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随着我国普及教育的不断深入，中学教育的社会功能进一步凸显，人们越来越关注中学的教学质量。教学质量是学校教育质量总体结构中的核心内容，是一个有特定质的规定性的有机整体。教学质量既是学校办学和教学管理的总体成果，又是对外宣传和内部自检的手段。对中学教育而言，教学质量就是其生命线，是衡量其学校整体水平的一个标尺，因此加强教学质量管理及等级评价已经成为当前中学教育普遍关注的一项重要工作。
熵投影寻踪（PPE）方法属于直接由样本驱动的探索性数据分析方法。该模型将高维数据通过某种组合投影到低维子空间上，对投影到的构形采用投影指标函数来描述投影暴露原系统某种结构可能性大小，寻找出使投影指标函数达到最优投影值，然后根据该投影值与研究系统的实际输出值之间的散点图构造适当的数学模型以模拟系统输出。本文首次将该模型应用于中学的教学质量评价体系中，并基于PPE模型建立了中学教学质量等级评价模型。
一、教学质量等级评价路线及标准
根据教学质量等级评价的流程图（如图1所示），我们可以对教学质量等级建立评价模型。
参照有关文献中的评价标准，并结合学校自身的教学质量评价体系及等级划分，我们将教学质量评价等级隶属度y值划分为5级，分类标准如表1所示。从中选取教学事故、教学内容、教学方法及手段、学生满意率、教学实施、教学改革与研究、教材及相关资料、督导评价和日常考试分差共9个指标作为构建教学质量等级评价的指标，各指标的教学质量隶属度y（i）如表2所示。在区间[0，1]上的分割点值分别取1.0，0.9，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4，0.3，0.2和0.1。对应的评价指标值定义为x*（i，j），其中i=1~m（m为“教学质量”隶属度的标准分割点数目，m=10），j=1~n（n为评价指标数目，n=9）。
表2 教学质量评价指标隶属度y（i）
二、PPE评价模型建立
为消除各评价指标样本数据的量纲，统一各指标的变化范围，使PPE（熵投影寻踪方法）建模具有一般性，将评价指标值x*（i，j）按下面公式进行一致无量纲处理，得到标准化值x（i，j）。
根据标准化值x（i，j）构造投影指标函数。
（一）构造投影指标函数
PPE模型把n维数据｛x（i，j）|j=1-n｝综合成一维投影值z*（i）。
在综合投影值时，应使投影值z*（i）在客观上尽可能多地携带｛x（i，j）｝的变异信息，即应使z*（i）的标准差z（i）和z（i）的相关系数的绝对值达到尽可能大。同时，投影方向依概率a2（j）分布，根据最大信息熵原理，熵值越大意味着人为添加的约束和假设越少。因此，我们应取｛a2（j）｝的信息熵值最大的概率分布。基于此，投影指标函数构造为：
Q（a）=S|R|E（3）
式（3）中S为投影值的标准差，R为z（i）与y（i）的相关系数，E为a2（j）的信息熵，S、R和E的计算公式分别为：
（二）优化投影指标函数
投影指标函数Q（a）只随投影方向a的变化而变化，不同a反映不同的数据结构特征，最佳投影方向最大可能反映高维数据结构或特征。因此，我们可通过求解投影指标函数最大化问题来估计最佳投影方向。
（三）建立教学质量评价系统综合评价模型
我们把优化指标函数得到的最佳投影方向a*代入式（2），可得第i个标准分割点的投影值z*（i）。根据z*（i）~y（i）的散点图可建立相应的数学模型。对其进行多项式拟合，可得到回归方程，即为综合评价模型。
y*（i）=f（z*（i））（8）
（四）教学质量度判断
我们将待评价教师在评价学期内各指标值x*（j）经一致无量纲处理后，和最佳投影方向a*一起代入公式（2）中求得投影值z*，再将z*代入公式（5）中，得到待评价教师在评价学期内的教学质量隶属度的计算值y*，再根据y*落在5个子区间的具体情况，判断该教师在评价学期内的教学质量等级。
以上便建立了教师的教学质量评价模型。下面我们就某位教师的各项指标得分进行实例评价。
