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[摘 要] 用替换还是用假设？学生的困惑源于理解的片面和教学的偏颇. 教学“解决问题的策略”常常需要追本溯源，弄清每一个策略本身所蕴涵的数学思想，这样才能抓住策略的本质，使学生获得基本的数学思想和活动经验.
[关键词] 策略；假设；替换
缘起
小学六年级上册的“解决问题策略”单元安排的内容是“替换和假设”，从教材编排上看，分别是：例1教替换策略，例2教假设策略. 例1通过替换使“两种不同的杯子”换成“同一种杯子”，从而将陌生的问题转化成熟悉的问题来解决，其方法实际上是一种等量代换. 例2假设“都是大船”或“都是小船”，算出总人数与实际人数不符，进而通过替换来进行调整，向正确结果靠拢，直至问题的答案. 两课时分别教学时，学生对于这两种策略的应用类型均比较熟悉，在解决问题的过程中能建立起策略模型，所以能比较熟练地进行解答. 但是当两个课时的内容进行综合练习时，学生开始混淆，发现例1学习的等量代换方法在例2的问题情境中无法运用，于是在学完了整个单元后反而产生了这样的疑问：究竟是“替换”还是“假设”？这两种策略被完全割裂，甚至相互干扰.
面对学生的困惑，有的教师试图帮助学生进行比较，诸如已知总数和两个量的份数，求两个量分别是多少时用替换法；已知总数和两个单一量，求两个量的份数时用假设法……结果把知识切割成一块又一块，各说各的，碰到这道题这样做，碰到那道题那样做，没碰到过的就不会做. 甚至要求学生先套题型、对号入座，再根据题型提取解题“流程”. 就这样，策略教学又回到了“解题术”的老路上来，学生陷入“背流程”的痛苦状态，这与策略教学的初衷完全相悖.
学生的学习现实值得我们反思：该单元到底是教替换还是教假设？替换和假设之间有没有内在联系？是并列关系还是从属关系？替换和假设作为一种方法，它们的上位观念是什么？怎样教才能凸显上位观念，帮助学生形成策略、掌握方法？
探究
《数学课程标准》在总体目标中明确提出：“学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. ”这一目标充分表明数学基本思想对于学生学习和发展的重要性. 策略单元的教学就为学生感悟数学思想提供了一个载体，因此我们教学“解决问题的策略”时常常需要追本溯源，弄清每一个策略本身所蕴涵的数学思想，这样才能抓住策略的本质，从整体上把握教学方向.
沈重予老师将本册教材所编排的假设和替换策略归纳为“尝试”. 他认为，“解决一个从未解决过的问题，经验系统里没有现存的模式可以运用，这时，猜一猜、估一估往往是解决问题的突破口. 尝试与估计不一定就是问题的答案，这就需要通过验证来确认和排除. 尝试作为一种方法，验证作为一种科学态度，两者有机结合，是一种非常有效的策略. ”如此看来，假设是形成替换的上位观念，替换是在假设的前提下进行的一种具体操作，当假设的结果与原题有差异时，替换是一种调整的方法. 简言之，“假设”是教学的策略，“替换”是配合策略实施的解题行为. 教学中应该突显“假设”这一上位思想，使之贯穿整个单元教学. 因此，教学中切不可由于过分关注替换的操作过程而忽略引发替换行为的内在思想——假设，让学生陷入替换与假设相互割裂、毫无关联的误区. 例1作为该单元的起始教学，在“假设”这一基本思想的构建过程中起着十分关键的作用. 合理地渗透假设思想，能使学生体验遇到陌生问题要大胆假设、小心求证、不断调整、靠近正解，这既是一种数学的思考方法，也是科学研究的精神态度.
