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三角函数求物理量的极值，往往是求出与被求物理量相关的三角函数表达式，经过三角函数的相关知识化简，再利用三角函数的有界性或不等式等知识进行处理得出结论.下面我们就来看几例利用三角函数求解物理极值的问题，以求在教学中能对培养学生的这方面能力有所帮助.
1 利用两角和（差）公式及三角函数有界性求解
三角函数里有很多关系式，如：sin2θ=2sinθ·cosθ、sin2θ cos2θ=1、cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ，cosβcosα=12等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的.
例1 如图1所示，在倾角为θ的斜面上方有一定点P，到斜面的（垂直）距离为h，过P点可作若干光滑轨道，使质点从P点由静止沿轨道下滑到斜面，试证明当轨道与竖直线的夹角α=θ2时，质点下滑时间最短，并求最短时间.
解析 根据质点受力情况和牛顿第二定律，可知质点在光滑斜轨道上的加速度
a=FM=gcosα，
在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，
由几何知识有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.
则质点沿PA做v0=0的匀加速直线运动的时间为
3 利用基本不等式与三角函数结合来处理
如果a，b，c为正数，则有a b c≥3abc，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号.
推论：
①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小；
②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大.
例3 如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？
解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则
E1=E2=kQ（asinθ）2（1）
又有 E=2E1·cosθ（2）
由（1）、（2）可得 E=2kQ·sin2θ·cosθa2（3）
将（3）式左右都平方，并整理成
E2=4（2kQa2）2（12sin2θ）·（12sin2θ）·cos2θ，
由于12sin2θ 12sin2θ cos2θ=1 （定值），
则（12sin2θ）（12sin2θ）·cos2θ存在极大值.即
E2≤4（2kQa2）212sin2θ 12sin2θ cos2θ3〗3
=427（2kQa2）2，
所以E≤43kQ9a2.
当12sin2θ=cos2θ，即θ=arctan2时取等号.
就是说，当θ=arctan2（差不多是55°）时，P点的电场强度最大：
Emax=43kQ9a2.
4 利用导数法求解三角函数极值问题
若物理量曲线的切线的斜率为零时，说明这个时候物理量的变化率为零，这时，该物理量一定具有极值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是变化过程中的极值.这为我们求物理量的最大值和最小值提供了方法.
例4 一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力功率的最大值？
解析 设小球运动到与水平方向成α角，则速度v和重力mg之间的夹角也为α，小球从A到C由动能定理
mgRsinα=12mv2，R为轻绳长.
由功率定义式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，对功率P求导：
P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα
=mg2gR1-3sin2α2sinα=0，
解得sinα=33时P具有极值，再求P在sinα=33处的二阶导数，p″=-mg2gRcosαsinα <0，即知P有最大值.
当然还可以从另一个角度考虑，始末两个状态重力的瞬时功率均为零，易得到在a=arcsin33时，重力的瞬时功率具有最大值.
导数在物理学的应用实质上是将物理内容结合到它的几何意义中，导数在求解物理量极值时具有比较简单方便等优势.
当然处理这类问题的数学方法还很多，比如上文中涉及的基本不等式法，除此之外还有二次函数配方法，一元二次方程判别式法等，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力.
1 利用两角和（差）公式及三角函数有界性求解
三角函数里有很多关系式，如：sin2θ=2sinθ·cosθ、sin2θ cos2θ=1、cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ，cosβcosα=12等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的.
例1 如图1所示，在倾角为θ的斜面上方有一定点P，到斜面的（垂直）距离为h，过P点可作若干光滑轨道，使质点从P点由静止沿轨道下滑到斜面，试证明当轨道与竖直线的夹角α=θ2时，质点下滑时间最短，并求最短时间.
解析 根据质点受力情况和牛顿第二定律，可知质点在光滑斜轨道上的加速度
a=FM=gcosα，
在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，
由几何知识有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.
则质点沿PA做v0=0的匀加速直线运动的时间为
3 利用基本不等式与三角函数结合来处理
如果a，b，c为正数，则有a b c≥3abc，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号.
推论：
①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小；
②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大.
例3 如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？
解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则
E1=E2=kQ（asinθ）2（1）
又有 E=2E1·cosθ（2）
由（1）、（2）可得 E=2kQ·sin2θ·cosθa2（3）
将（3）式左右都平方，并整理成
E2=4（2kQa2）2（12sin2θ）·（12sin2θ）·cos2θ，
由于12sin2θ 12sin2θ cos2θ=1 （定值），
则（12sin2θ）（12sin2θ）·cos2θ存在极大值.即
E2≤4（2kQa2）212sin2θ 12sin2θ cos2θ3〗3
=427（2kQa2）2，
所以E≤43kQ9a2.
当12sin2θ=cos2θ，即θ=arctan2时取等号.
就是说，当θ=arctan2（差不多是55°）时，P点的电场强度最大：
Emax=43kQ9a2.
4 利用导数法求解三角函数极值问题
若物理量曲线的切线的斜率为零时，说明这个时候物理量的变化率为零，这时，该物理量一定具有极值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是变化过程中的极值.这为我们求物理量的最大值和最小值提供了方法.
例4 一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力功率的最大值？
解析 设小球运动到与水平方向成α角，则速度v和重力mg之间的夹角也为α，小球从A到C由动能定理
mgRsinα=12mv2，R为轻绳长.
由功率定义式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，对功率P求导：
P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα
=mg2gR1-3sin2α2sinα=0，
解得sinα=33时P具有极值，再求P在sinα=33处的二阶导数，p″=-mg2gRcosαsinα <0，即知P有最大值.
当然还可以从另一个角度考虑，始末两个状态重力的瞬时功率均为零，易得到在a=arcsin33时，重力的瞬时功率具有最大值.
导数在物理学的应用实质上是将物理内容结合到它的几何意义中，导数在求解物理量极值时具有比较简单方便等优势.
当然处理这类问题的数学方法还很多，比如上文中涉及的基本不等式法，除此之外还有二次函数配方法，一元二次方程判别式法等，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力.