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摘 要：几何直观作为《2011版数学课程标准》新增的一个核心概念，无疑是对初中数学“重视直观”的一道教学指令.借鉴“做中学”教学模式，立足眼见为实和经验积累，通过画图操作、用纸折叠、学具制作、信息技术等操作性活动的引领，将学生的体验学习、发现学习、接受学习融为一体，实现几何直观的有效发展。
关键词：初中数学；做中学；动手操作；几何直观
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。把它作为《2011版课标》新增的一个核心概念，无疑是对初中数学“重视直观”的一道教学指令。究其原因，是因为初中几何仍处于实验几何向论证几何过渡的阶段。因此，初中几何教学是必以学生的动手操作为基础，激发观察、想象、探究和发现，诱导学生对操作过程与操作结果进行合理评价，从而提高学生利用图形描述和分析数学对象的能力，进而发展学生的几何直观。这是一种融“体验学习”、“发现学习”于一体的“做中学”数学实验教学，值得我们去探索。
一、数学“做中学”的理解
1.动手操作，学为中心
欧拉说过：“数学这门科学需要观察，还需要试验。”“做中学”就是基于学生亲自动手，在实验操作中引发观察、思考与评价，感悟数学概念、定理、公式的生成与发展，完善现有知识结构.主要包括画图、折纸、学具制作与信息技术等，它的精髓在于以学生为中心，能把间接的经验和知识还原为活
的、有实用价值的知识。
案例1.浙教版七
上“4.1用字母表示数”拓展练习：如图1，
将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折为完成一次操作，按上述规则完成五次操作后，剪去所得小正方形的左下角，问：展开这张正方形纸片后共有多少个小洞孔？
【解析】1次操作后，层数由1变4，剪去所得正方形左下角，展开后纸上只有一个洞孔，并在正方形中心。2次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形左小角，展开后纸上有4（42-1）个洞孔.3次操作后，折纸层数为43，剪去所得小正方形左小角，展开后纸上有16（43-1）个孔。按上述规律不难推出：连续5次操作后，剪去所得小正方形左小角，展开后正方形纸上共有45-1=256个小洞孔。
【教学反思】引入动手操作，观察实验结果，通过结果分析、类比联想、演绎规律、得出结论，这是解决复杂问题最为有效的方法与途径。动手操作具体真实，其目的是借助几何直观辅助学生进入半抽象的数学思维，发展学生的几何直观。
2.揭示本质，眼见为实
几何直观是指通过几何的手段，达到直观地发现，实现描述和分析问题的目标。而几何手段是指利用基本图形，直观地发现意在通过直观洞察和空间想象揭示规律。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段。通过点、线、面、体所组成的几何基本图形，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学。所以，几何教学不能凭空推理，唯有基于学生的动手操作，图文并茂，从而准确揭示数学本质，眼见为实，心领神会。
案例2.浙教版九上“3.4圆周角（1）”，研究同弧所对的圆周角与圆心角关系。
【教学设计】用几何画板
画出弧AB所对圆周角∠ACB
和圆心角∠AOB（如图2-1），猜想这两个角有怎样的数量关系？然后利用度量角度，验证关系。再拖动点C，改变点C的位置（如图2-2），验证两个角的数量关系是否变化？改变弧AB的大小，如图2-3、2-4，验证结论是否依然成立？
【教学反思】一连串的问题把学生带入一个值得深思、富有挑战的问题情境，引发学生的好奇心与参与热情，各学习小组都能积极投入到结论的数学论证之中。这种教学方式，旨在发展学生的几何直观，不同于“把圆周角定理直接给学生，再加以推理证明”的教学。
3.经验积累，发展几何直观
数学知识所表征的是事物的结构、关系、变化，以及人类理解世界独特的思维方式。然而，数学的形式化特征遮蔽了数学知识的原初意义，于是，数学教学常常专注于知识的形式运演，忽视对知识意义的理解。因此，初中几何教学要为学生的可理解而设计，通过动手操作帮助学生理解数学对象，为抽象思维提供丰富的“感觉映像”，也为逻辑推理提供有效的“思维媒介”。“感觉映像”与“思维媒介”的积累，是必成为发展学生几何直观的直觉源泉。
案例3.浙教版八上“2.5直角三角形”拓展应用.如图3-1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，E、F为AB上两点，且∠ECF=45°，求证：以线段AF、FE、 EB为边可以构成直角三角形。
【解析】传统解法如图3-2所示，在∠ECF内部作CG=CB且∠GCE=∠BCE，连结GE，
GF，分别证明△GCE≌△BCE
