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《礼记·学记》：“是故学然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自强也。故曰教学相长也。” 在长期的数学教学中，通过与学生对数学问题的探究，深深的体会到教学相长的含义与魅力。下面就通过亲身的经历来谈点体会。
求轨迹问题，我出示了第一个例子：
例1，已知动点P（x，y）到定直线l：x=-3与定点M（1，0）的距离相等，求动点P（x，y）的轨迹方程。
这个题目有明确的几何等量关系，只要代入坐标运算就可以得到方程y=8（x+1），这是以点（-1，0）为顶点，2P=8，开口向右的抛物线。这种根据几何等式列出代数方程的方法我们不妨称之为直接法。这个题目有没有别的方法呢，显然我们可以看出动点的轨迹是抛物线，接下来，我从确定顶点、对称轴、开口方向、准线、焦准距p等方面进行了分析，并指出了它们之间的关系。并指出如果我们根据条件可以确定轨迹类型，再去求相关参数的方法，我们称之为定义法。
我们举了第二个例子。
例2，△ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且AC、AB、BC成等差数列，则点C的轨迹方程是 。
在提问时，同学们异口同声地说轨迹是椭圆，都在下面忙着写算，我巡视了一下，发现几乎所有同学都是用两点间距离公式进行运算，而不是应用定义法。
当学习习惯了一种方法时，不会主动寻求简捷的方法，更主要的原因可能是因为有现成的等量关系：AC+BC=2AB，即AC+BC=8，给出的等量关系，只要用坐标代入就可以算出，这一点对成绩较好和较差的学生有相同的表现。
分析其中的原因，表现在思维上的抽象层次不同，用定义求解，更多的要借助于心智技能，而坐标代入求解，则是操作技能为主，从题目所承载的知识类型来说，坐标代入计算是程序性知识，而定义法则是陈述性知识。
陈述性知识要回答“是什么”，它通过网络化和结构性来表征观念（命题、表象、线性次序、图式）间的联系，反映事物的状况及其联系陈述性知识的获得主要通过激活的传播来完成，陈述性知识的获得速度较快，图式经历的时间稍长，命题往往在几秒钟内就被掌握，检验陈述性知识是通过看其能否被陈述、描述，任何知识的学习都要经过陈述性阶段才能进入程序性阶段。程序性知识的获得过程就是陈述性知识向技能的转化过程。练习与反馈是陈述性知识转化为程序性知识的重要条件。程序性知识的运用有助于陈述性知识的学习。
一方面，由于定义法求解，需要对相关概念、知识间的联系要综合运用，对学生的能力要求较高，另一方面，定义法求解，通过练习后，能使学生在今后有意识地运用定义求解，掌握定义求解的一般程序，提升学生知识应用能力，加强综合分析能力。
我接下来又给出了下面一道题：
例3，与圆（x-1）2+y2=1外切，且与y轴相切的动圆的圆心P的轨迹方程是 。
我画出了示意图，给出了答案：y2=4x。正准备讲下面一题，一个女生提出了疑问：如果动圆画在y轴的左边呢？下面马上有同学附和，应该还有x轴，我立即意识到我犯了一个错误，心里咯噔了一下，我重新画图，匆忙间，画出的动圆与定圆内切了，学生马上说画错了，我连忙擦去，又重新在左边画出动圆，显然还应该有x轴的负半轴，答案应该是y2=4x（x≠0）或y=0（x<0）。我说，如果将与定圆“外切”改为“相切”呢？那么轨迹就应该还有x轴的正半轴。
下面的故事发生在晚自习上。
题目：已知动点P（x，y）到定直线l：x=-3与定点M（-1，0）的距离相等，
（1） 求P（x，y）动点的轨迹方程。
（2） 记定直线l：x=-3与x轴的交点为B，基问题（1）中的轨迹上两点A、C满足条件：|MA|，|MB|，|MC|成等差数列，求弦AC中点的横坐标。
（3） 设问题（2）中弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。
前两个问题的解决没有问题，比较顺利，第3个问题学生运用：联立方程、韦达定理、中点公式、中点在抛物线内部等知识也可以得出结果。这个问题一般性解决采用三字诀“中、垂、交”，以前也分析过，现在学生能顺利解决，说明学生对这部分知识的掌握已不存在什么问题，我很高兴和满意。