实际教学过程中，学生面对例1的问题情境，一般会想到“换成同一种杯子”，但是，不会主动体会“假设”是形成“替换”的上位观念. 教学中教师的作用应该体现在引导学生在解决问题的活动中体会“假设”：假设果汁都倒入大杯里或者都倒入小杯里，问题就简单了. 为了使果汁倒入同一种杯子里，可以“替换”，即用大杯替换小杯，或者用小杯替换大杯，“假设”是解决这个问题的突破口.
基于上述思考，笔者做出了相应的教学预设，并进行了教学实践，教学环节如下.
实践
教学目标：使学生初步学会根据问题情境提出“假设”，并用“替换”的方法实现假设，分析数量关系，使学生在解决问题过程的活动中感受“假设和替换”对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理能力.
教学重点：感受“假设”的数学思想，掌握“替换”的操作方法.
教学过程：
1. 准备题
（1）小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯中，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？
（2）小明把720毫升的果汁倒入3个相同的大杯中，正好都倒满，每个大杯的容量是多少毫升？
设计意图 准备题是常规题，只出现一种量，可以直接用除法求出单一量是多少. 准备题与例题情境形成鲜明对比，使学生在解决例1时自然产生“假如是同一种杯子就简单了”的设想，为实施替换作铺垫.
2. 教学例1
（1）引发假设
改变问题情境：小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯中，正好都倒满. 小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
师：还能直接除吗？为什么不能？
生：有两种不同的杯子.
师：如果变成怎样的情况，问题就好解决了？
生：全用大杯或全用小杯.
师：你提出了一个设想——假如果汁都倒入同一种杯子，问题就变得和刚才一样简单了，那么，可以实现吗？（相机板书：假设）
生：把大杯换成小杯，或者把小杯换成大杯.
设计意图 引导学生体会“假设”是解题的突破口：假设果汁都倒入大杯里或者都倒入小杯里，问题就简单了. 为了使果汁倒入同一种杯子里，可以“替换”，即用大杯替换小杯，或者用小杯替换大杯. （2）实施替换
师：可以把大杯和小杯进行替换，替换的结果怎样呢？同学们可以借助学具摆一摆，或者画一画. （相机板书：替换）
方法一：大杯换小杯
师：为什么可以这样替换？
生：因为小杯的容量是大杯的.
师：这个条件是替换的依据！
师：可以怎样替换？替换的结果怎样？
（相机板书操作过程：替换的依据—怎样替换—替换的结果）
方法二：小杯换大杯（出示教具杯子）
师：你能按照刚才的过程边操作边思考吗？
学生独立解答.
设计意图 “替换”是解决问题的具体操作环节，正确的替换能帮助学生找到隐藏的数量关系，从而将复杂的问题转化为简单的问题，所以，准确把握替换的要领十分必要. 通过“替换的依据是什么”“怎样替换”“替换的结果怎样”三个问题的引领，帮助学生把握操作要领、分析数量关系、形成解题思路.
（3）检验假设（略）
（4）回顾感悟
师：比较这两种解法，有什么相同之处？
生：都是把不同大小的杯子替换成相同的杯子.
师：为什么要替换呢？
生：因为我们假设果汁倒入同一种杯子，所以就要进行替换.
师：看来“假设果汁倒入同一种杯子”是解决这道题的关键. 根据这个设想，我们是怎样替换的？替换的过程中要注意什么？
设计意图 例题的教学目的不是解决这个问题，而是感受“假设”的策略和掌握“替换”的方法. 所以，要加强对解题过程的反思，从中找到“假设”，感受在“假设”的前提下进行的“替换”，逐步提升对假设和替换策略的认识.
3. 教学“练一练”
改编题：小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯中，正好倒满. 大杯的容量比小杯的容量多160毫升，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
师：你能提出怎样的假设？又该怎样替换呢？
学生独立解答.
比较提升.
师：刚才连续解决了两个倒果汁的问题，都应用了什么样的策略？
生：假设和替换.
师：为什么要假设？
生：有两种不同的量.
