三角形都全等。
△ABD和△CBD全等。
△ADC和△ABC全等。
可通过轴对称证明。
二、教学评价
纵观整节课，张杰老师的课让人耳目一新，让我感受颇多，就此谈一些个人想法。张杰老师的课最大的一个特点就是数学方法和数学思想在教学中的渗透与应用，有有以下两大亮点：
1.数学思想无处不在。
复习旧知，讲授新知，归纳小结都时时渗透着数学思想，在复习旧知中首先复习了上一节课所学习到的数学思想方法，为本节课小结奠定了基础。以此为契机，引导学生对菱形的性质进行探索，巩固上节所学的数学思想，也让学生知道新知识如何进行研究，为学生的学习起到“导”的作用，拿拈得恰到好处。而在归纳小结时，不仅让学生对知识进行总结，同时对思想方法进行总结。
2.数学思想和知识有机组合
数学思想是数学的灵魂，能够运用数学思想去驾驭知识，才真正学到了数学的精髓，张杰老师正是努力尝试让学生用数学的灵魂来驾驭数学知识。在理科的教学中，让人有了一种读散文的感受，“形散而神不散”。本节课要研究的是菱形的性质，性质有很多，如何去研究？那就是特例与元素方法组合，让学生知道这节课实验、猜想、操作、证明都是围绕着什么展开的，不论这节课讲了多少内容，但有一条主线将它们连接起来，这样课，无疑是很容易让学生掌握的，让学生体会了“万变不离其宗”的含义，对几何的学习有了更深入的理解，无外乎从基本元素的角度来进行特殊化。
三、教学启示
在教学过程中笔者经常发现这样的现象，有些问题老师一讲，学生就说：“我会了，太简单了，老师，可是为什么我自己想不出来呢？”是啊！知识点，讲过了，为什么学生不能独立解决问题呢？除了缺少练习之外，还有一个更重要的原因：教师如何教会学生解决问题的方法。听了张杰老师的课，笔者得到一些启示：
1.教学是一门艺术，没有止境
张杰老师能够把教学思想和数学知识如此恰到好处的运用，让笔者感觉到学无止境。有句话：“没有教不会的学生，只有不会教的老师。”说得便是老师教的艺术，教材中的知识点是固定的，但每个人挖掘的深度是不同的。按照教材的安排，菱形一章是以生活实例引入菱形定义，又以一道小题为探究材料，探究菱形的性质。而张杰老师重新整合教材，站在纵观全章的角度来引领学生学习，给人一种“一览众山小”的感觉。在这里感觉书真的变薄了，四边形就是从边、角上进行特殊化的过程。在本节课中，除了要学会菱形的定义和性质，还学会怎样去思考问题，这节课，对于学生来说，收获是丰硕的。因此，让学生获得一碗水，就需要老师有一桶水。不要因为有了几年的教学经验，就在那周而复始地去做教书匠，教学有无穷的东西让你去琢磨，只有走进去，才能体会教学的艺术佳境。
2.初中数学也要重视数学思想的渗透
张杰老师的表演无疑是一个很好的例子，让笔者看到能够恰到好处地运用数学方法，会让学生学会如何去学习数学，并为以后的教学起到事半功倍的作用，也为学生的长久发展打下基础。不要认为初中生太小了，不能理解，关键在于何时，用怎样的方法去渗透数学思想。