但并不是每个同学都能熟练掌握，譬如黄俊情同学，他在这个题上已经花费了很长时间了，还是没有弄出来，过来问我，我没好气地说：“根据条件表示将k用m表示，利用中点在抛物线内部的条件就可以求出m的范 围了。”“不是啊，老师，你看……”他边说，边在乱七八糟的图形上继续重复画着线条，我说估计不行吧，他回到座位上，他和石磊又叫我过去，又解释了一会，还是说不出具体的理由，我有点不满地说：“别在浪费时间了，还是用原来的两种方法解吧。”
回到办公室，两人又跟过来了，还有蒋佳骏。蒋佳骏向来数学很好，脑子也灵，反应快，他说：“老师，这种做法对的。”于是他向我解释起来。过中点作x轴的垂线，与抛物线交于D、E两点，过这两点分别作抛物线的法线，两条法线的纵截距分别为t1，t2，则t1 这个问题对一般的椭圆适用吗？这是我们他们提出的一个疑问，几个人不假思索地回答：“肯定适用。”
我用几何画板通过演示，发现他们的回答是正确的。但这种解法的依据是什么呢？如何说明以（x0，y0）为中点，当x0不变，y0变化时，m值一定介于t1与t2之间呢？
我用几何画板作图，却很难作出以给定点为中点的弦来，所以无法用几何画板实现随机动态演示。
我想将问题进行先进行一般化，设抛物线y2=2px上两点为A（x1，y1），B（x2，y2），其中点横坐标为x=x0，如果弦AB的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。为计算方便，取p=2， x0=1进行验证，求得m的取值范围（m1，m2）。
接下来将问题转化为，如果弦AB的中点横坐标为x=x0，证明AB的垂直平分线的纵截距的范围是（m1，m2），且正好是过A、B的抛物线的法线的纵截距。
接下来的问题是，如何不通过计算而说明AB的垂直平分线的纵截距介于过A、B的抛物线的法线的纵截距之间呢？
这个问题如果解决了，这就为今后解决此类问题提供了一种捷径。
教学中我们经常会碰到上面的问题：第一， 教师解题过程中出现错误。如何应对呢？如果学生指出来了，如何面对自己事先并未察觉的错误，并充分运用错误资源呢？
第二， 学生提供了一种独到的问题解决方案，作为教师并没有意识到学生思维的创新，难免自以为是，否定学生，如何避免因自己的无知而影响学生创新思维的萌发呢？
第三， 如何选择一个适当的视角反思师生双方各自的价值取向呢？譬如，从习惯的角度省思学生的思维启动的动力，或教师应对此类问题发生的一般解决方案，是否合适？
求轨迹问题，我出示了第一个例子：
例1，已知动点P（x，y）到定直线l：x=-3与定点M（1，0）的距离相等，求动点P（x，y）的轨迹方程。
这个题目有明确的几何等量关系，只要代入坐标运算就可以得到方程y=8（x+1），这是以点（-1，0）为顶点，2P=8，开口向右的抛物线。这种根据几何等式列出代数方程的方法我们不妨称之为直接法。这个题目有没有别的方法呢，显然我们可以看出动点的轨迹是抛物线，接下来，我从确定顶点、对称轴、开口方向、准线、焦准距p等方面进行了分析，并指出了它们之间的关系。并指出如果我们根据条件可以确定轨迹类型，再去求相关参数的方法，我们称之为定义法。
我们举了第二个例子。
例2，△ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且AC、AB、BC成等差数列，则点C的轨迹方程是 。
在提问时，同学们异口同声地说轨迹是椭圆，都在下面忙着写算，我巡视了一下，发现几乎所有同学都是用两点间距离公式进行运算，而不是应用定义法。
当学习习惯了一种方法时，不会主动寻求简捷的方法，更主要的原因可能是因为有现成的等量关系：AC+BC=2AB，即AC+BC=8，给出的等量关系，只要用坐标代入就可以算出，这一点对成绩较好和较差的学生有相同的表现。
分析其中的原因，表现在思维上的抽象层次不同，用定义求解，更多的要借助于心智技能，而坐标代入求解，则是操作技能为主，从题目所承载的知识类型来说，坐标代入计算是程序性知识，而定义法则是陈述性知识。
陈述性知识要回答“是什么”，它通过网络化和结构性来表征观念（命题、表象、线性次序、图式）间的联系，反映事物的状况及其联系陈述性知识的获得主要通过激活的传播来完成，陈述性知识的获得速度较快，图式经历的时间稍长，命题往往在几秒钟内就被掌握，检验陈述性知识是通过看其能否被陈述、描述，任何知识的学习都要经过陈述性阶段才能进入程序性阶段。程序性知识的获得过程就是陈述性知识向技能的转化过程。练习与反馈是陈述性知识转化为程序性知识的重要条件。程序性知识的运用有助于陈述性知识的学习。
