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有些物理问题乍一看似乎缺少条件,如果按照常规思路求解,会发现未知量的数多于方程数.如何迅速而巧妙地求解此类问题呢?下面介绍几种行之有效的方法.
一、巧用降元法求解
当方程数少于未知量数时,通常是无法求解的.从数学的观点来看,是无法求出所有的未知数,但并不是说不能求出一个或几个未知数.对于物理问题,常常是列出的方程数虽然很多,但常常只需求其中的一个或几个量,如果通过适当的降元,则问题容易获解.降元法就是把几个量的组合看成是一个新的物理量,从而减少了未知量的数目,使方程数与未知量数目相同,进而顺利求解.
例1 图1所示的电路,灯泡的额定电压U0与电池的电动势相等,灯泡的额定功率为392W,而实际功率只有324W.当与灯泡A再并联一只相同的灯泡B时,电池的输出功率是多大?
解析:设灯泡电阻为R,额定功率为P0;电路中含有一只灯泡时,路端电压为U1、电源输出功率为P1;电路中并联两只灯泡时,路端电压为U2,电源输出功率为P2,电源内阻为r,则有R=U20P0.由U0=ε可得:
P1=U21R=(U1U0)2P0=(RR r)2P0,
P2=2U22R=2(U2U0)2P0=2(RR 2r)2P0.
上述两个式子中包含3个未知量(R、r、P2),为此须采用降元的方法,令k=rR,则有P1=(11 k)2P0,P2=(11 2k)2P0.
这样方程数与未知量的数目相同,解得P2=544.5W.
二 巧用配方法求解
利用配方法求最值是数学运算中常用的技巧之一,即把函数式中的自变量进行配方整理,化成与一常量差的平方,只要使自变量等于该常量,便能得到函数的最值.
例2 已知电源输出电压恒为U,从电源到用电区的两根导线的电阻均为r.问:在用电区并联阻值均为R的电灯泡多少盏时,所有灯泡消耗的总功率最大?最大总功率为多少?(用电区内的导线电阻不计)
解析:画出等效电路如图2.由于导线电阻的存在,灯泡的总功率并非一直随灯泡数的增多而增大.设并联n盏灯时,所有的灯泡、导线和电路的功率分别为PL、Pr和P,则有PL=P-Pr,P=U22r Rn,Pr=2rU(2r Rn)2.
上述3个方程有4个未知量,联立以上三式并整理得:
PL=nRU2(2nr R)2=RU22(nr-Rn)2 8rR.
显然当2nr-Rn=0,即n=R2r时,灯泡的总功率最大,且Pmax=U28r.
三、巧用不等式的性质求解
当x1=x2=…=xn>0时,根据不等式的性质,有当x1 x2 … xn≥nx1x2…xn≥0.对于求最值的物理问题,若最后得出的式子中含有无法消去的未知量,可考虑利用不等式的上述性质,变求和式为求积式,或变求积式为求和式,进而确定某物理量的大小范围.
例3 一质量为m的粒子与另一质量为M的静止粒子发生正碰,碰撞前后两粒子所组成的系统的动能损失了E.问:粒子m碰撞前后的最小速度v0是多大?
解析:设碰撞后两粒子m、M的速度分别为v1、v2,则有
mv0=mv1 Mv2. ①
12mv20=12mv21 12Mv22 E. ②
2个方程中含有3个未知量(v0、v1、v2),由①、②两式消去v1,可得
v0=(m M)2mv2 EMv2≥2(m M)E2Mm.
故粒子m碰撞前的最小速度为vmin=2(M m)Mm.
四、巧用三角函数求解
有些物理问题,由于物体所受力方向、运动方向等的变化常用角变量表示,其过程中的物理量的大小变化与角变量的三角函数有关,因此可利用三角函数的性质及其取值范围求解.
一、巧用降元法求解
当方程数少于未知量数时,通常是无法求解的.从数学的观点来看,是无法求出所有的未知数,但并不是说不能求出一个或几个未知数.对于物理问题,常常是列出的方程数虽然很多,但常常只需求其中的一个或几个量,如果通过适当的降元,则问题容易获解.降元法就是把几个量的组合看成是一个新的物理量,从而减少了未知量的数目,使方程数与未知量数目相同,进而顺利求解.
例1 图1所示的电路,灯泡的额定电压U0与电池的电动势相等,灯泡的额定功率为392W,而实际功率只有324W.当与灯泡A再并联一只相同的灯泡B时,电池的输出功率是多大?
解析:设灯泡电阻为R,额定功率为P0;电路中含有一只灯泡时,路端电压为U1、电源输出功率为P1;电路中并联两只灯泡时,路端电压为U2,电源输出功率为P2,电源内阻为r,则有R=U20P0.由U0=ε可得:
P1=U21R=(U1U0)2P0=(RR r)2P0,
P2=2U22R=2(U2U0)2P0=2(RR 2r)2P0.
上述两个式子中包含3个未知量(R、r、P2),为此须采用降元的方法,令k=rR,则有P1=(11 k)2P0,P2=(11 2k)2P0.
这样方程数与未知量的数目相同,解得P2=544.5W.
二 巧用配方法求解
利用配方法求最值是数学运算中常用的技巧之一,即把函数式中的自变量进行配方整理,化成与一常量差的平方,只要使自变量等于该常量,便能得到函数的最值.
例2 已知电源输出电压恒为U,从电源到用电区的两根导线的电阻均为r.问:在用电区并联阻值均为R的电灯泡多少盏时,所有灯泡消耗的总功率最大?最大总功率为多少?(用电区内的导线电阻不计)
解析:画出等效电路如图2.由于导线电阻的存在,灯泡的总功率并非一直随灯泡数的增多而增大.设并联n盏灯时,所有的灯泡、导线和电路的功率分别为PL、Pr和P,则有PL=P-Pr,P=U22r Rn,Pr=2rU(2r Rn)2.
上述3个方程有4个未知量,联立以上三式并整理得:
PL=nRU2(2nr R)2=RU22(nr-Rn)2 8rR.
显然当2nr-Rn=0,即n=R2r时,灯泡的总功率最大,且Pmax=U28r.
三、巧用不等式的性质求解
当x1=x2=…=xn>0时,根据不等式的性质,有当x1 x2 … xn≥nx1x2…xn≥0.对于求最值的物理问题,若最后得出的式子中含有无法消去的未知量,可考虑利用不等式的上述性质,变求和式为求积式,或变求积式为求和式,进而确定某物理量的大小范围.
例3 一质量为m的粒子与另一质量为M的静止粒子发生正碰,碰撞前后两粒子所组成的系统的动能损失了E.问:粒子m碰撞前后的最小速度v0是多大?
解析:设碰撞后两粒子m、M的速度分别为v1、v2,则有
mv0=mv1 Mv2. ①
12mv20=12mv21 12Mv22 E. ②
2个方程中含有3个未知量(v0、v1、v2),由①、②两式消去v1,可得
v0=(m M)2mv2 EMv2≥2(m M)E2Mm.
故粒子m碰撞前的最小速度为vmin=2(M m)Mm.
四、巧用三角函数求解
有些物理问题,由于物体所受力方向、运动方向等的变化常用角变量表示,其过程中的物理量的大小变化与角变量的三角函数有关,因此可利用三角函数的性质及其取值范围求解.