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摘 要：应用混合数值法研究电-磁-弹功能梯度材料板中的波动瞬态响应。假设材料的弹性常数和电、磁常数沿板厚方向呈梯度变化，将电磁功能梯度材料板划分为层单元，应用能量变分原理建立单元的动力学微分方程;根据单元之间的连续条件将层单元控制方程装配成系统的控制方程，应用模态叠加法和傅里叶变换分别得到力激励和电极激励下波数域里的瞬态响应;应用反傅里叶变换得到时空域内的瞬态响应，研究磁电参数对电磁弹板中的波动瞬态响应的影响。
关键词：电-磁-弹功能梯度材料板;混合数值法;波动瞬态响应;傅里叶变换;力激励;电极激励
中图分类号：O342
文献标识码： A
磁电多场耦合的理论研究可追溯到上世纪50年代。至今，国内外在压电、压磁等功能材料结构的材料性能和力学性质方面进行了一系列的研究，尤其在理论研究方面取得了重要进展。在电-磁-弹材料结构的动力学性能研究方面：KALISKI[1]推导出热-电-磁-弹的波动方程;文献[2-12]对压电-压磁层合板或功能梯度材料板和壳中波的传播特性（弥散特性、特征波面、相速度和群速度）进行了研究。在波动瞬态响应方面的研究：HOU等[13]，WANG等[14]推导并分析了多铁空心圆柱在轴对称平面应变变形下的瞬态响应;DAGA等[15]应用四节点Runge-Kutta法的半解析有限单元法研究了磁-电-弹三相材料组成的简支层合圆柱壳的瞬态响应，对弹性圆柱壳和电-磁-弹耦合的圆柱壳的计算结果进行了比较;WANG等[16] 借助商业软件Abaqus建立了多铁复合材料结构的三维有限元模型，使用直接时间积分法对双层多铁复合材料中波动瞬态响应进行了计算。
求功能梯度材料中的波动响应的混合数值法首先由LIU等[17]提出，并在板、壳结构中的波动力学研究中得到各国广泛应用[18-20]。混合数值法的基本思想是在材料梯度变化的方向划分层单元，在垂直梯度方向应用解析法。划分单元的目的主要是对材料参数的变化进行近似并不是对位移进行近似，因此，其解具有很高的精度。磁电弹性功能梯度材料结构不仅材料参数梯度变化，而且存在多场耦合。对于有些材料参数变化梯度的结构，要获得结构中波动瞬态响应的解析解很困难;混合数值法比有限元法求解具有高效性，因为其单元数远少于有限元法的单元数。对于反问题来说，因为要反复调用正问题，正问题求解的高效性显得尤为重要，因此用混合数值法求解具有优越性。
本文假设电-磁-弹（electric-magneto-elastic，EME）板材料参数在厚度方向呈二次梯度变化，应用能量变分原理和层单元法建立板的动力学微分非常方程，用傅立叶变换、反傅立叶变换方法和模态叠加法获得板在力激励和电极激励下的波动瞬态响应，研究磁电参数对电磁弹板中的波动瞬态响应的影响。
1 理论模型
1.1 基本方程
如图1所示，板厚为h的无限大电磁功能梯度材料板，在厚度方向上划分上、中、下三个节面。
参考文献：
[1]KALISKI S. Wave equations of thermo-electro-magnetoelasticity[J]. Procvibration Problems， 1965， 6（3）： 231-265.
[2]LEE J S， ITS E N. Propagation of Rayleigh waves in magneto-elastic media[J]. AMSE， 1992， 59（4）： 812-818.
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[5]代海濤， 程伟， 李明志. Hamilton体系下的功能梯度电磁弹性固体内的导波研究[J]. 振动与冲击， 2007， 26（12）： 79-83.
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[9]谢根全， 张学军， 田建辉， 等. 磁电弹功能梯度材料板中的波动特性[J]. 复合材料学报， 2011， 28 （3）： 36-45.
[10]焦凤瑀. 压电和压电半导体层状结构中弹性波传播研究[D]. 北京： 北京科技大学， 2018. [11]GUO X， WEI P J， LI L. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with functional graded layers [J]. Ultrasonics， 2016， 70： 158-171.
[12]李琳， 周振功， 吴林志. 压电压磁复合材料中裂纹对反平面简谐弹性波的散射问题[J]. 应用力学学报， 2006， 23（1）： 101-105.
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[15]DAGA A， GANESAN N， SHANKAR K. Transient response of magneto-electro-elastic simply supported cylinder using finite element[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures， 2008， 3（2）： 375-389.
[16]WANG R F， HAN Q K， PAN E N. Transient response of a bi-layered multiferroic composite plate[J]. Acta Mechanica Solida Sinica， 2011， 24（1）： 83-91.
[17]LIU G R， HAN X， LAM K Y. Stress waves in functionally gradient materials and its use for material characterization[J]. Composites Part B： Engineering， 1999， 30（4）： 383-390.
[18]LIU G R， XI Z C， LAM K Y. A strip element method for analyzing wave scattering by a crack in an immersed composite laminate[J]. Journal of Applied Mechanic， 1999， 66： 898-904.
[19]XI Z C， LIU G R， LAM K Y. Strip element method for analyzing wave scattering by a crack in an immersed laminate composite cylinder[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 2000， 108（1）： 175-183.
[20]WANG Y Y， LAM K Y， LIU G R. A strip elemennnnt method for the transient analysis of symmetric laminated plates[J]. Solid and Structures， 2001， 38（2）： 241-259.
