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2011年3月，笔者接到通知要在“浙派名师暨全国小学数学名师经典课堂教学艺术展”中上一节数学课。能在这样的大型活动中得到历练，笔者在高兴之余，又有一丝担心。因为上课的具体内容是人教版三年级下册“用连乘解决问题”，这一内容笔者曾在2007年学校50周年校庆时上过。如果现在采用原先的设计再上一遍，肯定没有新意；重新进行设计，可不是件容易的事。如何将同样的内容，上出不一样的精彩？笔者对此进行了一番思考和磨课。
2007年版课堂再现
（一）导入
今年我们学校有一件大喜事——50周年校庆。有一位校友为校庆送来了一份特殊的礼物。（教师示新校服图片及仓库摆放图片）
（二）展开
1.自主探索，尝试解决
(1)观察提取信息：每箱有200套校服，每层有5箱，放了4层。
(2)学生尝试计算并交流方法。
方法一：5×4×200=4000（套），总箱数×每箱套数=总套数。
方法二：200×5×4=4000（套），每层的套数×层数=总套数。
方法三：200×4×5=4000（套），每列的套数×列数=总套数。
（设计意图：选取校服问题作为研究例题，主要原因为：第一，将数学与生活紧密结合在一起，通过计算校服共有几套，充分激发学生的学习兴趣。第二，箱子的摆放图非常直观地再现了每行、每列、每箱之间的关系，利于学生清晰解释连乘算式每一步的意义。第三，这个例题的三种解决方法都具有实际意义。）
(3)小结归纳：4000套校服到底够不够？出示学校总人数为3989人，3989<4000。（够）
2.尝试练习
(1)教材第10页例1：跑道每圈400米，她一个星期（7天）跑了多少米？
(2)交流方法。
方法一：400×2×7=5600（米）。
方法二：2×7×400=5600（米）。
方法三：400×7×2=5600（米），如果这个小朋友每天跑400米，7天跑的就是2800米，但是她实际每天是跑2圈，所以再乘2。
（设计意图：选取跑步问题作为练习题，一方面是因为它源于教材，是一道基本练习;另一方面也是因为它与学生的生活实际密切相关，学生容易理解题目表述的意思。）
3.小结并揭题
4.独立练习：教材第102页第4、5题
（三）拓展提高
1.出示问题，获取信息
解释规格：12×2板
2.学生解答并交流
（设计意图：类似这样的吃药问题在生活中比较常见，它充分体现了“连乘在日常生活中的应用”。在本题的解答过程中，经常会看到两种思路。思路一：12×2=24（颗），6×2×3=36（颗），24<36，不够。思路二：12×2×2=48（颗），6×2×3=36（颗），48>36，够。第一种思路中学生没有看清题目条件，导致出错。看来，在解决实际问题的过程中，还需要培养学生根据问题选取信息的能力，而此题的设计就体现了这一点。）
2007年上完课后，感觉课堂还是比较顺利的，但课后几个没有答案的问题也一直纠缠着笔者。如：数量关系到底要不要总结？算法多样化需不需要优化？连乘模式系统建构后要不要适时解构？一个接一个的问题让笔者对这节课重新进行了一次思考。现在再上这节课，例题的情境也一定得改，当时结合学校校庆实际设计的校服问题已时过境迁。那么多问题凑在一起，让笔者不免有点担忧起来，这课究竟该怎么上啊？
行动——“异构”再现思考
思考之一：关于目标定位——注重问题解决
1．学生认知基础分析
“用连乘两步计算解决问题”是人教版三年级下册第八单元“解决问题”第一课时的内容。本课内容是在学生学习了用乘加（减）等两步计算知识解决问题，两三位数乘一位数，初步接触连乘计算式题的基础上进行教学的。学生在前面的学习中已经获得了一些解决问题的基本经验，初步掌握了两步计算式题的计算方法。基于上述分析，本课的重点定位于运用连乘解决生活实际问题。让学生经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，理解基本的数量关系，并在解决问题的过程中体会解决策略的多样性，感知数学的应用价值，享受成功解决问题的乐趣。
