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[摘 要]逆向思维是一种创造性思维.数学问题浩如烟海，当用顺向思维去思考而感到“山重水复”时，不妨运用逆向思维去思考，这往往能独辟蹊径，出现“柳暗花明”的景象，使问题获解.
[关键词]逆向思维；数学解题；中学数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002802
心理学研究表明，每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程.在这两个互逆的思維过程中，存在着顺向与逆向的思维联结.思维的逆向性是相对的，是相对顺向思维而言的.逆向思维在现实生活中的应用十分广泛.“司马光砸缸救人”的故事就是逆向思维的典型例子.
一、逆向思维的含义及其在数学中的体现
逆向思维是一种创造性思维.逆向思维的本质特征是善于从对立的角度、相反的方向、互逆的路线去思考问题，能随时逆转心理过程，表现出灵活性及较强的思维调节能力.数学问题浩如烟海，当我们用顺向思维去思考而感到“山重水复”时，不妨用逆向思维去思考，这往往能独辟蹊径，出现“柳暗花明”的景象，使问题获解.
在中学数学教学中体现互逆思维的知识内容比比皆是，如运算与逆运算；命题与逆命题；定理与逆定理；多项式的乘法与多项式的因式分解；分子有理化与分母有理化；通分母与通分子；已知方程或不等式求其解与已知解求方程或不等式；已知函数求其定义域与已知定义域求函数；函数与反函数；已知函数求其周期与已知周期求其函数；已知函数的解析式求其图像与已知确定函数图像的条件求函数的解析式，已知曲线求其方程与已知方程求其曲线；等等.在中学数学课堂教学中，教师要善于引导学生运用逆向思维解决问题，这会使课堂教学绽放数学的思维美和逻辑美，使学生爱上数学.
二、运用逆向思维，使解题过程“柳暗花明”
逆向思维在数学解题中的应用十分广泛，如果善于运用逆向思维，往往会使解题过程简单明了，出现“柳暗花明”的景象.
1.数的大小比较
在比较分数的大小时，如利用顺向思维来解题则是先通分后比较分子的大小.但有时通分运算往往十分麻烦，此时不妨运用逆向思维，即先通“分子”，然后比较分母的大小，
再由“两个正数同分子，分母大的反而小”
即可确定分数的大小.
【例1】 比较下列各数的大小关系：
-623，-417，-311，-1247.
析与解：本题中，各数的分母较大，分子较小.运用逆向思维通“分子”，可得
-1246，-1251，-1244，-1247.
∴-1251>-1247>-1246>-1244，
即-417>-1247>-623>-311.
【例2】 已知P=12，Q=7-3，R=6-2，试比较P、Q、R的大小.
析与解：要从正面直接去比较这三个数的大小，是比较困难的.对此，我们可以这样去比较.
2.解方程
已知方程求方程的解或已知方程有实数根求某实数的取值范围，是初中数学的重要学习内容之一.在解决此类问题时，如果用顺向思维解决有困难，不妨转换思维角度，用逆向思维寻求解题思路.
【例3】 解方程：x3 （1 5）x2-5=0.
析与解：这是求解一元三次方程，初中阶段学生没有学过这一内容，能否求解，决定于他们对初中数学思想方法是否真正理解和掌握.如果能变换角度，运用逆向思维，解题思路便会豁然开朗.
可先把原方程中的常数5看作未知数，而把未知数x看作常数，即
设t=5，则原方程可变形为关于t的一元二次方程
真是顺向思维“山穷水尽”，逆向思维“海阔天空”啊！
【例4】 已知在以下三个方程
中，至少有一个方程有实根，求实数m的取值范围.
析与解：若按顺向思维去考虑问题，求解的过程是相当烦琐的；如若从反面即用逆向思维去考虑问题，求解就简单了.“至少有一个方程有实根”的反面就是“三个方程都没有实根”，从而解之，得1 ∴当m≤1或m≥4时，在给定的三个方程中，至少有一个方程有实根.
3.求函数的值域或取值范围
我们知道，在一般情况下，求函数的定义域（或取值范围）比求函数的值域（或取值范围）容易.根据函数与反函数的内在联系可知，函数的值域（或取值范围）就是其反函数的定义域（或取值范围）.因此，在求某些函数的值域（或取值范围）时，不妨沿“求其反函数的定义域（或取值范围）”这条思路去思考，解题过程会更简捷.
【例5】 求函数f（x）=1 x1-x的值域.
析与解：求函数f（x）=1 x1-x的值域，利用逆向思维，只要求出其反函数的定义域，问题就可迎刃而解.
设y=1 x1-x，则x=y-1y 1.
∴函数f（x）=1 x1-x的反函数是y=x-1x 1.
∵函数y=x-1x 1的定义域是x≠-1，
∴函数f（x）=1 x1-x的值域是（-∞，-1）∪（-1， ∞）.
