论文部分内容阅读
我们要学好数学，就必须去体会数学的美，数学无论是形式是内容，无论是理论体系还是研究方法，处处都体现着数学的美。
一、它体现了实用与思维锻炼的和谐美
从数学的发展来看，它的确是一种创造性的活动，是数学的实用性推动了数学的发展，古埃级几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新太量，“几何”一词的希腊文即“测地”的意思；古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关，公元前八世纪到公元前五世纪形成的“绳法经”就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载；古代中国，几何学的起源更多与天文观测相关联中国最早的数学经典《周髀算经》（至少公元前2世纪成书），事实上是一部讨论西周初年（公元前1100年左右）天文测量所用的数学方法（测日法）的著作。随着生产力的发展以及社会的需要，对数学提出了更多的问题，寺庙希望修得更加宏大，桥梁的造型更为美观，海上的航行更为方便，作战武器更为犀利，工事更为坚固，数学都给出了最为完美的解决，然而数学的发展不全是因为实用，更为重要的是它启迪人的智慧，锻炼人的思维，培养人的情操。首先，由于智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励着许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果：在古希腊，毕达哥拉斯学派关
m2-1 m2 1
于“形数的研究：由————，m，————（m为奇数）
2 2
给出的毕达哥达斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两直角边的斜边，这与勾股定理密切相关，强烈的反映了他们将数作为几何思维元素的精神。瑞士数学家欧拉28岁左眼失明，56岁双眼失明，但他却是历史上最多产的数学家，直到他去世八十年后彼得堡科学院，院报还在刊登他的遗著，他超人的毅力来自于大数学研究中带来的喜悦精神和战胜一切的意志。尤其在近代，最伟大的数学成就就——射影几何、数论、超穷数论和非欧几何，都是人们对纯智力挑战的科学结晶。其次，理论上的超越现实，在若干年后就可能成为非常重要的知识，在圆锥曲线被发现两千多年来，曾被认为是“富于思辨头脑中无利可图的娱乐”，可是它们却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用，阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球”。这种正是实用的理论，又是高于实用的思维；这是对理论的精辟总结，又是思维的升华。
二、它体现了人类直观感觉与严谨的逻辑推理的统一美
没有直觉，肯定没有数学，但是没有逻辑的论证，直觉是靠不住的，仅有直觉是不可能形成数学这样一门科学的，在古希腊，就提出了研究数学的公理化的推理方法——要求每個命题必须是由在它之前建立的一些命在旦夕为依据，利用逻辑的方法，经过严密的推理而得出的结论。在《几何原本》第一卷，给出了点、线、面等基本概念，以及五条公设和五条公理，然后以这些基本定义、公设和公理作为全书出发点，推导出了其余四百六十五条命题。“对顶角相等”这个看来很简单的命题，在《几何原本》里是这样证明：如图：∠1 ∠3是平角，∠2 ∠3是平角，然后根据公理三（等量减等量，其差相等），所以∠1=∠2。
这就是古希膜人在研究数学时不凭直觉和实验而进行的逻辑证明，而且这一方法已经渗透到其他各学科。仅凭直觉得来的结果不一定是正确的，如果有人问一厘米长的线段和一米长的线段哪个点多，你凭直觉说一米长的线段同点多，那就是错了，从映射的角度来看，它们上的点可以构成一个一一对应，其实是一样多才对。
三、数学的美是一种严谨的美
罗素说：“数学……犹如雕刻的美——冷而严肃，它不是投合我们天性的微弱的方面，没有绘画和音乐那些华丽的外衣”。首先是推理的严谨性。数学要求每个命题必须是由在它之前已建立的一些命题为依据，利用逻辑的方法，经过严密推理而得出的结论，而所有这些推理链的共同点，就是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理。其次是语言的精确性。比如，对无限的描述，在文学中有“孤帆远影碧空尽”的想象和“无边落木萧萧下”的意境，却没有数学的ε—N语言对极限描述的那样严谨与科学，数学的这种精确，在没有认识到他的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式，然而任何精密的思维和精确的语言是不可分割的。
四、数学的美还体现在风格的简洁和结构的完善
首先，数学符号化，使数学的表达更为简洁，这种简洁的严谨性有助于思维的效率，能够使数学家们在进行复杂思考时应用自如。例如，平行用“//”，垂直用“┻”一，形象、简洁，比用文字更直观且易于表达。数学结构的美主要体现在对称美、比例美等，数学中的对称除了与生活类似的轴对称、中心对称外，还有意义更广泛的对称：加与减、乘与除的互逆对称，也还有形如（x y z）5-x5-y5-z5的式子称作齐次对称式，这些在数学的每一章节都体会到。数学中的比例美，对称是一种比例，黄金分割也是一种比例。人的正常体温是37℃，体温的0.618倍为22.8℃，当人处在22℃～24℃时，身体协调功能与内分泌功能达到最佳，所以在此温度中人体感到最适宜。
总之，数学的美包含了一切文化的美，是数学家们孜孜不倦的追求，最后让我们以罗索的一段话作为结束语吧：“数学……它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地，一种真实的喜悦的精神、一种精神上的亢奋、一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学进得到”。