2．学生学习难点分析
对学生而言，正确计算连乘式题不存在问题，但根据题意正确分析、理解算式每一步所表示的意义并清晰地表达数量关系，学会用多种策略解决问题是学生在本课学习中的难点。因此，教师的教学应帮助学生提炼解决问题的方法：从问题出发、合理选取信息、多角度思考、对算式每一步进行分析、理解数量关系并鼓励学生用多种方法解决问题等，切实提高学生解决问题的能力。当然作为本课争议点之一的“假设”思想，笔者认为在三年级出现并不合适，教师还是应该引导学生结合题意分析算理，帮助学生建立清晰的数量关系。
思考之二：关于材料组织——体现数形结合
1．人教版例题分析
人教版教材例题的材料是“广播操表演”，这一问题能较好地体现连乘问题的结构特征、数量关系及思考策略，但由于“表演人数较多”的原因，使得用形象的图解法来分析每种解题思路变得有困难，其实这一问题的解决策略除了用“一个方阵的人数×方阵数”外，其余两个策略学生很难想到。考虑到以上原因，笔者将例题的素材进行了改编。
2．改编后的例题分析
改编后的例题素材为“礼品盒的摆放”， 如下图所示。选择这一材料作为例题的主要原因是：第一，它能较好地体现数形结合的思想，沟通解决问题、计算教学与空间图形三者的关系，在培养学生解决问题的能力的同时发展学生的空间观念，为今后的学习打下基础。第二，根据学生的认知规律：学习过程应从形象感知逐步过渡到抽象概括，因此对例题进行研究时，有必要让学生借助直观图形象地理解数量关系，然后由易到难逐步提升。第三，“礼品盒的摆放”问题共有三种解决策略，这三种策略学生都易发现、易理解，能较好地体现本课解决问题策略多样化的思想。 思考之三：关于策略选取——重在激活思维
1.多角度思考问题
解决问题应倡导学生根据实际情况多角度进行思考，即从问题出发或从条件出发，通过提供多种信息让学生筛选，培养学生分析处理信息的能力。在本课的教学设计中，笔者试图通过具体形象的例题研究到第二层次书面练习（如下图所示），从问题研究中单一条件到隐藏条件、多余条件的提取，从学生讨论解决到自己独立尝试等设计，由浅入深、由表及里，通过抽象、概括、归纳、演绎、类比等进行推理，引导学生进行数学思维。
2．多策略解决问题
本课在设计过程中鼓励学生用多种策略解决问题，如在礼盒摆放问题、跑步问题、游泳问题中都倡导学生用多种方法进行解答，并通过合作交流，开拓学生的思路，培养发散性思维。通过比较分析，优化解题思路，进一步提升学生解决实际问题的能力，为学生今后的数学学习打下扎实的基础。
带着对教学设计的三点新思考，笔者完成了本节课的过程预设，课堂实践的效果证明：这样的预设是可行的。
【教学预设】
(一)导入环节
双休日老师去超市看到一箱礼品，它里面的小礼盒是这样摆放的，课件出示。
（二）新课展开
1．初步尝试用连乘两步解决问题
(1)根据图提炼数学信息。
有2层小礼盒，每层有3行，每行有5个，一共有几个小礼盒？
(2)学生尝试解决：列式解答。
方法一：5×3×2=30（个）。
每行有5个，有这样的3行，用5×3先求出一层的个数，有这样的2层，再乘2。
方法二：5×2×3=30（个）。
每行有5个，有2行，用5×2先算出一面的个数，因为有这样的3面，所以再乘3。
方法三： 2×3×5=30（个）。
有2层，每层3个，用2×3求出这样的一面有6个，共有这样的5个面，再乘5。
小结变式：如果小礼盒再加一层变为3层呢，你打算先求什么？那如果变成10层呢？100层呢？你打算先求什么？看——来我们只要先求出一面的个数，再乘上有这样的几面，就能顺利地解决问题。
2．实际应用，尝试练习
(1)练一练：跑道每圈400米，她一个星期（7天）跑了多少米？