【例6】 已知f-1（x）是函数f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）的反函数，求不等式f-1（x）>0的解集.
析与解：若从正面去考虑问题，用顺向思维去分析，则需先求出函数f（x）的反函数f-1（x），然后解不等式f-1（x）>0.这样处理，求函数f（x）的反函数是相当麻烦的.因此，宜从反面去考虑问题，用逆向思维分析和解决问题.
∵f-1（x）>0x>0时f（x）的值域，
∴只需求出当x>0时，f（x）的值域即可.
∵f（0）=0，且函数f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）是（-∞， ∞）上的增函数， ∴当x>0时，f（x）>0.
∴当x>0时，函数f（x）的值域是（0， ∞）.
∴不等式f-1（x）>0的解集是（0， ∞）.
三、运用逆向思维，解题过程“独辟蹊径”
运用逆向思维解决一些现实生活问题，也会使解题过程更简捷，绽放数学的逻辑美.
【例7】 编号为1，2，3，4，5的5个人入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法共有几种？
析与解：若从正面去考虑，情况比较复杂.正面有三种情况：全不对号入座，有且仅有1人对号入座；有且仅有2人对号入座，且每种情况都比较难处理.因此，宜从反面考虑问题，用逆向思维分析和解决问题.反面只有两种情况：全部对号入座（4人对号入座时一定全部对号入座），有且仅有3人对号入座，而全对号入座只有1种情况，有且仅有3人对号入座，只要先从5人中选出3人，共有C35种坐法，其余2人不对号入座只有一种坐法.由分类计算原理和分步计数原理，得反面问题共有1 C
35·1=11（種）；5人全排有A55种.
∴满足题目要求的坐法共有
A55-（1 C35）=109（种）.
【例8】 甲、乙、丙三个箱内共有小球384个，现先从甲箱内取出若干个小球放进乙、丙箱内，乙、丙两箱所放个数分别等于乙、丙箱内原有小球的个数；再从乙箱内取出若干个小球放进甲、丙箱内，最后从丙箱内取出若干个小球放进甲、乙箱内，取法、放法同前，结果三个箱内小球的个数相等，甲、乙、丙箱内原有小球多少个？
析与解：这个问题的顺向思维是由初始状态逐步顺追到最终状态，但由于初始状态是未知的，最终状态是已知的，因此，这个问题的顺向思维是从未知到已知，如何求结果，实在难以得知.若用逆向思维的思想方法分析问题，则是从最终状态（已知）逐步逆推到初始状态（未知）.这样，问题的求解就一目了然了.
∵384÷3=128，所以逆推情况如下表所示甲、乙、丙箱内原各有的小球数分别是208个、112个、64个.
综上可知，逆向思维是中学数学解题中最常用的数学思维之一.如果善于运用逆向思维解题，往往会使问题“柳暗花明”，顺利获解.数学问题浩如烟海，逆向思维在数学解题中的应用不可能一一枚举，上面所列举的解题范例，只是抛砖引玉，希望能起到举一反三、触类旁通的作用.
（责任编辑 黄春香）
[关键词]逆向思维；数学解题；中学数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002802
心理学研究表明，每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程.在这两个互逆的思維过程中，存在着顺向与逆向的思维联结.思维的逆向性是相对的，是相对顺向思维而言的.逆向思维在现实生活中的应用十分广泛.“司马光砸缸救人”的故事就是逆向思维的典型例子.
一、逆向思维的含义及其在数学中的体现
逆向思维是一种创造性思维.逆向思维的本质特征是善于从对立的角度、相反的方向、互逆的路线去思考问题，能随时逆转心理过程，表现出灵活性及较强的思维调节能力.数学问题浩如烟海，当我们用顺向思维去思考而感到“山重水复”时，不妨用逆向思维去思考，这往往能独辟蹊径，出现“柳暗花明”的景象，使问题获解.
在中学数学教学中体现互逆思维的知识内容比比皆是，如运算与逆运算；命题与逆命题；定理与逆定理；多项式的乘法与多项式的因式分解；分子有理化与分母有理化；通分母与通分子；已知方程或不等式求其解与已知解求方程或不等式；已知函数求其定义域与已知定义域求函数；函数与反函数；已知函数求其周期与已知周期求其函数；已知函数的解析式求其图像与已知确定函数图像的条件求函数的解析式，已知曲线求其方程与已知方程求其曲线；等等.在中学数学课堂教学中，教师要善于引导学生运用逆向思维解决问题，这会使课堂教学绽放数学的思维美和逻辑美，使学生爱上数学.
二、运用逆向思维，使解题过程“柳暗花明”
逆向思维在数学解题中的应用十分广泛，如果善于运用逆向思维，往往会使解题过程简单明了，出现“柳暗花明”的景象.
