论文部分内容阅读
摘要：通过对将军饮马模型解法的探究和拓展应用，在建立模型、完善模型、打破模型、再建新模型的过程中，让学生积累基本的数学解题经验，提高学生的数学解题能力，提升学生的应用能力、创新意识和探索精神。
关键词：探究解法；拓展应用；创新意识
近几年中考和高中自主招生数学试卷中，经常出现动点在某图形上运动，求线段和的最小值问题。动点在直线上，两定点在直线同旁的两线段和的最小值问题，是我们熟悉的模型，也是初中几何中求线段和的最小值常见数学模型即将軍饮马模型。
当动点轨迹由直线变为抛物线或双曲线时，如何求两线段和的最小值呢？能否从将军饮马模型解决方法中得到启发，能使问题得到解决呢？下面举例说明将军饮马模型解法的探究过程和其解法的拓展应用。
探究解法
一、 动点轨迹为直线（将军饮马模型）
例1如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（5，2），在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求最小值。
评注：方法一是对称转化，通过作一个定点关于x轴的对称定点，转化为两定点之间的最短距离问题，利用两点之间距离最短将问题解决，本题也可以作点B关于x轴的对称点。
方法二是恒等变形转化，将线段长用两点间的距离公式表示，利用代数恒等变形（相当于配方）得到新的两点间距离，根据数形结合思想可知，其实质是作点A关于x轴的对称点C，从而把直线同侧两线段之和转化为直线异侧两线段之和，再利用两点之间线段最短来解决。本题也可将（x-5）2+（0-2）2变形为（x-5）2+[0-（-2）]2。
拓展应用
二、 动点轨迹为抛物线
分析：要求△KFN周长的最小值，FN的长为定值，需要求KN+KF的最小值。对比将军饮马模型，定点F，N都在抛物线一侧，不同的是动点轨迹是抛物线，能否像将军饮马模型一样作对称点呢？
显然不能，能否像方法二那样，利用恒等变形转化，在抛物线的另一侧找一点M，使得KM=KF或KM=KN呢？如果可以，当N、K、M或F、K、M共线时，KN+KM或KF+KM最小，KN+KF的最小值问题就解决了。
评注：这里的点F和直线y=114很特殊，高中学完圆锥曲线之后，就知道这个点是抛物线的焦点，在抛物线的对称轴上，这条直线是抛物线的准线，抛物线上任意一点到焦点的距离与这点到准线的距离相等。这里两定点中有一个焦点，如果已知的两个定点中没有一个是焦点，问题就不能这样转化了。
本题的恒等变形就是配方，配成关于x-1的代数式，这里1是抛物线焦点的横坐标，最后变形为x2-2x+4-114，利用数形结合的思想从而将线段KF转化为抛物线异侧垂线段KM，然后利用垂线段最短解决本题。
三、 动点轨迹为双曲线
例3（黄石市中考题改编）在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，2），N（0，32），P为反比例函数y=-1x（x<0）的图像上一动点，PM∥x轴交直线AB于M，求PM+PN的最小值。
评注：高中学完圆锥曲线后知道，这里点K是双曲线的焦点，在双曲线的对称轴上，直线AB是双曲线的准线。过P作PH⊥AB，垂足为H，PKPH=2叫作双曲线的离心率，本题PM=2PH因此PM=PK。
几点启示
1. 本文通过探究将军饮马问题的解决方法，并将方法应用于动点轨迹为抛物线和双曲线，蕴含了丰富的数与形相互转化的数学思想。可以看出即使比较复杂的问题，所用的知识也是简单而基础的问题，因此教学中教给学生解题方法时，要与学生探究所给问题与基本问题的联系，使学生能够说出为什么这么想，用到哪些知识等，提高学生解题能力。
2. 构建解题模型，并在不同的情景中应用模型解题，有利于学生把握问题的本质，举一反三，培养学生思维的灵活性和批判性，也培养学生的发散思维和创新能力，有效减轻学生的学习负担，提升学生的数学素养。