(2)小结揭题：礼盒问题、跑步问题的相同点——两步计算、方法多样。
3．巩固练习，融会贯通
(1)学生独立思考解答：游泳问题、相册整理问题。
(2)反馈交流重点。
游泳问题——来回的实际意义。相册整理——多余信息的处理。
(3)小结：做完这两道题后，你得到什么启示？ ——解决问题时要提取有用的信息。
（三）拓展提高
1. 例题拓展：每人发一个奖品，1大箱够不够？
(1)出示问题：还记得课开始时的小礼盒吗？如果老师想把这些小礼盒中的礼物送给班里的小朋友一人一个。这一大箱够不够？需要考虑什么问题？
(2)讨论交流,条件获取：班级人数，每个小盒子里到底装了几个礼物？
课件出示：每个小立方体里装着1个。
得到结论：需2箱。30×2=60（个）。
2. 例题拓展：买2大箱礼物200元钱够吗？
(1)出示问题：
(2)讨论交流，出示条件。
条件一：每箱90元。
条件二：每个3元。
(3)学生尝试解答。
方法一：已知每盒90元，90×2=180（元）， 180<200。
方法二：已知每个3元，30×2×3=180（元 ） ，180<200。
(4)小结：选取的条件不同，计算方法也不同。
3. 例题拓展：如果每个小盒子里有2个喜羊羊礼物，买2大箱礼物，200元钱够吗？
(1)学生尝试解答：30×2×2×3=360（元）。
(2)交流算式每一步的意义。
(3)小结：连乘解决问题不一定只有三个数相乘，我们要从问题出发，选择合理的条件灵活解答。
回顾——“研究”生成智慧
回顾这节课的磨课历程，从得知课题时的焦虑到初备教案时的困惑，再到完成任务时的轻松，感触颇多，也让笔者对这样一类解决问题的课有了新的认识。
一、解决问题重在“材料设计”
数学学习的过程，实质上是人脑对外部数学材料接受、分析、选择和整合的过程。教师要想选择有效的“原料”，既要关注学生的生活实际，让材料具有广度，同时也要关注教学的目标体系，让材料具有深度，两者兼顾，才能让教学更加有效。
通过设计一组递进式的学习材料，引领学生主动参与、自主体验，从而理解掌握知识、构建新的认知结构是非常重要的。通过上述教学实践，可以发现，教师在课堂导入、新课展开、练习拓展等环节精心设计，尝试“一材多用”，让学生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的学习过程中，更加深刻地理解数学知识，从而解决问题。
二、解决问题重在“方法引领”
解决问题的过程并不仅仅是“列出算式，算出答案”的过程，它还应该是一个“习得方法，形成策略”的过程。基于这样的想法，在教学中，教师应鼓励学生多角度思考问题、多策略解决问题，并通过不断地自我评价，调控和解题后的提炼、整合，从中产生解决问题的有效策略，使解决问题达到最优化。
本课的板书设计（如下图所示），教师就结合具体的解题过程将解决问题的基本方法进行了梳理归纳，即从问题出发，合理提取有用的信息，采用多种策略解决问题。让学生通过一节课的学习，掌握解决问题的一般方法。
三、解决问题重在“适时解构”
在教学过程中，教师在让学生基本建立连乘问题数学模型的同时，也考虑了通过合适的材料进行解构。
首先，教师对课题进行了调整，不出现“连乘”两字，而用“解决问题”代替。让学生学会根据问题的需要去寻找解题策略，而不是在“课题”的引领下生搬硬套。其次，在列式的过程中，教师也特别强调让学生结合题意分析算理，提炼基本数量关系，让学生真正理解算式的意义。再次，本节课的练习题教师也进行了调整，如在游泳题中安排了隐含信息“来回”，在整理相册题中安排了多余信息“3小时”，在最后的礼盒题中安排了一个“四数连乘”的问题。在系统建构的基础上，适时解构，提升学生解决问题的能力。
