数学书上说：“方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.”也就是说平行向量不包括零向量.但书上又说：“零向量与任一向量平行.”这两句话不是矛盾了吗？既然零向量与任一向量平行，那为什么非要规定平行向量是“非零向量”？
　　首先，“方向相同或相反的非零向量叫作平行向量”与“零向量与任一向量平行”这两句话并不矛盾，而且后一句恰恰是对前一句中“非零向量”这一限制条件的解释和补充.由于非零向量具有方向性，所以只有当它们的方向相同或相反时，才存在平行关系.而零向量的方向是任意的.我们可以把它看作一个点，该点具有所有方向，对于平面中的任一向量，零向量总有一个方向与它的方向相同或相反，所以零向量与任一向量平行.正因为零向量的方向是任意的，所以才会把它拿出来单独考虑，这也是为了让同学们更深刻地理解零向量.
　　其次，数学书上并没有规定平行向量必须是“非零向量”，它只告诉我们“方向相同或相反的非零向量”是“平行向量”，但我们不能据此反推出“平行向量就是方向相同或相反的非零向量”.“方向相同或相反的非零向量”只是“平行向量”的充分不必要条件.当两个向量平行时，其中一个向量也可能为零向量.对此，我们可以通过一道例题来说明：判断命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”的真假.这显然是一个假命题，若b≠0，命题成立；若b=0，则a，c的方向无法确定，a∥c不一定成立.
　　由于零向量的存在，平行向量不具备传递性.所以在判断向量平行时，我们一般要分两种情况考虑：①所有的向量都不是零向量；②至少有一个向量是零向量.
　　平面向量共线定理可表述为“若向量a与非零向量b共线，则存在唯一实数λ，使得a=λb”.为什么向量b必须是非零向量呢？
　　若向量b可以是零向量，则平面向量共线定理变成“若向量a与向量b共线，则存在唯一实数λ，使得a=λb”.下面，我们分四种情况讨论该命题的真假.①若a，b都是非零向量，命题成立；②若a，b都是零向量，则实数λ可以是任意实数，命题不成立；③若a是非零向量，b是零向量，则不存在实数λ使a=λb，命题不成立；④若a是零向量，b是非零向量，此时a，b共线且λ有唯一解λ=0，命题成立.由②③可得，当向量b为零向量时，命题不成立.所以在平面向量共线定理中，向量b应是非零向量.
　　由此可见，在应用数学定理或公式时，一定要注意定理或公式成立的前提条件.