三、PPE模型在教师教学质量评价中的应用
我们从学校的评价数据库中，随机抽取出某位教师的教学质量信息，利用PPE模型对该教师的教学质量进行等级评价。表3所示为该教师对应的9项评价指标参数。
表3 某教师的教学质量评价指标现状值
将表2中的评价指标值｛x*（i，j）｝（i=1~m，m=10；j=1-n，n=9）按公式（1）进行一致无量纲处理后得到标准化值｛x（i，j）｝，由｛x（i，j）｝和｛y（j）｝可得到投影指标函数Q（a），得到maxQ（a）=2.10，采用加速遗传算法得到最佳投影方向为：a（j）=（0.3327，0.3369，0.3281，0.3336，0.3336，0.3343，
0.3395，0.3336，0.3274）。将a（j）代入公式（2）中即可得10个标准分割点的投影值为：z*（i）=（3.00210，
2.75711，2.49785，2.23645，1.98267，1.73220，1.43250，1.07658，0.64750，0.15011）。对z*（i）~y（i）进行多项式的拟合，拟合曲线如图2所示，得到相关系数R=0.9999的回归方程：y*=-0.0095（z*）4+0.0496（z*）3-
0.0252（z*）2+0.1931z*+0.072（9）
对该教师各项评价指标的现状值x*（j）按公式（1）进行无量纲化处理结果为：x（j）=（0.97625，
0.78889，0.68333，0.73400，0.80296，0.65000，0.68333，0.84330，1.01939），将无量化处理结果和最佳投影方向一起代入公式（2）中，得到各评价指标现状值的投影值为2.397089，从而可得到该教师的教学质量隶属度y=0.7596。根据教学质量评价等级划分区间，该教师的教学质量等级为第二级，教学质量为良，还有需要改进的地方。最后应该把等级和建议一起转给教师，作为教师今后改进的参考依据。
熵投影寻踪模型根据最大信息熵原理，优化使熵值最大的目标函数，使得到的投影值在客观上尽可能多地携带评价指标系统的变异信息。本文建立的中学教师教学质量评价模型，有利于学校对每位教师的教学质量进行等级评价，促使教师提高自己的教学水平，从而为学校引进优胜劣汰机制，提高教师队伍水平提供一定的参考依据。
熵投影寻踪（PPE）方法属于直接由样本驱动的探索性数据分析方法。该模型将高维数据通过某种组合投影到低维子空间上，对投影到的构形采用投影指标函数来描述投影暴露原系统某种结构可能性大小，寻找出使投影指标函数达到最优投影值，然后根据该投影值与研究系统的实际输出值之间的散点图构造适当的数学模型以模拟系统输出。本文首次将该模型应用于中学的教学质量评价体系中，并基于PPE模型建立了中学教学质量等级评价模型。
一、教学质量等级评价路线及标准
根据教学质量等级评价的流程图（如图1所示），我们可以对教学质量等级建立评价模型。
参照有关文献中的评价标准，并结合学校自身的教学质量评价体系及等级划分，我们将教学质量评价等级隶属度y值划分为5级，分类标准如表1所示。从中选取教学事故、教学内容、教学方法及手段、学生满意率、教学实施、教学改革与研究、教材及相关资料、督导评价和日常考试分差共9个指标作为构建教学质量等级评价的指标，各指标的教学质量隶属度y（i）如表2所示。在区间[0，1]上的分割点值分别取1.0，0.9，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4，0.3，0.2和0.1。对应的评价指标值定义为x*（i，j），其中i=1~m（m为“教学质量”隶属度的标准分割点数目，m=10），j=1~n（n为评价指标数目，n=9）。
表2 教学质量评价指标隶属度y（i）
二、PPE评价模型建立
为消除各评价指标样本数据的量纲，统一各指标的变化范围，使PPE（熵投影寻踪方法）建模具有一般性，将评价指标值x*（i，j）按下面公式进行一致无量纲处理，得到标准化值x（i，j）。
根据标准化值x（i，j）构造投影指标函数。
