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听过许多市、县级的新课程示范课与观摩课,从教师的教学理念、教学方式,到学生的合作交流、自主探索,无不给人全新的感受.但新课程增加的新内容,也给教师带来了新的挑战,需要我们一起去探讨与思辨.比如,必修模块数学1“函数的零点”教学中,就多次听到授课教师言必称“零点不是点”.那么,函数的零点真的不是点吗?本文想就此谈点肤浅的认识,与同仁商榷.
1.什么是函数的零点
苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学1(必修)》中的定义是:一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图像上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图像与x轴交点的横坐标.
人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学1(必修)》中的定义是:对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.这样,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.
在定义中,函数的零点有两个层面的描述.一是从数上讲,函数的零点是一个实数,是对应方程的根;二是从形上看,函数的零点只是一个点的横坐标.这也许就是“零点不是点”的重要依据吧.现在我们自然会有这样的疑问:函数的零点为什么只是定义为实数x的值,而不定义为真正意义上的点(x,0)?实际上,要解开函数零点的疑团,还需要从理解函数的概念开始.
什么是函数?函数并不是一个解析表达式,也不是列表或图像,而是一种元素间的对应关系.函数的本质就是这两个变量之间的相互依赖关系,它反映的是一个运动、发展、变化的过程.解析式、列表与图像只是描述两个变量之间函数关系的三种重要表示方法.首先,函数与函数图像是两个不同的概念.我们可以说“函数y=f(x)的图像经过点(x0,0)”,但不能说“函数y=f(x)经过点(x0,0)”.因此,将(x0,0)称为函数的零点是不合适的.而由函数y=f(x)的图像经过点(x0,0),我们可以说f(x0)=0,即x0是使函数y=f(x)的值为零的点.其次,研究函数就是要研究两个变量间的这种依赖关系,即在自变量x的运动变化过程中,因变量y会有谁与之相对应.也就是说我们是通过x的变化去研究函数的变化.比如,函数的单调性是研究自变量x变大时,函数值y是否也变大;函数的奇偶性是研究自变量x互为相反数时,函数值y是否也互为相反数.同样,函数的零点就是研究自变量x取何值时,才有函数值为零.这就是函数零点的定义的必要性与合理性.
2.零点真的不是点吗
诚然,在函数零点的教学中使用“零点不是点”进行教学提醒,是学生容易接受的,并能帮助学生较好地理解函数零点的概念,借此强化认知冲突,不至于与上位概念“点”产生混淆.实践证明,教学效果也是明显的.但作为数学教师,我们又必须清醒地认识到:“零点不是点”的说法是欠妥的.
实际上,“零点不是点”的错误认识是由上位概念“点”的理解缺失造成的.在“零点不是点”中,我们错把“点”理解为直角坐标平面内的一个有序实数对(x,y).正如定义中所言,“函数y=f(x)的零点,就是它的图像与x轴交点的横坐标”,言外之意,即交点(x0,0)是点,而其横坐标x0不是点.事实上,点是空间中只有位置、没有大小的图形(这里仅限欧氏几何.在点集拓扑中,点是一个拓扑空间中的集合的元素),点作为最简单的几何概念,是几何图形的最基本的组成部分.但点可以与数或数对按照一定的法则建立一一对应的关系,用数或数对可以表示相应的点,使点具有数的意义.例如,点A(x,y)就是在二维欧氏空间内用有序数对(x,y)表示的一个点.同样,在三维空间里,可以用有序数对(x,y,z)表示一个点.退一步,在一维空间里我们是用实数x与点一一对应的,每一个实数x就是数轴上的一个点.因此,实数与数轴上的点是可以统一起来认识的,或者说它们是同一对象的两种表现形式.而函数的零点正是实数x的值,函数的性质也正是通过自变量x在x轴上的变化来分析的.从数学本质上看,直角坐标系中x轴就是一条数轴,所以“零点是点”和“零点是实数”并不矛盾,它们只是从“形”和“数”两个角度对函数零点概念的不同刻画,两者是和谐的.再比如,导数中的极值点定义,也是相似的情况.
综上所述,函数的零点不是一个核心概念(这部分教材内容的核心概念是函数).在实际教学中,只要让学生能从形和数两个方面对它有基本的了解即可,不需要过分强调“函数的零点不是点而是数”，不要在一些细枝末节上过分纠缠,而应把教学的重点放在函数与方程的联系上.