数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程。从模型得到的结论是否符合实际是模型好坏的重要标志。在教学中教师要将建构与解构巧妙结合，帮助学生正确建立数学模型。
对于一节曾经上过的公开课，教师只要勤于研究、敢于突破，一样的“连乘”，也可以有不一样的“精彩”！
（浙江省杭州市求是教育集团 310012）
2007年版课堂再现
（一）导入
今年我们学校有一件大喜事——50周年校庆。有一位校友为校庆送来了一份特殊的礼物。（教师示新校服图片及仓库摆放图片）
（二）展开
1.自主探索，尝试解决
(1)观察提取信息：每箱有200套校服，每层有5箱，放了4层。
(2)学生尝试计算并交流方法。
方法一：5×4×200=4000（套），总箱数×每箱套数=总套数。
方法二：200×5×4=4000（套），每层的套数×层数=总套数。
方法三：200×4×5=4000（套），每列的套数×列数=总套数。
（设计意图：选取校服问题作为研究例题，主要原因为：第一，将数学与生活紧密结合在一起，通过计算校服共有几套，充分激发学生的学习兴趣。第二，箱子的摆放图非常直观地再现了每行、每列、每箱之间的关系，利于学生清晰解释连乘算式每一步的意义。第三，这个例题的三种解决方法都具有实际意义。）
(3)小结归纳：4000套校服到底够不够？出示学校总人数为3989人，3989<4000。（够）
2.尝试练习
(1)教材第10页例1：跑道每圈400米，她一个星期（7天）跑了多少米？
(2)交流方法。
方法一：400×2×7=5600（米）。
方法二：2×7×400=5600（米）。
方法三：400×7×2=5600（米），如果这个小朋友每天跑400米，7天跑的就是2800米，但是她实际每天是跑2圈，所以再乘2。
（设计意图：选取跑步问题作为练习题，一方面是因为它源于教材，是一道基本练习;另一方面也是因为它与学生的生活实际密切相关，学生容易理解题目表述的意思。）
3.小结并揭题
4.独立练习：教材第102页第4、5题
（三）拓展提高
1.出示问题，获取信息
解释规格：12×2板
2.学生解答并交流
（设计意图：类似这样的吃药问题在生活中比较常见，它充分体现了“连乘在日常生活中的应用”。在本题的解答过程中，经常会看到两种思路。思路一：12×2=24（颗），6×2×3=36（颗），24<36，不够。思路二：12×2×2=48（颗），6×2×3=36（颗），48>36，够。第一种思路中学生没有看清题目条件，导致出错。看来，在解决实际问题的过程中，还需要培养学生根据问题选取信息的能力，而此题的设计就体现了这一点。）
2007年上完课后，感觉课堂还是比较顺利的，但课后几个没有答案的问题也一直纠缠着笔者。如：数量关系到底要不要总结？算法多样化需不需要优化？连乘模式系统建构后要不要适时解构？一个接一个的问题让笔者对这节课重新进行了一次思考。现在再上这节课，例题的情境也一定得改，当时结合学校校庆实际设计的校服问题已时过境迁。那么多问题凑在一起，让笔者不免有点担忧起来，这课究竟该怎么上啊？
行动——“异构”再现思考
思考之一：关于目标定位——注重问题解决
1．学生认知基础分析
“用连乘两步计算解决问题”是人教版三年级下册第八单元“解决问题”第一课时的内容。本课内容是在学生学习了用乘加（减）等两步计算知识解决问题，两三位数乘一位数，初步接触连乘计算式题的基础上进行教学的。学生在前面的学习中已经获得了一些解决问题的基本经验，初步掌握了两步计算式题的计算方法。基于上述分析，本课的重点定位于运用连乘解决生活实际问题。让学生经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，理解基本的数量关系，并在解决问题的过程中体会解决策略的多样性，感知数学的应用价值，享受成功解决问题的乐趣。
2．学生学习难点分析