和△ACF≌△GCF，从而得出
结论.虽能解决问题，但学生
会质疑三条辅助线的原初意义？
【教学设计】如图3-3，将△BCE、△ACF分别沿CE、CF翻折180°，BC与AC刚好重合（依据∠ACB=Rt∠，∠ECF=45°），且∠A+∠B=90°， 所以AF、FE、 EB可以构成直角三角形。
【教学反思】 通过折叠，揭示添加辅助线的思维背景是轴对称变换思想，由此对添线的原初意义茅塞顿开，催生解题灵感，发展几何直观。
二、数学“做中学”的类型
1.画图操作。动手画图是一种象征性的实物操作，在问题引领下，借助所作图形的几何直观，揭示问题本质。几何画图是一项数学基本功，由易到难，让学生掌握一些基本图形的画法，如三角形、平行线、角平分线、中垂线、长方形、正方形、平行四边形、长方体、正方体、圆、圆柱、圆锥等直观图形。
案例4.浙教版八下“第6章特殊平行四边形”章节复习：（2013·无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为___________。 【教学设计】①建立直角坐标系；②画出A、B两点；③将点C（a，-a）转换成二、四象限角平分线；④独立探究与合作交流。
【设计意图】画出直角坐标系是解决此题的关键，启发学生在问题解决的过程中要善于借助相关数学工具；画二、四象限角平分线表示C（a，-a），渗透数形结合思想，发展几何直观；由于不能确定CD是平行四边形的边还是对角线，引出分类讨论。
2.用纸折叠。折纸已经发展成为现代几何学的一个分支，它不仅是少年儿童的玩具，更是一项有益身心、开发智力和诱发数学思考的实践活动，因此也逐渐成了几何教学的有效手段。
案例5.浙教版九上“3.2圆的轴对称性1（垂径定理）”.
【教学设计】折纸一：探索圆的轴对称性。
（1）作⊙O的任意一条直径AB，沿AB所在直线对折，
如图4，你发现什么？
（2）相互交流，归纳发现：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
折纸二：探索垂径定理.
（1）再作弦CD，并使CD⊥AB，沿AB所在直线对折，你发现有哪些点、线段、弧互相重合？
（2）相互交流，引出等弧和弧的中点定义；
（3）交流发现与推理证明；
（4）尝试CE=DE的其他证明方法；
（5）用命题形式与几何语言描述以上发现。
【设计意图】折纸能够发挥其直观展示与桥梁作用，诱发思维跟进，有效地激发学生自主探索，发展创新思维，发挥兴趣特长。同时，在描述数学发现的过程中发展几何直观。
3.学具制作。数学有效教学离不开学具的使用，学具的辅助功能使学生在学习相关内容时，感到真实具体、轻松有趣，它以直接的感性认识，达到事半功倍的教学效果。
案例6.浙教版七上“第6章图形的初步知识”。
【简析】纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。这一章的图形丰富多彩，但仅凭抽象图形的教学，因缺少几何直观，学习效果肯定不好，不能发挥初中几何起始章节承上启下的作用。
【学具辅助】我让学生在每节课前，用土豆、白萝卜、番薯、卡片，切割或粘贴成圆柱、圆锥、正方体、长方体、三棱柱、三棱锥、球体等学具，学生在自制学具的过程中学会分析各几何体的几何特征，众多“玩具”影响着学生的几何直观。
4.信息技术.进入21世纪，计算机已成为数学教学的崭新手段，通过科学计算、数值模拟、图像显示等，化静为动、变动为静，或分解或连续地展示点、线的运动规律，实现直观显现和抽象思维的结合，成为发展几何直观的有效教学手段。
案例7.浙教版八上“2.6直角三角形”拓展提高：一架5米长的梯子AB竖立在墙上。求梯子下滑过程中，梯子中点运动的路程？
【教学设计】①独立探究，静默思考，
促进生本互动；②交流结果，相互评价，
促进生生互动；③操作演示，呈现动点，
促进人机互动。这一环节借助几何画板，
以A为圆心5米长为半径画弧，交另一直
角边为B，A为主动点，B为被动点，让
学生感受AB长不变.然后作出中点，并追踪中点，如图5；④学会数学地思考，发展几何直观。问：中点P沿C为圆心2.5米长为半径的圆上运动，其数学原理是什么？
【设计意图】由于思维定势，很多学生认为P点经过的路线是两直角边中点的连线，在观察中引起认知冲突，引发数学思考，综合数学原理，实现自主生成，发展几何直观。
三、 数学“做中学”的实践反思
数学“做中学”是在一定的教学情境下，让数学知识的生成与发展按操作程序直观地展示出来，给学习者留下深刻的印象，有效地发展学生的几何直观。实践告诉我们，“做中学”教学遵循人的认知规律，符合中学生的心理特点。实现通过变革教师的教学方式，将学生的体验学习、发现学习、接受学习交错融通。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011，6
[2]胡兴余.培养学生数学猜想能力的几条有效途径[J].中国数学教育，2014（1-2），15.