师：替换的依据是什么？替换后的结果怎样？
生：当两个量是倍数关系时，替换后总量不变；当两个量是相差关系时，也可以进行替换，但是总量会发生变化.
师：在遇到这样的复杂问题时，合理地假设、正确地替换可以使隐藏的数量关系变得更明朗，使复杂的问题变成熟悉的简单问题. 假设得出的结果是否正确，还要进行检验，如果与原条件出现差异，还要进行调整，这在以后的学习中我们还将进一步研究.
……
设计意图 问题解决以后，组织学生回顾解题过程、体会其中的思想方法、找到假设思想、把握替换要领，才能逐渐内化为自己的策略. 同时，应提出对假设的结果与原条件还要进行比较和调整的情况，为第二课时的教学埋下伏笔，使第一课时“假设下的替换”和第二课时“假设下的调整”形成系列，整个单元的教学融为一个整体，进一步凸显“假设”基本思想在解决问题过程中的价值.
感悟
将假设的思想作为策略教学的上位观念，两个课时的内容就有机结合起来了，即第一课时主要学习“基于假设的替换”，第二课时则是“基于假设的调整”. 在上述的例1教学中，紧扣“假设”这一基本思想，让学生经历“提出假设—实施替换—检验假设”的解决问题思考过程，感受“假设”作为一种解决问题的策略的特有价值. 就该课而言，围绕两条线索展开教学：一条是明线，即实施替换的具体方法指导，属技巧和方法层面，是策略教学的“术”；另一条是暗线，引导学生合理假设，意在领会策略特定的价值，渗透基本的数学思想，是策略教学的“道”，“道以明向，术为立策”. 教学伊始并未直接切入替换，而是引导学生大胆假设，继而产生替换的尝试，使学生感到替换是由假设引发的有形操作，而假设是解决问题的基本思想. 问题解决后组织学生回顾解决问题的过程，也不仅仅停留于替换这一操作环节的注意事项，而是引导学生反思“为什么要替换”，使学生体会到假设是引发替换的根源，合理假设、大胆尝试、细心验证能够打开思路，使解决问题的方法多样化.
策略教学不是空中楼阁，沈重予教师指出：策略教学不能离开方法说空话. 掌握策略是为了更好地解决问题，但绝不仅是为了解决一个问题或一类问题，而是在面对陌生问题时，个体内部能启动一系列的探究“引擎”，沿着一定的探究路径寻求解决问题的突破口. 本课要突显假设策略的本质，并不意味着忽略具体的方法指导. 只有正确实施替换，才能发现替换前后量的变与不变，找到数量之间的关系，顺利解决问题，从而感受假设策略的价值. 所以，替换方法的指导不可忽视. 在替换的过程中，由于条件的变化会导致替换结果的变化，如倍数关系的替换是等量代换，总量不变；相差关系的替换是不等量代换，总量发生变化. 但是不能拘泥于一两道题目的比较区分、死记硬背，而要给予学生一个实施操作、分析思考的抓手，使学生面对新的、陌生的问题情境仍能独立地进行分析和思考. 教学中通过不断地追问：替换的依据是什么？怎样替换？替换的结果如何？实际上为学生的操作和反思搭建了一条实施操作的路径. 沿着这样的探究路径，学生仿佛手执一本“替换说明书”，可以摆脱教师的被动牵引，通过画一画、摆一摆等方法自主探究替换过程. 无论是例1中大小杯的替换，还是例2中大小船的替换，都可以依照上述路径实施操作、进行分析，寻找数量关系，并在不同问题情境的替换过程中发现规律，积累数学活动经验，形成基本的数学思考方法.
数学知识具有较强的系统性，数学学习更是整体的认知过程. 策略教学要跳出例题教学策略，就必须把握教材例题（知识点）之间本质的联系，站在一个更高的层次上去审视和处理教材，找准策略教学的制高点和落脚点，做好知识和方法的预设与铺垫，有的放矢地组织学习和体验，这样才能防止策略教学中出现就题论题、偏离目标的现象，从而向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学学习通道.