（一）构造投影指标函数
PPE模型把n维数据｛x（i，j）|j=1-n｝综合成一维投影值z*（i）。
在综合投影值时，应使投影值z*（i）在客观上尽可能多地携带｛x（i，j）｝的变异信息，即应使z*（i）的标准差z（i）和z（i）的相关系数的绝对值达到尽可能大。同时，投影方向依概率a2（j）分布，根据最大信息熵原理，熵值越大意味着人为添加的约束和假设越少。因此，我们应取｛a2（j）｝的信息熵值最大的概率分布。基于此，投影指标函数构造为：
Q（a）=S|R|E（3）
式（3）中S为投影值的标准差，R为z（i）与y（i）的相关系数，E为a2（j）的信息熵，S、R和E的计算公式分别为：
（二）优化投影指标函数
投影指标函数Q（a）只随投影方向a的变化而变化，不同a反映不同的数据结构特征，最佳投影方向最大可能反映高维数据结构或特征。因此，我们可通过求解投影指标函数最大化问题来估计最佳投影方向。
（三）建立教学质量评价系统综合评价模型
我们把优化指标函数得到的最佳投影方向a*代入式（2），可得第i个标准分割点的投影值z*（i）。根据z*（i）~y（i）的散点图可建立相应的数学模型。对其进行多项式拟合，可得到回归方程，即为综合评价模型。
y*（i）=f（z*（i））（8）
（四）教学质量度判断
我们将待评价教师在评价学期内各指标值x*（j）经一致无量纲处理后，和最佳投影方向a*一起代入公式（2）中求得投影值z*，再将z*代入公式（5）中，得到待评价教师在评价学期内的教学质量隶属度的计算值y*，再根据y*落在5个子区间的具体情况，判断该教师在评价学期内的教学质量等级。
以上便建立了教师的教学质量评价模型。下面我们就某位教师的各项指标得分进行实例评价。
三、PPE模型在教师教学质量评价中的应用
我们从学校的评价数据库中，随机抽取出某位教师的教学质量信息，利用PPE模型对该教师的教学质量进行等级评价。表3所示为该教师对应的9项评价指标参数。
表3 某教师的教学质量评价指标现状值
将表2中的评价指标值｛x*（i，j）｝（i=1~m，m=10；j=1-n，n=9）按公式（1）进行一致无量纲处理后得到标准化值｛x（i，j）｝，由｛x（i，j）｝和｛y（j）｝可得到投影指标函数Q（a），得到maxQ（a）=2.10，采用加速遗传算法得到最佳投影方向为：a（j）=（0.3327，0.3369，0.3281，0.3336，0.3336，0.3343，
0.3395，0.3336，0.3274）。将a（j）代入公式（2）中即可得10个标准分割点的投影值为：z*（i）=（3.00210，
2.75711，2.49785，2.23645，1.98267，1.73220，1.43250，1.07658，0.64750，0.15011）。对z*（i）~y（i）进行多项式的拟合，拟合曲线如图2所示，得到相关系数R=0.9999的回归方程：y*=-0.0095（z*）4+0.0496（z*）3-
0.0252（z*）2+0.1931z*+0.072（9）
对该教师各项评价指标的现状值x*（j）按公式（1）进行无量纲化处理结果为：x（j）=（0.97625，
0.78889，0.68333，0.73400，0.80296，0.65000，0.68333，0.84330，1.01939），将无量化处理结果和最佳投影方向一起代入公式（2）中，得到各评价指标现状值的投影值为2.397089，从而可得到该教师的教学质量隶属度y=0.7596。根据教学质量评价等级划分区间，该教师的教学质量等级为第二级，教学质量为良，还有需要改进的地方。最后应该把等级和建议一起转给教师，作为教师今后改进的参考依据。
熵投影寻踪模型根据最大信息熵原理，优化使熵值最大的目标函数，使得到的投影值在客观上尽可能多地携带评价指标系统的变异信息。本文建立的中学教师教学质量评价模型，有利于学校对每位教师的教学质量进行等级评价，促使教师提高自己的教学水平，从而为学校引进优胜劣汰机制，提高教师队伍水平提供一定的参考依据。