[3]徐兆洋.为理解而设计[J].初中数学教与学， 2014（3），8
[4]文喆.学习方式、传播方式与课堂教学改革[J].人民教育，2000（12），8
关键词：初中数学；做中学；动手操作；几何直观
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。把它作为《2011版课标》新增的一个核心概念，无疑是对初中数学“重视直观”的一道教学指令。究其原因，是因为初中几何仍处于实验几何向论证几何过渡的阶段。因此，初中几何教学是必以学生的动手操作为基础，激发观察、想象、探究和发现，诱导学生对操作过程与操作结果进行合理评价，从而提高学生利用图形描述和分析数学对象的能力，进而发展学生的几何直观。这是一种融“体验学习”、“发现学习”于一体的“做中学”数学实验教学，值得我们去探索。
一、数学“做中学”的理解
1.动手操作，学为中心
欧拉说过：“数学这门科学需要观察，还需要试验。”“做中学”就是基于学生亲自动手，在实验操作中引发观察、思考与评价，感悟数学概念、定理、公式的生成与发展，完善现有知识结构.主要包括画图、折纸、学具制作与信息技术等，它的精髓在于以学生为中心，能把间接的经验和知识还原为活
的、有实用价值的知识。
案例1.浙教版七
上“4.1用字母表示数”拓展练习：如图1，
将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折为完成一次操作，按上述规则完成五次操作后，剪去所得小正方形的左下角，问：展开这张正方形纸片后共有多少个小洞孔？
【解析】1次操作后，层数由1变4，剪去所得正方形左下角，展开后纸上只有一个洞孔，并在正方形中心。2次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形左小角，展开后纸上有4（42-1）个洞孔.3次操作后，折纸层数为43，剪去所得小正方形左小角，展开后纸上有16（43-1）个孔。按上述规律不难推出：连续5次操作后，剪去所得小正方形左小角，展开后正方形纸上共有45-1=256个小洞孔。
【教学反思】引入动手操作，观察实验结果，通过结果分析、类比联想、演绎规律、得出结论，这是解决复杂问题最为有效的方法与途径。动手操作具体真实，其目的是借助几何直观辅助学生进入半抽象的数学思维，发展学生的几何直观。
2.揭示本质，眼见为实
几何直观是指通过几何的手段，达到直观地发现，实现描述和分析问题的目标。而几何手段是指利用基本图形，直观地发现意在通过直观洞察和空间想象揭示规律。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段。通过点、线、面、体所组成的几何基本图形，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学。所以，几何教学不能凭空推理，唯有基于学生的动手操作，图文并茂，从而准确揭示数学本质，眼见为实，心领神会。
案例2.浙教版九上“3.4圆周角（1）”，研究同弧所对的圆周角与圆心角关系。
【教学设计】用几何画板
画出弧AB所对圆周角∠ACB
和圆心角∠AOB（如图2-1），猜想这两个角有怎样的数量关系？然后利用度量角度，验证关系。再拖动点C，改变点C的位置（如图2-2），验证两个角的数量关系是否变化？改变弧AB的大小，如图2-3、2-4，验证结论是否依然成立？
【教学反思】一连串的问题把学生带入一个值得深思、富有挑战的问题情境，引发学生的好奇心与参与热情，各学习小组都能积极投入到结论的数学论证之中。这种教学方式，旨在发展学生的几何直观，不同于“把圆周角定理直接给学生，再加以推理证明”的教学。
3.经验积累，发展几何直观
数学知识所表征的是事物的结构、关系、变化，以及人类理解世界独特的思维方式。然而，数学的形式化特征遮蔽了数学知识的原初意义，于是，数学教学常常专注于知识的形式运演，忽视对知识意义的理解。因此，初中几何教学要为学生的可理解而设计，通过动手操作帮助学生理解数学对象，为抽象思维提供丰富的“感觉映像”，也为逻辑推理提供有效的“思维媒介”。“感觉映像”与“思维媒介”的积累，是必成为发展学生几何直观的直觉源泉。
案例3.浙教版八上“2.5直角三角形”拓展应用.如图3-1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，E、F为AB上两点，且∠ECF=45°，求证：以线段AF、FE、 EB为边可以构成直角三角形。
【解析】传统解法如图3-2所示，在∠ECF内部作CG=CB且∠GCE=∠BCE，连结GE，
GF，分别证明△GCE≌△BCE
和△ACF≌△GCF，从而得出
结论.虽能解决问题，但学生
会质疑三条辅助线的原初意义？
【教学设计】如图3-3，将△BCE、△ACF分别沿CE、CF翻折180°，BC与AC刚好重合（依据∠ACB=Rt∠，∠ECF=45°），且∠A+∠B=90°， 所以AF、FE、 EB可以构成直角三角形。
【教学反思】 通过折叠，揭示添加辅助线的思维背景是轴对称变换思想，由此对添线的原初意义茅塞顿开，催生解题灵感，发展几何直观。
二、数学“做中学”的类型
1.画图操作。动手画图是一种象征性的实物操作，在问题引领下，借助所作图形的几何直观，揭示问题本质。几何画图是一项数学基本功，由易到难，让学生掌握一些基本图形的画法，如三角形、平行线、角平分线、中垂线、长方形、正方形、平行四边形、长方体、正方体、圆、圆柱、圆锥等直观图形。
案例4.浙教版八下“第6章特殊平行四边形”章节复习：（2013·无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为___________。 【教学设计】①建立直角坐标系；②画出A、B两点；③将点C（a，-a）转换成二、四象限角平分线；④独立探究与合作交流。
【设计意图】画出直角坐标系是解决此题的关键，启发学生在问题解决的过程中要善于借助相关数学工具；画二、四象限角平分线表示C（a，-a），渗透数形结合思想，发展几何直观；由于不能确定CD是平行四边形的边还是对角线，引出分类讨论。
2.用纸折叠。折纸已经发展成为现代几何学的一个分支，它不仅是少年儿童的玩具，更是一项有益身心、开发智力和诱发数学思考的实践活动，因此也逐渐成了几何教学的有效手段。
案例5.浙教版九上“3.2圆的轴对称性1（垂径定理）”.