[关键词] 策略；假设；替换
缘起
小学六年级上册的“解决问题策略”单元安排的内容是“替换和假设”，从教材编排上看，分别是：例1教替换策略，例2教假设策略. 例1通过替换使“两种不同的杯子”换成“同一种杯子”，从而将陌生的问题转化成熟悉的问题来解决，其方法实际上是一种等量代换. 例2假设“都是大船”或“都是小船”，算出总人数与实际人数不符，进而通过替换来进行调整，向正确结果靠拢，直至问题的答案. 两课时分别教学时，学生对于这两种策略的应用类型均比较熟悉，在解决问题的过程中能建立起策略模型，所以能比较熟练地进行解答. 但是当两个课时的内容进行综合练习时，学生开始混淆，发现例1学习的等量代换方法在例2的问题情境中无法运用，于是在学完了整个单元后反而产生了这样的疑问：究竟是“替换”还是“假设”？这两种策略被完全割裂，甚至相互干扰.
面对学生的困惑，有的教师试图帮助学生进行比较，诸如已知总数和两个量的份数，求两个量分别是多少时用替换法；已知总数和两个单一量，求两个量的份数时用假设法……结果把知识切割成一块又一块，各说各的，碰到这道题这样做，碰到那道题那样做，没碰到过的就不会做. 甚至要求学生先套题型、对号入座，再根据题型提取解题“流程”. 就这样，策略教学又回到了“解题术”的老路上来，学生陷入“背流程”的痛苦状态，这与策略教学的初衷完全相悖.
学生的学习现实值得我们反思：该单元到底是教替换还是教假设？替换和假设之间有没有内在联系？是并列关系还是从属关系？替换和假设作为一种方法，它们的上位观念是什么？怎样教才能凸显上位观念，帮助学生形成策略、掌握方法？
探究
《数学课程标准》在总体目标中明确提出：“学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. ”这一目标充分表明数学基本思想对于学生学习和发展的重要性. 策略单元的教学就为学生感悟数学思想提供了一个载体，因此我们教学“解决问题的策略”时常常需要追本溯源，弄清每一个策略本身所蕴涵的数学思想，这样才能抓住策略的本质，从整体上把握教学方向.
沈重予老师将本册教材所编排的假设和替换策略归纳为“尝试”. 他认为，“解决一个从未解决过的问题，经验系统里没有现存的模式可以运用，这时，猜一猜、估一估往往是解决问题的突破口. 尝试与估计不一定就是问题的答案，这就需要通过验证来确认和排除. 尝试作为一种方法，验证作为一种科学态度，两者有机结合，是一种非常有效的策略. ”如此看来，假设是形成替换的上位观念，替换是在假设的前提下进行的一种具体操作，当假设的结果与原题有差异时，替换是一种调整的方法. 简言之，“假设”是教学的策略，“替换”是配合策略实施的解题行为. 教学中应该突显“假设”这一上位思想，使之贯穿整个单元教学. 因此，教学中切不可由于过分关注替换的操作过程而忽略引发替换行为的内在思想——假设，让学生陷入替换与假设相互割裂、毫无关联的误区. 例1作为该单元的起始教学，在“假设”这一基本思想的构建过程中起着十分关键的作用. 合理地渗透假设思想，能使学生体验遇到陌生问题要大胆假设、小心求证、不断调整、靠近正解，这既是一种数学的思考方法，也是科学研究的精神态度.
实际教学过程中，学生面对例1的问题情境，一般会想到“换成同一种杯子”，但是，不会主动体会“假设”是形成“替换”的上位观念. 教学中教师的作用应该体现在引导学生在解决问题的活动中体会“假设”：假设果汁都倒入大杯里或者都倒入小杯里，问题就简单了. 为了使果汁倒入同一种杯子里，可以“替换”，即用大杯替换小杯，或者用小杯替换大杯，“假设”是解决这个问题的突破口.