【参考文献】
［1］人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编.普通高中课程标准实验教科书•数学1(必修)［M］.北京:人民教育出版社,2004.
［2］单壿.普通高中课程标准实验教科书•数学1(必修)［M］.南京:江苏教育出版社,2007.
1.什么是函数的零点
苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学1(必修)》中的定义是:一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图像上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图像与x轴交点的横坐标.
人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学1(必修)》中的定义是:对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.这样,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.
在定义中,函数的零点有两个层面的描述.一是从数上讲,函数的零点是一个实数,是对应方程的根;二是从形上看,函数的零点只是一个点的横坐标.这也许就是“零点不是点”的重要依据吧.现在我们自然会有这样的疑问:函数的零点为什么只是定义为实数x的值,而不定义为真正意义上的点(x,0)?实际上,要解开函数零点的疑团,还需要从理解函数的概念开始.
什么是函数?函数并不是一个解析表达式,也不是列表或图像,而是一种元素间的对应关系.函数的本质就是这两个变量之间的相互依赖关系,它反映的是一个运动、发展、变化的过程.解析式、列表与图像只是描述两个变量之间函数关系的三种重要表示方法.首先,函数与函数图像是两个不同的概念.我们可以说“函数y=f(x)的图像经过点(x0,0)”,但不能说“函数y=f(x)经过点(x0,0)”.因此,将(x0,0)称为函数的零点是不合适的.而由函数y=f(x)的图像经过点(x0,0),我们可以说f(x0)=0,即x0是使函数y=f(x)的值为零的点.其次,研究函数就是要研究两个变量间的这种依赖关系,即在自变量x的运动变化过程中,因变量y会有谁与之相对应.也就是说我们是通过x的变化去研究函数的变化.比如,函数的单调性是研究自变量x变大时,函数值y是否也变大;函数的奇偶性是研究自变量x互为相反数时,函数值y是否也互为相反数.同样,函数的零点就是研究自变量x取何值时,才有函数值为零.这就是函数零点的定义的必要性与合理性.
2.零点真的不是点吗
诚然,在函数零点的教学中使用“零点不是点”进行教学提醒,是学生容易接受的,并能帮助学生较好地理解函数零点的概念,借此强化认知冲突,不至于与上位概念“点”产生混淆.实践证明,教学效果也是明显的.但作为数学教师,我们又必须清醒地认识到:“零点不是点”的说法是欠妥的.
实际上,“零点不是点”的错误认识是由上位概念“点”的理解缺失造成的.在“零点不是点”中,我们错把“点”理解为直角坐标平面内的一个有序实数对(x,y).正如定义中所言,“函数y=f(x)的零点,就是它的图像与x轴交点的横坐标”,言外之意,即交点(x0,0)是点,而其横坐标x0不是点.事实上,点是空间中只有位置、没有大小的图形(这里仅限欧氏几何.在点集拓扑中,点是一个拓扑空间中的集合的元素),点作为最简单的几何概念,是几何图形的最基本的组成部分.但点可以与数或数对按照一定的法则建立一一对应的关系,用数或数对可以表示相应的点,使点具有数的意义.例如,点A(x,y)就是在二维欧氏空间内用有序数对(x,y)表示的一个点.同样,在三维空间里,可以用有序数对(x,y,z)表示一个点.退一步,在一维空间里我们是用实数x与点一一对应的,每一个实数x就是数轴上的一个点.因此,实数与数轴上的点是可以统一起来认识的,或者说它们是同一对象的两种表现形式.而函数的零点正是实数x的值,函数的性质也正是通过自变量x在x轴上的变化来分析的.从数学本质上看,直角坐标系中x轴就是一条数轴,所以“零点是点”和“零点是实数”并不矛盾,它们只是从“形”和“数”两个角度对函数零点概念的不同刻画,两者是和谐的.再比如,导数中的极值点定义,也是相似的情况.
综上所述,函数的零点不是一个核心概念(这部分教材内容的核心概念是函数).在实际教学中,只要让学生能从形和数两个方面对它有基本的了解即可,不需要过分强调“函数的零点不是点而是数”，不要在一些细枝末节上过分纠缠,而应把教学的重点放在函数与方程的联系上.
【参考文献】
［1］人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编.普通高中课程标准实验教科书•数学1(必修)［M］.北京:人民教育出版社,2004.
［2］单壿.普通高中课程标准实验教科书•数学1(必修)［M］.南京:江苏教育出版社,2007.