作者简介：
李继丹，湖北省仙桃市，西流河镇初级中学。
关键词：探究解法；拓展应用；创新意识
近几年中考和高中自主招生数学试卷中，经常出现动点在某图形上运动，求线段和的最小值问题。动点在直线上，两定点在直线同旁的两线段和的最小值问题，是我们熟悉的模型，也是初中几何中求线段和的最小值常见数学模型即将軍饮马模型。
当动点轨迹由直线变为抛物线或双曲线时，如何求两线段和的最小值呢？能否从将军饮马模型解决方法中得到启发，能使问题得到解决呢？下面举例说明将军饮马模型解法的探究过程和其解法的拓展应用。
探究解法
一、 动点轨迹为直线（将军饮马模型）
例1如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（5，2），在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求最小值。
评注：方法一是对称转化，通过作一个定点关于x轴的对称定点，转化为两定点之间的最短距离问题，利用两点之间距离最短将问题解决，本题也可以作点B关于x轴的对称点。
方法二是恒等变形转化，将线段长用两点间的距离公式表示，利用代数恒等变形（相当于配方）得到新的两点间距离，根据数形结合思想可知，其实质是作点A关于x轴的对称点C，从而把直线同侧两线段之和转化为直线异侧两线段之和，再利用两点之间线段最短来解决。本题也可将（x-5）2+（0-2）2变形为（x-5）2+[0-（-2）]2。
拓展应用
二、 动点轨迹为抛物线
分析：要求△KFN周长的最小值，FN的长为定值，需要求KN+KF的最小值。对比将军饮马模型，定点F，N都在抛物线一侧，不同的是动点轨迹是抛物线，能否像将军饮马模型一样作对称点呢？
显然不能，能否像方法二那样，利用恒等变形转化，在抛物线的另一侧找一点M，使得KM=KF或KM=KN呢？如果可以，当N、K、M或F、K、M共线时，KN+KM或KF+KM最小，KN+KF的最小值问题就解决了。
评注：这里的点F和直线y=114很特殊，高中学完圆锥曲线之后，就知道这个点是抛物线的焦点，在抛物线的对称轴上，这条直线是抛物线的准线，抛物线上任意一点到焦点的距离与这点到准线的距离相等。这里两定点中有一个焦点，如果已知的两个定点中没有一个是焦点，问题就不能这样转化了。
本题的恒等变形就是配方，配成关于x-1的代数式，这里1是抛物线焦点的横坐标，最后变形为x2-2x+4-114，利用数形结合的思想从而将线段KF转化为抛物线异侧垂线段KM，然后利用垂线段最短解决本题。
三、 动点轨迹为双曲线
例3（黄石市中考题改编）在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，2），N（0，32），P为反比例函数y=-1x（x<0）的图像上一动点，PM∥x轴交直线AB于M，求PM+PN的最小值。
评注：高中学完圆锥曲线后知道，这里点K是双曲线的焦点，在双曲线的对称轴上，直线AB是双曲线的准线。过P作PH⊥AB，垂足为H，PKPH=2叫作双曲线的离心率，本题PM=2PH因此PM=PK。
几点启示
1. 本文通过探究将军饮马问题的解决方法，并将方法应用于动点轨迹为抛物线和双曲线，蕴含了丰富的数与形相互转化的数学思想。可以看出即使比较复杂的问题，所用的知识也是简单而基础的问题，因此教学中教给学生解题方法时，要与学生探究所给问题与基本问题的联系，使学生能够说出为什么这么想，用到哪些知识等，提高学生解题能力。
2. 构建解题模型，并在不同的情景中应用模型解题，有利于学生把握问题的本质，举一反三，培养学生思维的灵活性和批判性，也培养学生的发散思维和创新能力，有效减轻学生的学习负担，提升学生的数学素养。
作者简介：
李继丹，湖北省仙桃市，西流河镇初级中学。