基于上述思考，笔者做出了相应的教学预设，并进行了教学实践，教学环节如下.
实践
教学目标：使学生初步学会根据问题情境提出“假设”，并用“替换”的方法实现假设，分析数量关系，使学生在解决问题过程的活动中感受“假设和替换”对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理能力.
教学重点：感受“假设”的数学思想，掌握“替换”的操作方法.
教学过程：
1. 准备题
（1）小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯中，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？
（2）小明把720毫升的果汁倒入3个相同的大杯中，正好都倒满，每个大杯的容量是多少毫升？
设计意图 准备题是常规题，只出现一种量，可以直接用除法求出单一量是多少. 准备题与例题情境形成鲜明对比，使学生在解决例1时自然产生“假如是同一种杯子就简单了”的设想，为实施替换作铺垫.
2. 教学例1
（1）引发假设
改变问题情境：小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯中，正好都倒满. 小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
师：还能直接除吗？为什么不能？
生：有两种不同的杯子.
师：如果变成怎样的情况，问题就好解决了？
生：全用大杯或全用小杯.
师：你提出了一个设想——假如果汁都倒入同一种杯子，问题就变得和刚才一样简单了，那么，可以实现吗？（相机板书：假设）
生：把大杯换成小杯，或者把小杯换成大杯.
设计意图 引导学生体会“假设”是解题的突破口：假设果汁都倒入大杯里或者都倒入小杯里，问题就简单了. 为了使果汁倒入同一种杯子里，可以“替换”，即用大杯替换小杯，或者用小杯替换大杯. （2）实施替换
师：可以把大杯和小杯进行替换，替换的结果怎样呢？同学们可以借助学具摆一摆，或者画一画. （相机板书：替换）
方法一：大杯换小杯
师：为什么可以这样替换？
生：因为小杯的容量是大杯的.
师：这个条件是替换的依据！
师：可以怎样替换？替换的结果怎样？
（相机板书操作过程：替换的依据—怎样替换—替换的结果）
方法二：小杯换大杯（出示教具杯子）
师：你能按照刚才的过程边操作边思考吗？
学生独立解答.
设计意图 “替换”是解决问题的具体操作环节，正确的替换能帮助学生找到隐藏的数量关系，从而将复杂的问题转化为简单的问题，所以，准确把握替换的要领十分必要. 通过“替换的依据是什么”“怎样替换”“替换的结果怎样”三个问题的引领，帮助学生把握操作要领、分析数量关系、形成解题思路.
（3）检验假设（略）
（4）回顾感悟
师：比较这两种解法，有什么相同之处？
生：都是把不同大小的杯子替换成相同的杯子.
师：为什么要替换呢？
生：因为我们假设果汁倒入同一种杯子，所以就要进行替换.
师：看来“假设果汁倒入同一种杯子”是解决这道题的关键. 根据这个设想，我们是怎样替换的？替换的过程中要注意什么？
设计意图 例题的教学目的不是解决这个问题，而是感受“假设”的策略和掌握“替换”的方法. 所以，要加强对解题过程的反思，从中找到“假设”，感受在“假设”的前提下进行的“替换”，逐步提升对假设和替换策略的认识.
3. 教学“练一练”
改编题：小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯中，正好倒满. 大杯的容量比小杯的容量多160毫升，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
师：你能提出怎样的假设？又该怎样替换呢？
学生独立解答.
比较提升.
师：刚才连续解决了两个倒果汁的问题，都应用了什么样的策略？
生：假设和替换.
师：为什么要假设？
生：有两种不同的量.
师：替换的依据是什么？替换后的结果怎样？
生：当两个量是倍数关系时，替换后总量不变；当两个量是相差关系时，也可以进行替换，但是总量会发生变化.
