数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用.
　　一、二次函数与系数之间的关系
　　1.二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，其中a≠0，此函数的对称轴是
　　x=-b2a ， 顶点坐标是
　　（-b2a，4ac-b24a）.
　　2.函数式中的参数a的正负决定开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴右边的函数图象y随x的增大而增大，左边的图象y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，在对称轴右边的函数图象y值随x的增大而减小，左边的图象y随x的增大而增大，整个图形是对称的.然而a的大小决定了二次函数的开口度的大小，a越大开口度越小，a越小开口度越大.
　　3.与x轴交点的情况.当y=0时，是二次方程，当Δ>0时，则此二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有且只有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点.
　　4.二次函数的表达式还有以下几种
　　交点式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是该函数y=0时的两个根.
　　顶点式：y=a（x-k）2+h，其中a≠0，而（k，h）是二次函数的顶点坐标.
　　二、以形解数
　　图1
　　例1已知点（-1 ，y1），（-3，y2），（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3的大小关系为（ ）
　　（A） y1>y2>y3 （B） y2>y1>y3
　　（C） y2>y3>y1（D） y3>y2>y1
　　分析：由y=3x2+6x+2 =3（x+1）2- 1画出图1，由图象可以看出：
　　抛物线的对称轴为直线x=-1.
　　即：x=-1 时，y有最小值， 故排除（A）、（B），由图象可
　　以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选（C）.
　　三、数形结合可以求得平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小
　　图2
　　例2如图2，把此抛物线绕顶点旋转180°，则该抛物线对应的解析式为： .
　　若把新的抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，则此时抛物线对应的函数解析式为： .
　　解：（1）由于是绕顶点旋转180°，所以顶点的坐标不变，对称轴不变，所以设原抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，又因为过A点（1，0），代入解析式得到：a=-1，所以原函数的解析式为：y=-（x+1）2+4，故绕顶点旋转180°后，只有开口变了，所以新函数的解析式为：y=（x+1）2+4.
　　（2）因为抛物线图象的平移本质上是把握点的平移.只要把握好规律，结合图形的变换，做到左“+”右“-”，上“+”下“-”这样就很容易得到此时的函数解析式：y=（x-1）2+1.
　　例3若A（-1，y1），B（-2，y2）是抛物线
　　y=a（x-1）2+c（a>0）上的两点，则y1y2（填<，>或=）.
　　图3
　　变式1：若A（-1，y1），B（4，y2）是抛物线
　　y=a（x-1）2+c（a>0）上的两点，则y1y2（填<，>或=）.
　　变式2：若A（m，y1），B（m+2，y2）是抛物线
　　y=a（x-1）2+c（a>0）上的两点，当m取何值时，y1=y2？y1>y2？
　　解：因为a>0，开口向上，又从图中看到x=1是函数的对称轴，又因为函数图象与y轴的交点在y轴的负方向，所以c<0，所以得出：当x≥1时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.
　　因此：（1）因为-2<-1<0，所以y1　　（2）因为-1<0<4，所以y1　　则|x1-x2|=2，即x1、x2关于x=1对称，所以就有：|m-（m+2）|=2，解得：m∈R，所以无论m取何值，y1=y2；很明显my2，从图象可知：在对称轴的右侧，则只要m≥1就行.
　　解决二次函数的实际问题时，注重从“形”到“数”的有机结合.要让学生潜移默化的应用这种思想解决实际问题，方法往往渗透于知识之中.进一步提高学生的思维水平.
　　[江苏省兴化市昭阳湖初级中学 （225700）]