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摘要：问题表征是解题过程的起点，能否把数学问题的表征完善，决定着学生的解题能力. 本文从学生知识的存贮、认知的心理机制、思维能力等因素入手，讨论在解题的过程中如何进行思维模式的拓展、知识的迁移和重组、数学表征系统重新构建，从而完善学生的数学问题表征系统，提高解题能力.
关键词：问题；表征；解题；起点
在任何解题活动中，问题在人们头脑中的呈现形式是解题的开端，美国著名的认知心理学家和人工智能的创始人Herert A.Simon曾说：“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现的，如何表现出来的.” 问题表征是指解题者通过审题，认识和了解课题的结构；通过联想，激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象. 按照波利亚的《怎样解题表》中解题的思维过程，首先是弄清问题，即了解未知数是什么；已知数据是什么；条件是什么；满足条件是否可能；要确定未知数，条件是否充分；或者它是否不充分；或者是多余的；或者是矛盾的；它实际上是引导解题者如何形成问题的表征. 所以，问题表征是解题过程的起点，发挥着至关重要的作用. 我们有必要研究解题者在解题的起点时的问题表征，才能更好地指导学生的解题思维，为进一步解题提供明确的方向.
下面是高三复习考试中的一题，我们从学生的解法中理解其在解题活动中的心理机制.
例1 已知点B是直线l：x=-8（y≠0）上的动点，点F（-2，0），A是BF上一点，且■＝■，过B与y轴垂直的直线交过点A的直线于点M，且直线MA是∠BMF的角平分线，求点M的轨迹方程.
分析一设B点坐标为（-8，b）（b≠0），M（x0，y0），由■＝■，得A-4，■，获得直线BM与MF的方程，根据角平分线的性质，A点到直线BM与直线MF的距离相等，建立等式，化简即可.
简评一解题主体在理解题意后运用了思维的内部材料，即已有的解题知识和习惯对问题形成了引入参数和利用直线的方程的思路，在内部环境与外部环境结合后，初步做出评价，利用角平分线的性质得到各种关联的表征，从而获得了解题思路.
分析二在上述解法中，学生会感到运算过程烦琐，于是进一步分析角平分线的另一个性质，即■=■=■，联想到圆锥曲线的第二定义，得出M的轨迹方程为椭圆，进一步设椭圆方程为■+■=1（a>b>0），F为焦点，l为准线，从而求出轨迹方程为■+■=1（y≠0）.
简评二解题主体思维再次发展，根据自己的解题经验，发现其比例关系与圆锥曲线的第二定义有着相似性，从而对思维方向进行了反馈与调整，获得了M的轨迹符合第二定义表述的结论，从而确定M的轨迹方程为椭圆的新的问题表征，为进一步打开思路、寻求更简捷的方法提供了方向.
分析三从分析二中获得■=■=■，设M（x，y），所以■=■，化简即得.
简评三解题主体在分析二的问题表征基础上，发现获得方程存在一定难度，联想到第二定义的探求过程，从而获得更为简洁与通用的解法.
由上述问题的分析可知，解题主体通过联想，回忆头脑中已有的数学知识以及题目给出的数学关系信息，寻求解决问题的方向，其中主体在头脑中形成的对问题的印象决定了问题解决的方向与层次，所以问题的表征在解决问题中发挥指导性的作用.
下面我们分析影响问题表征的各种因素，理解学生的解题过程中最初心理机制，从而指导学生在学习过程中提高解题的能力.
■知识经验的储存
从上述例题的探讨中可以看到，解题者需要理解当前的问题情境，充分激活原有的与此相关的背景知识，引发当前问题的要素与原有知识、经验之间充分地相互作用，将当前的问题映射到原有的知识结构中，建立适当的表征，进而通过分析、综合和推理去解决问题. 所以，主体已储存的数学知识信息与解题经验越丰富、越清晰，其解题思路越开阔，思维能力越强，问题表征的形成就越清晰、越合理.
知识的储存与经验的形成需要重视解题的反思. 通过反思，引导学生回顾整个思维过程，回顾问题的结构特征及其解决过程，再现、抽象出其中的意义、要点，从过程中概括出原理性知识，使各种意义明确化. 检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入.