一、它体现了实用与思维锻炼的和谐美
从数学的发展来看，它的确是一种创造性的活动，是数学的实用性推动了数学的发展，古埃级几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新太量，“几何”一词的希腊文即“测地”的意思；古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关，公元前八世纪到公元前五世纪形成的“绳法经”就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载；古代中国，几何学的起源更多与天文观测相关联中国最早的数学经典《周髀算经》（至少公元前2世纪成书），事实上是一部讨论西周初年（公元前1100年左右）天文测量所用的数学方法（测日法）的著作。随着生产力的发展以及社会的需要，对数学提出了更多的问题，寺庙希望修得更加宏大，桥梁的造型更为美观，海上的航行更为方便，作战武器更为犀利，工事更为坚固，数学都给出了最为完美的解决，然而数学的发展不全是因为实用，更为重要的是它启迪人的智慧，锻炼人的思维，培养人的情操。首先，由于智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励着许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果：在古希腊，毕达哥拉斯学派关
m2-1 m2 1
于“形数的研究：由————，m，————（m为奇数）
2 2
给出的毕达哥达斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两直角边的斜边，这与勾股定理密切相关，强烈的反映了他们将数作为几何思维元素的精神。瑞士数学家欧拉28岁左眼失明，56岁双眼失明，但他却是历史上最多产的数学家，直到他去世八十年后彼得堡科学院，院报还在刊登他的遗著，他超人的毅力来自于大数学研究中带来的喜悦精神和战胜一切的意志。尤其在近代，最伟大的数学成就就——射影几何、数论、超穷数论和非欧几何，都是人们对纯智力挑战的科学结晶。其次，理论上的超越现实，在若干年后就可能成为非常重要的知识，在圆锥曲线被发现两千多年来，曾被认为是“富于思辨头脑中无利可图的娱乐”，可是它们却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用，阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球”。这种正是实用的理论，又是高于实用的思维；这是对理论的精辟总结，又是思维的升华。
二、它体现了人类直观感觉与严谨的逻辑推理的统一美
没有直觉，肯定没有数学，但是没有逻辑的论证，直觉是靠不住的，仅有直觉是不可能形成数学这样一门科学的，在古希腊，就提出了研究数学的公理化的推理方法——要求每個命题必须是由在它之前建立的一些命在旦夕为依据，利用逻辑的方法，经过严密的推理而得出的结论。在《几何原本》第一卷，给出了点、线、面等基本概念，以及五条公设和五条公理，然后以这些基本定义、公设和公理作为全书出发点，推导出了其余四百六十五条命题。“对顶角相等”这个看来很简单的命题，在《几何原本》里是这样证明：如图：∠1 ∠3是平角，∠2 ∠3是平角，然后根据公理三（等量减等量，其差相等），所以∠1=∠2。
这就是古希膜人在研究数学时不凭直觉和实验而进行的逻辑证明，而且这一方法已经渗透到其他各学科。仅凭直觉得来的结果不一定是正确的，如果有人问一厘米长的线段和一米长的线段哪个点多，你凭直觉说一米长的线段同点多，那就是错了，从映射的角度来看，它们上的点可以构成一个一一对应，其实是一样多才对。
三、数学的美是一种严谨的美
罗素说：“数学……犹如雕刻的美——冷而严肃，它不是投合我们天性的微弱的方面，没有绘画和音乐那些华丽的外衣”。首先是推理的严谨性。数学要求每个命题必须是由在它之前已建立的一些命题为依据，利用逻辑的方法，经过严密推理而得出的结论，而所有这些推理链的共同点，就是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理。其次是语言的精确性。比如，对无限的描述，在文学中有“孤帆远影碧空尽”的想象和“无边落木萧萧下”的意境，却没有数学的ε—N语言对极限描述的那样严谨与科学，数学的这种精确，在没有认识到他的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式，然而任何精密的思维和精确的语言是不可分割的。
四、数学的美还体现在风格的简洁和结构的完善
首先，数学符号化，使数学的表达更为简洁，这种简洁的严谨性有助于思维的效率，能够使数学家们在进行复杂思考时应用自如。例如，平行用“//”，垂直用“┻”一，形象、简洁，比用文字更直观且易于表达。数学结构的美主要体现在对称美、比例美等，数学中的对称除了与生活类似的轴对称、中心对称外，还有意义更广泛的对称：加与减、乘与除的互逆对称，也还有形如（x y z）5-x5-y5-z5的式子称作齐次对称式，这些在数学的每一章节都体会到。数学中的比例美，对称是一种比例，黄金分割也是一种比例。人的正常体温是37℃，体温的0.618倍为22.8℃，当人处在22℃～24℃时，身体协调功能与内分泌功能达到最佳，所以在此温度中人体感到最适宜。
总之，数学的美包含了一切文化的美，是数学家们孜孜不倦的追求，最后让我们以罗索的一段话作为结束语吧：“数学……它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地，一种真实的喜悦的精神、一种精神上的亢奋、一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学进得到”。