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例1 ■+■+■=■,a、b、c三数均为自然数,且a、b都是四位数,c为五位数,求c。
分析与解 见到这道题时,往往会围绕1999考虑,但无论怎样变化,均感无从下手。如果采用构造法先构造一个等式,再变化为满足题干的条件,就可轻易获得解答。
不妨设a’=2,b’=3,c’=6,构造等式:■+■+■=1。
因为,“1999×2”、“1999×3”均为四位数,而“1999×6”为五位数,所以,(■+■+■)×■=1×■,即■+■+■=■。因此,c=11994。
例2 从1到100这100个数中,任取10个数,使这10个数的倒数和是1,求这10个数。
分析与解 这是一道典型的非常规问题,如采用从这100个数中去取10个数来试验,则非常麻烦,我们不妨构造出满足条件的10个数来,就可化难为易,使问题获得圆满解决。
1=1-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■
=(1-■)+(■-■)+(■-■)…+(■-■)+(■-■)+■
=■+■+■+■+■+■+■+■+■
故这10个数是:2、6、10、12、20、30、42、56、72、90。
从上面两个例子可以看出,用构造法解题的关键是构造出等式,它包含两种情形:一是间接构造式子,然后通过等式的变形,导出满足条件的式子,使问题获得解决,如例1;一是直接构造出满足条件的式子,使问题直接获得解决,如例2。当然,要构造出恰当的式子,就必须观察、分析题目特点,联系已有知识,同时,还要善于总结、积累。
分析与解 见到这道题时,往往会围绕1999考虑,但无论怎样变化,均感无从下手。如果采用构造法先构造一个等式,再变化为满足题干的条件,就可轻易获得解答。
不妨设a’=2,b’=3,c’=6,构造等式:■+■+■=1。
因为,“1999×2”、“1999×3”均为四位数,而“1999×6”为五位数,所以,(■+■+■)×■=1×■,即■+■+■=■。因此,c=11994。
例2 从1到100这100个数中,任取10个数,使这10个数的倒数和是1,求这10个数。
分析与解 这是一道典型的非常规问题,如采用从这100个数中去取10个数来试验,则非常麻烦,我们不妨构造出满足条件的10个数来,就可化难为易,使问题获得圆满解决。
1=1-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■-■+■
=(1-■)+(■-■)+(■-■)…+(■-■)+(■-■)+■
=■+■+■+■+■+■+■+■+■
故这10个数是:2、6、10、12、20、30、42、56、72、90。
从上面两个例子可以看出,用构造法解题的关键是构造出等式,它包含两种情形:一是间接构造式子,然后通过等式的变形,导出满足条件的式子,使问题获得解决,如例1;一是直接构造出满足条件的式子,使问题直接获得解决,如例2。当然,要构造出恰当的式子,就必须观察、分析题目特点,联系已有知识,同时,还要善于总结、积累。