■数学问题表征系统的完善
中学数学问题解决过程的表征系统主要包含代数表征系统、几何表征系统、言语表征系统、表象表征系统等等. 代数表征系统是中学数学中最基本和最重要的数学表征系统，它具有高度抽象性与概括性，这种表征系统需要在教学活动中通过对代数知识与技能不断地归纳、总结、概括和抽象才能形成. 几何表征系统是借助代数表征系统，结合几何特点而形成的，它具有直观、具体、形象、便于思考等特点，它和代数表征系统是中学数学的两大主要的表征系统. 言语表征系统在数学问题解决过程中其抽象性与概括性介于代数表征系统与几何表征系统之间，一般均能将数学问题的言语表征转化为代数表征或几何表征，从而使问题简化.表象表征系统比几何更直观、更形象，但其抽象性与概括性相对而言就显得更弱些. 只了解数学问题解决过程的表征系统是不够的，还需要将其和其他一些表征系统（如数形结合、一题多解等）有机地结合起来，进一步对解题者所学的多种数学经验进行不断地抽象和概括，才能形成完整的数学问题表征系统.
数学的基础知识与基本技能是建立起完善的数学问题表征系统的基础. 教师应不失时机对代数与几何及其他一些数学知识与技能进行归纳和综合、抽象和概括，帮助学生把握知识之间的内在联系，引导学生通过不断的归纳和概括形成完整的知识与技能体系. 学生所掌握的数学经验的完整性，直接关系到学生表征系统的形成与解题能力的发展.
■思维模式的认识
“数学是对模式的研究”（怀特语），整个数学实质是由各种层次的大大小小的各种模式所组成的模式系统. 在解题过程中，主体对问题形成一定印象后，搜索原有的知识系统，寻找与解决问题相似的模式，进行类比，为解决问题提供方向. 在实际的解题中，主体往往由于对原有模式的感觉模糊，从而容易形成错误的问题表征，使问题无法得以顺利解决.
“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征，如果一种解题方法是你通过自己努力而掌握的，或者是你从别处学来或听来并真正理解了的，那么这种解法就可以成为你的一种模式，即在解类似问题时可用作模仿的一种模式”，波利亚在《数学的发现》中对模式识别的形成作出通俗而精辟的阐述.数学思维模式是识别数学知识模式的有效途径.数学思维模式，是主体对数学知识结构、数学内容的思维程序和方式. 数学思维模式的形成来源于主体已有的数学知识和经验，而在数学学习过程和思维模式的运用过程中不断得到丰富和发展.
所以，教师在教学中应从典型的问题出发，在解决问题的过程中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升为更一般的模式，从而得到数学思维模式，它们是解题思维过程的一般思路的程序化的概括.
■知识迁移与概括
解题主体仅完成知识的储存、模式的积累只能形成比较粗糙、模糊的问题表征，而需要形成完善、清晰的问题则需要主动地生成和建立与此有关的知识经验的联系，包括有关的概念、原理、类似的问题图式以及其他背景性经验等，将所涉及的各种意义、要点联系起来，并将它们与作为其基础的原理联系起来，与相关的背景经验联系起来，与探索中的各种事实资料联系起来，积极地进行推理和判断，进行严密、有序的推理，形成良好的知识结构. 而且，这种联系不只是针对问题的表面特征，更主要的是针对问题中的深层关系和结构，即对原有知识进行迁移，对获得的信息进行概括，这样才能成功地解决问题.
所以，教师在教学中应引导学生在解题后思索，将思维结果进行推广、引申与应用，即实现知识的迁移，并不断完善数学认知结构，发现与问题形式表述的相似及相互之间的内在联系，并设法利用这种相似性与联系去解决其他问题.
■思维方法策略
解题的思维过程是探索解题方法和途径的积极尝试发现过程，当主体面对问题时，总是通过观察弄清问题，抓住题目的特征进行广泛的联想，检索信息和回忆储存的信息，选择总体思路或入手的方向、原则. 在其思维过程中，合理的思维策略是形成问题的表征引路人，特别是在解题过程中没有获得直接明显的方法僵局时，主体灵活运用数学基础知识和思维的方法、策略、模式，针对具体问题的条件和结论的特征进行探索、分析，形成问题表征，才能发现解题途径.
所以，在教学中教师引导学生寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维方法、策略去处理类似问题，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链，进而完善思维方法、策略.
■重构问题表征
在整个解题过程中思路受阻，主体应调整思维的方向，变换角度进行分析思考，其心理机制表现为重构问题表征，反映思维的灵活性. 所以，在解题活动中，特别是在解题受阻或寻求更为简捷的方法时，主体需要消除问题的初始表征的影响，重构问题表征，探索新的解题方向或方法.
教师在教学中应注意培养学生的发散性思维，从不同角度分析问题，进行一题多解、多题一解训练、变式训练等，掌握类比、联想、转化等重构问题表征的方法，达到对知识认识的全面性的目的，使学生的思维变得更为广阔，形成更为广泛的问题表征.