对学生而言，正确计算连乘式题不存在问题，但根据题意正确分析、理解算式每一步所表示的意义并清晰地表达数量关系，学会用多种策略解决问题是学生在本课学习中的难点。因此，教师的教学应帮助学生提炼解决问题的方法：从问题出发、合理选取信息、多角度思考、对算式每一步进行分析、理解数量关系并鼓励学生用多种方法解决问题等，切实提高学生解决问题的能力。当然作为本课争议点之一的“假设”思想，笔者认为在三年级出现并不合适，教师还是应该引导学生结合题意分析算理，帮助学生建立清晰的数量关系。
思考之二：关于材料组织——体现数形结合
1．人教版例题分析
人教版教材例题的材料是“广播操表演”，这一问题能较好地体现连乘问题的结构特征、数量关系及思考策略，但由于“表演人数较多”的原因，使得用形象的图解法来分析每种解题思路变得有困难，其实这一问题的解决策略除了用“一个方阵的人数×方阵数”外，其余两个策略学生很难想到。考虑到以上原因，笔者将例题的素材进行了改编。
2．改编后的例题分析
改编后的例题素材为“礼品盒的摆放”， 如下图所示。选择这一材料作为例题的主要原因是：第一，它能较好地体现数形结合的思想，沟通解决问题、计算教学与空间图形三者的关系，在培养学生解决问题的能力的同时发展学生的空间观念，为今后的学习打下基础。第二，根据学生的认知规律：学习过程应从形象感知逐步过渡到抽象概括，因此对例题进行研究时，有必要让学生借助直观图形象地理解数量关系，然后由易到难逐步提升。第三，“礼品盒的摆放”问题共有三种解决策略，这三种策略学生都易发现、易理解，能较好地体现本课解决问题策略多样化的思想。 思考之三：关于策略选取——重在激活思维
1.多角度思考问题
解决问题应倡导学生根据实际情况多角度进行思考，即从问题出发或从条件出发，通过提供多种信息让学生筛选，培养学生分析处理信息的能力。在本课的教学设计中，笔者试图通过具体形象的例题研究到第二层次书面练习（如下图所示），从问题研究中单一条件到隐藏条件、多余条件的提取，从学生讨论解决到自己独立尝试等设计，由浅入深、由表及里，通过抽象、概括、归纳、演绎、类比等进行推理，引导学生进行数学思维。
2．多策略解决问题
本课在设计过程中鼓励学生用多种策略解决问题，如在礼盒摆放问题、跑步问题、游泳问题中都倡导学生用多种方法进行解答，并通过合作交流，开拓学生的思路，培养发散性思维。通过比较分析，优化解题思路，进一步提升学生解决实际问题的能力，为学生今后的数学学习打下扎实的基础。
带着对教学设计的三点新思考，笔者完成了本节课的过程预设，课堂实践的效果证明：这样的预设是可行的。
【教学预设】
(一)导入环节
双休日老师去超市看到一箱礼品，它里面的小礼盒是这样摆放的，课件出示。
（二）新课展开
1．初步尝试用连乘两步解决问题
(1)根据图提炼数学信息。
有2层小礼盒，每层有3行，每行有5个，一共有几个小礼盒？
(2)学生尝试解决：列式解答。
方法一：5×3×2=30（个）。
每行有5个，有这样的3行，用5×3先求出一层的个数，有这样的2层，再乘2。
方法二：5×2×3=30（个）。
每行有5个，有2行，用5×2先算出一面的个数，因为有这样的3面，所以再乘3。
方法三： 2×3×5=30（个）。
有2层，每层3个，用2×3求出这样的一面有6个，共有这样的5个面，再乘5。
小结变式：如果小礼盒再加一层变为3层呢，你打算先求什么？那如果变成10层呢？100层呢？你打算先求什么？看——来我们只要先求出一面的个数，再乘上有这样的几面，就能顺利地解决问题。
2．实际应用，尝试练习
(1)练一练：跑道每圈400米，她一个星期（7天）跑了多少米？
(2)小结揭题：礼盒问题、跑步问题的相同点——两步计算、方法多样。
3．巩固练习，融会贯通
(1)学生独立思考解答：游泳问题、相册整理问题。
(2)反馈交流重点。
游泳问题——来回的实际意义。相册整理——多余信息的处理。