一方面，由于定义法求解，需要对相关概念、知识间的联系要综合运用，对学生的能力要求较高，另一方面，定义法求解，通过练习后，能使学生在今后有意识地运用定义求解，掌握定义求解的一般程序，提升学生知识应用能力，加强综合分析能力。
我接下来又给出了下面一道题：
例3，与圆（x-1）2+y2=1外切，且与y轴相切的动圆的圆心P的轨迹方程是 。
我画出了示意图，给出了答案：y2=4x。正准备讲下面一题，一个女生提出了疑问：如果动圆画在y轴的左边呢？下面马上有同学附和，应该还有x轴，我立即意识到我犯了一个错误，心里咯噔了一下，我重新画图，匆忙间，画出的动圆与定圆内切了，学生马上说画错了，我连忙擦去，又重新在左边画出动圆，显然还应该有x轴的负半轴，答案应该是y2=4x（x≠0）或y=0（x<0）。我说，如果将与定圆“外切”改为“相切”呢？那么轨迹就应该还有x轴的正半轴。
下面的故事发生在晚自习上。
题目：已知动点P（x，y）到定直线l：x=-3与定点M（-1，0）的距离相等，
（1） 求P（x，y）动点的轨迹方程。
（2） 记定直线l：x=-3与x轴的交点为B，基问题（1）中的轨迹上两点A、C满足条件：|MA|，|MB|，|MC|成等差数列，求弦AC中点的横坐标。
（3） 设问题（2）中弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。
前两个问题的解决没有问题，比较顺利，第3个问题学生运用：联立方程、韦达定理、中点公式、中点在抛物线内部等知识也可以得出结果。这个问题一般性解决采用三字诀“中、垂、交”，以前也分析过，现在学生能顺利解决，说明学生对这部分知识的掌握已不存在什么问题，我很高兴和满意。
但并不是每个同学都能熟练掌握，譬如黄俊情同学，他在这个题上已经花费了很长时间了，还是没有弄出来，过来问我，我没好气地说：“根据条件表示将k用m表示，利用中点在抛物线内部的条件就可以求出m的范 围了。”“不是啊，老师，你看……”他边说，边在乱七八糟的图形上继续重复画着线条，我说估计不行吧，他回到座位上，他和石磊又叫我过去，又解释了一会，还是说不出具体的理由，我有点不满地说：“别在浪费时间了，还是用原来的两种方法解吧。”
回到办公室，两人又跟过来了，还有蒋佳骏。蒋佳骏向来数学很好，脑子也灵，反应快，他说：“老师，这种做法对的。”于是他向我解释起来。过中点作x轴的垂线，与抛物线交于D、E两点，过这两点分别作抛物线的法线，两条法线的纵截距分别为t1，t2，则t1
我用几何画板通过演示，发现他们的回答是正确的。但这种解法的依据是什么呢？如何说明以（x0，y0）为中点，当x0不变，y0变化时，m值一定介于t1与t2之间呢？
我用几何画板作图，却很难作出以给定点为中点的弦来，所以无法用几何画板实现随机动态演示。
我想将问题进行先进行一般化，设抛物线y2=2px上两点为A（x1，y1），B（x2，y2），其中点横坐标为x=x0，如果弦AB的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。为计算方便，取p=2， x0=1进行验证，求得m的取值范围（m1，m2）。
接下来将问题转化为，如果弦AB的中点横坐标为x=x0，证明AB的垂直平分线的纵截距的范围是（m1，m2），且正好是过A、B的抛物线的法线的纵截距。
接下来的问题是，如何不通过计算而说明AB的垂直平分线的纵截距介于过A、B的抛物线的法线的纵截距之间呢？
这个问题如果解决了，这就为今后解决此类问题提供了一种捷径。
教学中我们经常会碰到上面的问题：第一， 教师解题过程中出现错误。如何应对呢？如果学生指出来了，如何面对自己事先并未察觉的错误，并充分运用错误资源呢？
第二， 学生提供了一种独到的问题解决方案，作为教师并没有意识到学生思维的创新，难免自以为是，否定学生，如何避免因自己的无知而影响学生创新思维的萌发呢？
第三， 如何选择一个适当的视角反思师生双方各自的价值取向呢？譬如，从习惯的角度省思学生的思维启动的动力，或教师应对此类问题发生的一般解决方案，是否合适？