问题表征是问题解决的第一步，解题者在形成了问题表征后，虽然不一定能迅速寻求到问题的解法，但它就像指南针一样，为解题者进一步发展定好了基调，提供了各种可能.
关键词：问题；表征；解题；起点
在任何解题活动中，问题在人们头脑中的呈现形式是解题的开端，美国著名的认知心理学家和人工智能的创始人Herert A.Simon曾说：“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现的，如何表现出来的.” 问题表征是指解题者通过审题，认识和了解课题的结构；通过联想，激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象. 按照波利亚的《怎样解题表》中解题的思维过程，首先是弄清问题，即了解未知数是什么；已知数据是什么；条件是什么；满足条件是否可能；要确定未知数，条件是否充分；或者它是否不充分；或者是多余的；或者是矛盾的；它实际上是引导解题者如何形成问题的表征. 所以，问题表征是解题过程的起点，发挥着至关重要的作用. 我们有必要研究解题者在解题的起点时的问题表征，才能更好地指导学生的解题思维，为进一步解题提供明确的方向.
下面是高三复习考试中的一题，我们从学生的解法中理解其在解题活动中的心理机制.
例1 已知点B是直线l：x=-8（y≠0）上的动点，点F（-2，0），A是BF上一点，且■＝■，过B与y轴垂直的直线交过点A的直线于点M，且直线MA是∠BMF的角平分线，求点M的轨迹方程.
分析一设B点坐标为（-8，b）（b≠0），M（x0，y0），由■＝■，得A-4，■，获得直线BM与MF的方程，根据角平分线的性质，A点到直线BM与直线MF的距离相等，建立等式，化简即可.
简评一解题主体在理解题意后运用了思维的内部材料，即已有的解题知识和习惯对问题形成了引入参数和利用直线的方程的思路，在内部环境与外部环境结合后，初步做出评价，利用角平分线的性质得到各种关联的表征，从而获得了解题思路.
分析二在上述解法中，学生会感到运算过程烦琐，于是进一步分析角平分线的另一个性质，即■=■=■，联想到圆锥曲线的第二定义，得出M的轨迹方程为椭圆，进一步设椭圆方程为■+■=1（a>b>0），F为焦点，l为准线，从而求出轨迹方程为■+■=1（y≠0）.
简评二解题主体思维再次发展，根据自己的解题经验，发现其比例关系与圆锥曲线的第二定义有着相似性，从而对思维方向进行了反馈与调整，获得了M的轨迹符合第二定义表述的结论，从而确定M的轨迹方程为椭圆的新的问题表征，为进一步打开思路、寻求更简捷的方法提供了方向.
分析三从分析二中获得■=■=■，设M（x，y），所以■=■，化简即得.
简评三解题主体在分析二的问题表征基础上，发现获得方程存在一定难度，联想到第二定义的探求过程，从而获得更为简洁与通用的解法.
由上述问题的分析可知，解题主体通过联想，回忆头脑中已有的数学知识以及题目给出的数学关系信息，寻求解决问题的方向，其中主体在头脑中形成的对问题的印象决定了问题解决的方向与层次，所以问题的表征在解决问题中发挥指导性的作用.
下面我们分析影响问题表征的各种因素，理解学生的解题过程中最初心理机制，从而指导学生在学习过程中提高解题的能力.
■知识经验的储存
从上述例题的探讨中可以看到，解题者需要理解当前的问题情境，充分激活原有的与此相关的背景知识，引发当前问题的要素与原有知识、经验之间充分地相互作用，将当前的问题映射到原有的知识结构中，建立适当的表征，进而通过分析、综合和推理去解决问题. 所以，主体已储存的数学知识信息与解题经验越丰富、越清晰，其解题思路越开阔，思维能力越强，问题表征的形成就越清晰、越合理.
知识的储存与经验的形成需要重视解题的反思. 通过反思，引导学生回顾整个思维过程，回顾问题的结构特征及其解决过程，再现、抽象出其中的意义、要点，从过程中概括出原理性知识，使各种意义明确化. 检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入.
■数学问题表征系统的完善
中学数学问题解决过程的表征系统主要包含代数表征系统、几何表征系统、言语表征系统、表象表征系统等等. 代数表征系统是中学数学中最基本和最重要的数学表征系统，它具有高度抽象性与概括性，这种表征系统需要在教学活动中通过对代数知识与技能不断地归纳、总结、概括和抽象才能形成. 几何表征系统是借助代数表征系统，结合几何特点而形成的，它具有直观、具体、形象、便于思考等特点，它和代数表征系统是中学数学的两大主要的表征系统. 言语表征系统在数学问题解决过程中其抽象性与概括性介于代数表征系统与几何表征系统之间，一般均能将数学问题的言语表征转化为代数表征或几何表征，从而使问题简化.表象表征系统比几何更直观、更形象，但其抽象性与概括性相对而言就显得更弱些. 只了解数学问题解决过程的表征系统是不够的，还需要将其和其他一些表征系统（如数形结合、一题多解等）有机地结合起来，进一步对解题者所学的多种数学经验进行不断地抽象和概括，才能形成完整的数学问题表征系统.