【教学设计】折纸一：探索圆的轴对称性。
（1）作⊙O的任意一条直径AB，沿AB所在直线对折，
如图4，你发现什么？
（2）相互交流，归纳发现：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
折纸二：探索垂径定理.
（1）再作弦CD，并使CD⊥AB，沿AB所在直线对折，你发现有哪些点、线段、弧互相重合？
（2）相互交流，引出等弧和弧的中点定义；
（3）交流发现与推理证明；
（4）尝试CE=DE的其他证明方法；
（5）用命题形式与几何语言描述以上发现。
【设计意图】折纸能够发挥其直观展示与桥梁作用，诱发思维跟进，有效地激发学生自主探索，发展创新思维，发挥兴趣特长。同时，在描述数学发现的过程中发展几何直观。
3.学具制作。数学有效教学离不开学具的使用，学具的辅助功能使学生在学习相关内容时，感到真实具体、轻松有趣，它以直接的感性认识，达到事半功倍的教学效果。
案例6.浙教版七上“第6章图形的初步知识”。
【简析】纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。这一章的图形丰富多彩，但仅凭抽象图形的教学，因缺少几何直观，学习效果肯定不好，不能发挥初中几何起始章节承上启下的作用。
【学具辅助】我让学生在每节课前，用土豆、白萝卜、番薯、卡片，切割或粘贴成圆柱、圆锥、正方体、长方体、三棱柱、三棱锥、球体等学具，学生在自制学具的过程中学会分析各几何体的几何特征，众多“玩具”影响着学生的几何直观。
4.信息技术.进入21世纪，计算机已成为数学教学的崭新手段，通过科学计算、数值模拟、图像显示等，化静为动、变动为静，或分解或连续地展示点、线的运动规律，实现直观显现和抽象思维的结合，成为发展几何直观的有效教学手段。
案例7.浙教版八上“2.6直角三角形”拓展提高：一架5米长的梯子AB竖立在墙上。求梯子下滑过程中，梯子中点运动的路程？
【教学设计】①独立探究，静默思考，
促进生本互动；②交流结果，相互评价，
促进生生互动；③操作演示，呈现动点，
促进人机互动。这一环节借助几何画板，
以A为圆心5米长为半径画弧，交另一直
角边为B，A为主动点，B为被动点，让
学生感受AB长不变.然后作出中点，并追踪中点，如图5；④学会数学地思考，发展几何直观。问：中点P沿C为圆心2.5米长为半径的圆上运动，其数学原理是什么？
【设计意图】由于思维定势，很多学生认为P点经过的路线是两直角边中点的连线，在观察中引起认知冲突，引发数学思考，综合数学原理，实现自主生成，发展几何直观。
三、 数学“做中学”的实践反思
数学“做中学”是在一定的教学情境下，让数学知识的生成与发展按操作程序直观地展示出来，给学习者留下深刻的印象，有效地发展学生的几何直观。实践告诉我们，“做中学”教学遵循人的认知规律，符合中学生的心理特点。实现通过变革教师的教学方式，将学生的体验学习、发现学习、接受学习交错融通。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011，6
[2]胡兴余.培养学生数学猜想能力的几条有效途径[J].中国数学教育，2014（1-2），15.
[3]徐兆洋.为理解而设计[J].初中数学教与学， 2014（3），8
[4]文喆.学习方式、传播方式与课堂教学改革[J].人民教育，2000（12），8