数学学习的目的之一就是提高自己的创新思维能力，解题是我们数学学习的重要活动，解题过程中很多学生只会凭着经验，沿着熟悉的方向去思考，常常走许多弯路，甚至使思维受阻，问题得不到解决。那么，怎样才能克服这种思维惰性，使自己的思维敏捷、灵活，创新能力得到不断提高呢？
　　
　　一、善于变通，不墨守成规
　　
　　变通就是根据问题具有的不同特点，在解题时作一些原则的变动，如化静为动、化整为零等，这样常可使一些较难处理的问题变得容易、简单。
　　例1：如图1，已知正△ABC，在∠BAC内作线段AP，连接BP、CP。
　　求证：AP≤BP＋CP。
　　
　　分析：如果静止的观点看，AP、BP、CP三条线段的大小关系比较隐蔽，为了便于比较大小，将△BCP绕B点逆时针旋转60°到△BAQ的位置，则AP、BP、CP三条线段转化为一个三角形的三边，其大小关系一目了然。
　　证明：将△BCP以B点为中心逆时针旋转60°到△BAQ，则△PBC≌△BQA，∴CP＝AQ，BP＝BQ，∵∠PBQ＝60°，∴BP＝BQ＝PQ，∴AP≤PQ＋AQ＝BP＋CP。
　　
　　二、整体考虑，不囿于局部
　　
　　整体考虑是指思考问题时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面收取和获取信息，从而对问题作出整体性判断，找出解决问题的突破口或捷径。
　　
　　分析：若单个考察A、B、C的正负性几乎毫无办法，根据已知条件的结构特点转而考虑其整体的正负性，即只需比较A＋B＋C与零的大小，问题的解决立时柳暗花明。
　　证明：∵A＋B＋C
　　＝（a2－2a＋1）＋（b2－2b＋1）＋（c2－2c＋1）＋（π－3）
　　＝（a－1）2＋（b－1）2＋（c－1）2＋（π－3），
　　∴A＋B＋C＞0，
　　A、B、C中至少有一个的值大于零。
　　
　　三、逆向思维，不只是正向思考
　　
　　人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，这种思维方式往往是有效的，但如果局限于这样的方法，不进行逆向思维，那么有些问题或者不能得到解决，或者解题过程不简捷。
　　例3：设a、b、c为非零实数，且ax＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0。
　　当a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不同的实数根？
　　分析：如从下面考虑，“三个二次方程中至少有一个方程有不同的实数根”所涉及的情况就比较复杂，但若从反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有不同的实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无不同实数根的a、b、c的取值即可。
　　解：设三个方程都没有不同的实数根，则它们的判别式都不大于零，即
　　4b2－4ca≤0，4c2－4ab≤0，4a2－4bc≤0。
　　三式相加并整理得a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≤0，
　　∴（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≤0，
　　又（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≥0，
　　∵a＝b，b＝c，c＝a。
　　这表明，如果三个方程都没有不同的实数根，那么a＝b＝c，因此，当a、b、c为不全相等的非零实数时，三个方程至少有一个有不同的实数根。
　　
　　四、数形结合，不要数形分工
　　
　　有意识地把数和形结合起来，做到形中有数，数中有形，可使问题化难为易。
　　例4：如图2，边长为26的正△ABC内接于圆，弦DE∥BC，分别交AB、AC于F、G，如果AF的长x和DF的长y都是正整数，则y的值是（）
　　A.6 B.8C.12 D.16
　　
　　
　　分析：题中涉及两个未知数，用几何法难以解答，如建立x、y的不定方程，则可得如下简捷解法。
　　 因为AF=x，BF＝y，易得BF＝26－x，DF＝GE＝y，
　　由相交弦定理得方程x（26－x）＝y（x＋y），即x2＋（y－26）x＋y2＝0。
　　
　　∵y是正整数，且y≥6（由选择支暗示），
　　∴y可能取值是6、8，将y＝6、8分别代入方程验算，仅当y＝6时，x有正整数解，故选A。
　　
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