数学的基础知识与基本技能是建立起完善的数学问题表征系统的基础. 教师应不失时机对代数与几何及其他一些数学知识与技能进行归纳和综合、抽象和概括，帮助学生把握知识之间的内在联系，引导学生通过不断的归纳和概括形成完整的知识与技能体系. 学生所掌握的数学经验的完整性，直接关系到学生表征系统的形成与解题能力的发展.
■思维模式的认识
“数学是对模式的研究”（怀特语），整个数学实质是由各种层次的大大小小的各种模式所组成的模式系统. 在解题过程中，主体对问题形成一定印象后，搜索原有的知识系统，寻找与解决问题相似的模式，进行类比，为解决问题提供方向. 在实际的解题中，主体往往由于对原有模式的感觉模糊，从而容易形成错误的问题表征，使问题无法得以顺利解决.
“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征，如果一种解题方法是你通过自己努力而掌握的，或者是你从别处学来或听来并真正理解了的，那么这种解法就可以成为你的一种模式，即在解类似问题时可用作模仿的一种模式”，波利亚在《数学的发现》中对模式识别的形成作出通俗而精辟的阐述.数学思维模式是识别数学知识模式的有效途径.数学思维模式，是主体对数学知识结构、数学内容的思维程序和方式. 数学思维模式的形成来源于主体已有的数学知识和经验，而在数学学习过程和思维模式的运用过程中不断得到丰富和发展.
所以，教师在教学中应从典型的问题出发，在解决问题的过程中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升为更一般的模式，从而得到数学思维模式，它们是解题思维过程的一般思路的程序化的概括.
■知识迁移与概括
解题主体仅完成知识的储存、模式的积累只能形成比较粗糙、模糊的问题表征，而需要形成完善、清晰的问题则需要主动地生成和建立与此有关的知识经验的联系，包括有关的概念、原理、类似的问题图式以及其他背景性经验等，将所涉及的各种意义、要点联系起来，并将它们与作为其基础的原理联系起来，与相关的背景经验联系起来，与探索中的各种事实资料联系起来，积极地进行推理和判断，进行严密、有序的推理，形成良好的知识结构. 而且，这种联系不只是针对问题的表面特征，更主要的是针对问题中的深层关系和结构，即对原有知识进行迁移，对获得的信息进行概括，这样才能成功地解决问题.
所以，教师在教学中应引导学生在解题后思索，将思维结果进行推广、引申与应用，即实现知识的迁移，并不断完善数学认知结构，发现与问题形式表述的相似及相互之间的内在联系，并设法利用这种相似性与联系去解决其他问题.
■思维方法策略
解题的思维过程是探索解题方法和途径的积极尝试发现过程，当主体面对问题时，总是通过观察弄清问题，抓住题目的特征进行广泛的联想，检索信息和回忆储存的信息，选择总体思路或入手的方向、原则. 在其思维过程中，合理的思维策略是形成问题的表征引路人，特别是在解题过程中没有获得直接明显的方法僵局时，主体灵活运用数学基础知识和思维的方法、策略、模式，针对具体问题的条件和结论的特征进行探索、分析，形成问题表征，才能发现解题途径.
所以，在教学中教师引导学生寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维方法、策略去处理类似问题，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链，进而完善思维方法、策略.
■重构问题表征
在整个解题过程中思路受阻，主体应调整思维的方向，变换角度进行分析思考，其心理机制表现为重构问题表征，反映思维的灵活性. 所以，在解题活动中，特别是在解题受阻或寻求更为简捷的方法时，主体需要消除问题的初始表征的影响，重构问题表征，探索新的解题方向或方法.
教师在教学中应注意培养学生的发散性思维，从不同角度分析问题，进行一题多解、多题一解训练、变式训练等，掌握类比、联想、转化等重构问题表征的方法，达到对知识认识的全面性的目的，使学生的思维变得更为广阔，形成更为广泛的问题表征.
问题表征是问题解决的第一步，解题者在形成了问题表征后，虽然不一定能迅速寻求到问题的解法，但它就像指南针一样，为解题者进一步发展定好了基调，提供了各种可能.