(3)小结：做完这两道题后，你得到什么启示？ ——解决问题时要提取有用的信息。
（三）拓展提高
1. 例题拓展：每人发一个奖品，1大箱够不够？
(1)出示问题：还记得课开始时的小礼盒吗？如果老师想把这些小礼盒中的礼物送给班里的小朋友一人一个。这一大箱够不够？需要考虑什么问题？
(2)讨论交流,条件获取：班级人数，每个小盒子里到底装了几个礼物？
课件出示：每个小立方体里装着1个。
得到结论：需2箱。30×2=60（个）。
2. 例题拓展：买2大箱礼物200元钱够吗？
(1)出示问题：
(2)讨论交流，出示条件。
条件一：每箱90元。
条件二：每个3元。
(3)学生尝试解答。
方法一：已知每盒90元，90×2=180（元）， 180<200。
方法二：已知每个3元，30×2×3=180（元 ） ，180<200。
(4)小结：选取的条件不同，计算方法也不同。
3. 例题拓展：如果每个小盒子里有2个喜羊羊礼物，买2大箱礼物，200元钱够吗？
(1)学生尝试解答：30×2×2×3=360（元）。
(2)交流算式每一步的意义。
(3)小结：连乘解决问题不一定只有三个数相乘，我们要从问题出发，选择合理的条件灵活解答。
回顾——“研究”生成智慧
回顾这节课的磨课历程，从得知课题时的焦虑到初备教案时的困惑，再到完成任务时的轻松，感触颇多，也让笔者对这样一类解决问题的课有了新的认识。
一、解决问题重在“材料设计”
数学学习的过程，实质上是人脑对外部数学材料接受、分析、选择和整合的过程。教师要想选择有效的“原料”，既要关注学生的生活实际，让材料具有广度，同时也要关注教学的目标体系，让材料具有深度，两者兼顾，才能让教学更加有效。
通过设计一组递进式的学习材料，引领学生主动参与、自主体验，从而理解掌握知识、构建新的认知结构是非常重要的。通过上述教学实践，可以发现，教师在课堂导入、新课展开、练习拓展等环节精心设计，尝试“一材多用”，让学生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的学习过程中，更加深刻地理解数学知识，从而解决问题。
二、解决问题重在“方法引领”
解决问题的过程并不仅仅是“列出算式，算出答案”的过程，它还应该是一个“习得方法，形成策略”的过程。基于这样的想法，在教学中，教师应鼓励学生多角度思考问题、多策略解决问题，并通过不断地自我评价，调控和解题后的提炼、整合，从中产生解决问题的有效策略，使解决问题达到最优化。
本课的板书设计（如下图所示），教师就结合具体的解题过程将解决问题的基本方法进行了梳理归纳，即从问题出发，合理提取有用的信息，采用多种策略解决问题。让学生通过一节课的学习，掌握解决问题的一般方法。
三、解决问题重在“适时解构”
在教学过程中，教师在让学生基本建立连乘问题数学模型的同时，也考虑了通过合适的材料进行解构。
首先，教师对课题进行了调整，不出现“连乘”两字，而用“解决问题”代替。让学生学会根据问题的需要去寻找解题策略，而不是在“课题”的引领下生搬硬套。其次，在列式的过程中，教师也特别强调让学生结合题意分析算理，提炼基本数量关系，让学生真正理解算式的意义。再次，本节课的练习题教师也进行了调整，如在游泳题中安排了隐含信息“来回”，在整理相册题中安排了多余信息“3小时”，在最后的礼盒题中安排了一个“四数连乘”的问题。在系统建构的基础上，适时解构，提升学生解决问题的能力。
数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程。从模型得到的结论是否符合实际是模型好坏的重要标志。在教学中教师要将建构与解构巧妙结合，帮助学生正确建立数学模型。
对于一节曾经上过的公开课，教师只要勤于研究、敢于突破，一样的“连乘”，也可以有不一样的“精彩”！
（浙江省杭州市求是教育集团 310012）