[21]LIU G R， TANI J J. Surface waves in functionally gradient piezoelectric plates[J]. ASME J Vibration Acoustics， 1994， 116： 440-446.
（責任编辑：周晓南）
关键词：电-磁-弹功能梯度材料板;混合数值法;波动瞬态响应;傅里叶变换;力激励;电极激励
中图分类号：O342
文献标识码： A
磁电多场耦合的理论研究可追溯到上世纪50年代。至今，国内外在压电、压磁等功能材料结构的材料性能和力学性质方面进行了一系列的研究，尤其在理论研究方面取得了重要进展。在电-磁-弹材料结构的动力学性能研究方面：KALISKI[1]推导出热-电-磁-弹的波动方程;文献[2-12]对压电-压磁层合板或功能梯度材料板和壳中波的传播特性（弥散特性、特征波面、相速度和群速度）进行了研究。在波动瞬态响应方面的研究：HOU等[13]，WANG等[14]推导并分析了多铁空心圆柱在轴对称平面应变变形下的瞬态响应;DAGA等[15]应用四节点Runge-Kutta法的半解析有限单元法研究了磁-电-弹三相材料组成的简支层合圆柱壳的瞬态响应，对弹性圆柱壳和电-磁-弹耦合的圆柱壳的计算结果进行了比较;WANG等[16] 借助商业软件Abaqus建立了多铁复合材料结构的三维有限元模型，使用直接时间积分法对双层多铁复合材料中波动瞬态响应进行了计算。
求功能梯度材料中的波动响应的混合数值法首先由LIU等[17]提出，并在板、壳结构中的波动力学研究中得到各国广泛应用[18-20]。混合数值法的基本思想是在材料梯度变化的方向划分层单元，在垂直梯度方向应用解析法。划分单元的目的主要是对材料参数的变化进行近似并不是对位移进行近似，因此，其解具有很高的精度。磁电弹性功能梯度材料结构不仅材料参数梯度变化，而且存在多场耦合。对于有些材料参数变化梯度的结构，要获得结构中波动瞬态响应的解析解很困难;混合数值法比有限元法求解具有高效性，因为其单元数远少于有限元法的单元数。对于反问题来说，因为要反复调用正问题，正问题求解的高效性显得尤为重要，因此用混合数值法求解具有优越性。
本文假设电-磁-弹（electric-magneto-elastic，EME）板材料参数在厚度方向呈二次梯度变化，应用能量变分原理和层单元法建立板的动力学微分非常方程，用傅立叶变换、反傅立叶变换方法和模态叠加法获得板在力激励和电极激励下的波动瞬态响应，研究磁电参数对电磁弹板中的波动瞬态响应的影响。
1 理论模型
1.1 基本方程
如图1所示，板厚为h的无限大电磁功能梯度材料板，在厚度方向上划分上、中、下三个节面。
参考文献：
[1]KALISKI S. Wave equations of thermo-electro-magnetoelasticity[J]. Procvibration Problems， 1965， 6（3）： 231-265.
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[4]WEI J P， SU X Y. Wave propagation in a magneto-electro-elastic plate[J]. Science in China Series G： Physics， Mechanics & Astronomy， 2008， 51（6）： 651-666.
[5]代海濤， 程伟， 李明志. Hamilton体系下的功能梯度电磁弹性固体内的导波研究[J]. 振动与冲击， 2007， 26（12）： 79-83.
[6]CHEN P， SHEN Y P， Propagation of axial shear magneto-electro-elastic waves in piezoelectric piezomagnetic composites with randomly distributed cylindrical inhomogeneities[J]. International Journal of Solids and Structures， 2007， 44： 1511-1532.
[7]聂国权， 安子军， 刘金喜. 偏压电场作用下磁电弹板中Lamb 波传播[J]. 固体力学学报， 2009， 30（4）： 333-340.
[8]谢根全， 申中原， 胡邦南. 电磁功能梯度材料层合板中表面波的弥散特性[J]. 振动与冲击， 2009， 28（4）： 97-102.
[9]谢根全， 张学军， 田建辉， 等. 磁电弹功能梯度材料板中的波动特性[J]. 复合材料学报， 2011， 28 （3）： 36-45.
[10]焦凤瑀. 压电和压电半导体层状结构中弹性波传播研究[D]. 北京： 北京科技大学， 2018. [11]GUO X， WEI P J， LI L. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with functional graded layers [J]. Ultrasonics， 2016， 70： 158-171.
[12]李琳， 周振功， 吴林志. 压电压磁复合材料中裂纹对反平面简谐弹性波的散射问题[J]. 应用力学学报， 2006， 23（1）： 101-105.
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[14]WANG H M， DING H J. Transient responses of a special non-homogeneous magneto-electro-elastic hollow cylinder for a fully coupled axisymmetric plane strain problem[J]. Acta Mechanica， 2006， 184： 137-157.
[15]DAGA A， GANESAN N， SHANKAR K. Transient response of magneto-electro-elastic simply supported cylinder using finite element[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures， 2008， 3（2）： 375-389.
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[19]XI Z C， LIU G R， LAM K Y. Strip element method for analyzing wave scattering by a crack in an immersed laminate composite cylinder[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 2000， 108（1）： 175-183.
[20]WANG Y Y， LAM K Y， LIU G R. A strip elemennnnt method for the transient analysis of symmetric laminated plates[J]. Solid and Structures， 2001， 38（2）： 241-259.
[21]LIU G R， TANI J J. Surface waves in functionally gradient piezoelectric plates[J]. ASME J Vibration Acoustics， 1994， 116： 440-446.
（責任编辑：周晓南）