师：在遇到这样的复杂问题时，合理地假设、正确地替换可以使隐藏的数量关系变得更明朗，使复杂的问题变成熟悉的简单问题. 假设得出的结果是否正确，还要进行检验，如果与原条件出现差异，还要进行调整，这在以后的学习中我们还将进一步研究.
……
设计意图 问题解决以后，组织学生回顾解题过程、体会其中的思想方法、找到假设思想、把握替换要领，才能逐渐内化为自己的策略. 同时，应提出对假设的结果与原条件还要进行比较和调整的情况，为第二课时的教学埋下伏笔，使第一课时“假设下的替换”和第二课时“假设下的调整”形成系列，整个单元的教学融为一个整体，进一步凸显“假设”基本思想在解决问题过程中的价值.
感悟
将假设的思想作为策略教学的上位观念，两个课时的内容就有机结合起来了，即第一课时主要学习“基于假设的替换”，第二课时则是“基于假设的调整”. 在上述的例1教学中，紧扣“假设”这一基本思想，让学生经历“提出假设—实施替换—检验假设”的解决问题思考过程，感受“假设”作为一种解决问题的策略的特有价值. 就该课而言，围绕两条线索展开教学：一条是明线，即实施替换的具体方法指导，属技巧和方法层面，是策略教学的“术”；另一条是暗线，引导学生合理假设，意在领会策略特定的价值，渗透基本的数学思想，是策略教学的“道”，“道以明向，术为立策”. 教学伊始并未直接切入替换，而是引导学生大胆假设，继而产生替换的尝试，使学生感到替换是由假设引发的有形操作，而假设是解决问题的基本思想. 问题解决后组织学生回顾解决问题的过程，也不仅仅停留于替换这一操作环节的注意事项，而是引导学生反思“为什么要替换”，使学生体会到假设是引发替换的根源，合理假设、大胆尝试、细心验证能够打开思路，使解决问题的方法多样化.
策略教学不是空中楼阁，沈重予教师指出：策略教学不能离开方法说空话. 掌握策略是为了更好地解决问题，但绝不仅是为了解决一个问题或一类问题，而是在面对陌生问题时，个体内部能启动一系列的探究“引擎”，沿着一定的探究路径寻求解决问题的突破口. 本课要突显假设策略的本质，并不意味着忽略具体的方法指导. 只有正确实施替换，才能发现替换前后量的变与不变，找到数量之间的关系，顺利解决问题，从而感受假设策略的价值. 所以，替换方法的指导不可忽视. 在替换的过程中，由于条件的变化会导致替换结果的变化，如倍数关系的替换是等量代换，总量不变；相差关系的替换是不等量代换，总量发生变化. 但是不能拘泥于一两道题目的比较区分、死记硬背，而要给予学生一个实施操作、分析思考的抓手，使学生面对新的、陌生的问题情境仍能独立地进行分析和思考. 教学中通过不断地追问：替换的依据是什么？怎样替换？替换的结果如何？实际上为学生的操作和反思搭建了一条实施操作的路径. 沿着这样的探究路径，学生仿佛手执一本“替换说明书”，可以摆脱教师的被动牵引，通过画一画、摆一摆等方法自主探究替换过程. 无论是例1中大小杯的替换，还是例2中大小船的替换，都可以依照上述路径实施操作、进行分析，寻找数量关系，并在不同问题情境的替换过程中发现规律，积累数学活动经验，形成基本的数学思考方法.
数学知识具有较强的系统性，数学学习更是整体的认知过程. 策略教学要跳出例题教学策略，就必须把握教材例题（知识点）之间本质的联系，站在一个更高的层次上去审视和处理教材，找准策略教学的制高点和落脚点，做好知识和方法的预设与铺垫，有的放矢地组织学习和体验，这样才能防止策略教学中出现就题论题、偏离目标的现象，从而向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学学习通道.