1.数的大小比较
在比较分数的大小时，如利用顺向思维来解题则是先通分后比较分子的大小.但有时通分运算往往十分麻烦，此时不妨运用逆向思维，即先通“分子”，然后比较分母的大小，
再由“两个正数同分子，分母大的反而小”
即可确定分数的大小.
【例1】 比较下列各数的大小关系：
-623，-417，-311，-1247.
析与解：本题中，各数的分母较大，分子较小.运用逆向思维通“分子”，可得
-1246，-1251，-1244，-1247.
∴-1251>-1247>-1246>-1244，
即-417>-1247>-623>-311.
【例2】 已知P=12，Q=7-3，R=6-2，试比较P、Q、R的大小.
析与解：要从正面直接去比较这三个数的大小，是比较困难的.对此，我们可以这样去比较.
2.解方程
已知方程求方程的解或已知方程有实数根求某实数的取值范围，是初中数学的重要学习内容之一.在解决此类问题时，如果用顺向思维解决有困难，不妨转换思维角度，用逆向思维寻求解题思路.
【例3】 解方程：x3 （1 5）x2-5=0.
析与解：这是求解一元三次方程，初中阶段学生没有学过这一内容，能否求解，决定于他们对初中数学思想方法是否真正理解和掌握.如果能变换角度，运用逆向思维，解题思路便会豁然开朗.
可先把原方程中的常数5看作未知数，而把未知数x看作常数，即
设t=5，则原方程可变形为关于t的一元二次方程
真是顺向思维“山穷水尽”，逆向思维“海阔天空”啊！
【例4】 已知在以下三个方程
中，至少有一个方程有实根，求实数m的取值范围.
析与解：若按顺向思维去考虑问题，求解的过程是相当烦琐的；如若从反面即用逆向思维去考虑问题，求解就简单了.“至少有一个方程有实根”的反面就是“三个方程都没有实根”，从而解之，得1
3.求函数的值域或取值范围
我们知道，在一般情况下，求函数的定义域（或取值范围）比求函数的值域（或取值范围）容易.根据函数与反函数的内在联系可知，函数的值域（或取值范围）就是其反函数的定义域（或取值范围）.因此，在求某些函数的值域（或取值范围）时，不妨沿“求其反函数的定义域（或取值范围）”这条思路去思考，解题过程会更简捷.
【例5】 求函数f（x）=1 x1-x的值域.
析与解：求函数f（x）=1 x1-x的值域，利用逆向思维，只要求出其反函数的定义域，问题就可迎刃而解.
设y=1 x1-x，则x=y-1y 1.
∴函数f（x）=1 x1-x的反函数是y=x-1x 1.
∵函数y=x-1x 1的定义域是x≠-1，
∴函数f（x）=1 x1-x的值域是（-∞，-1）∪（-1， ∞）.
【例6】 已知f-1（x）是函数f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）的反函数，求不等式f-1（x）>0的解集.
析与解：若从正面去考虑问题，用顺向思维去分析，则需先求出函数f（x）的反函数f-1（x），然后解不等式f-1（x）>0.这样处理，求函数f（x）的反函数是相当麻烦的.因此，宜从反面去考虑问题，用逆向思维分析和解决问题.
∵f-1（x）>0x>0时f（x）的值域，
∴只需求出当x>0时，f（x）的值域即可.
∵f（0）=0，且函数f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）是（-∞， ∞）上的增函数， ∴当x>0时，f（x）>0.
∴当x>0时，函数f（x）的值域是（0， ∞）.
∴不等式f-1（x）>0的解集是（0， ∞）.
三、运用逆向思维，解题过程“独辟蹊径”
运用逆向思维解决一些现实生活问题，也会使解题过程更简捷，绽放数学的逻辑美.
【例7】 编号为1，2，3，4，5的5个人入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法共有几种？
析与解：若从正面去考虑，情况比较复杂.正面有三种情况：全不对号入座，有且仅有1人对号入座；有且仅有2人对号入座，且每种情况都比较难处理.因此，宜从反面考虑问题，用逆向思维分析和解决问题.反面只有两种情况：全部对号入座（4人对号入座时一定全部对号入座），有且仅有3人对号入座，而全对号入座只有1种情况，有且仅有3人对号入座，只要先从5人中选出3人，共有C35种坐法，其余2人不对号入座只有一种坐法.由分类计算原理和分步计数原理，得反面问题共有1 C
35·1=11（種）；5人全排有A55种.
∴满足题目要求的坐法共有
A55-（1 C35）=109（种）.
【例8】 甲、乙、丙三个箱内共有小球384个，现先从甲箱内取出若干个小球放进乙、丙箱内，乙、丙两箱所放个数分别等于乙、丙箱内原有小球的个数；再从乙箱内取出若干个小球放进甲、丙箱内，最后从丙箱内取出若干个小球放进甲、乙箱内，取法、放法同前，结果三个箱内小球的个数相等，甲、乙、丙箱内原有小球多少个？
析与解：这个问题的顺向思维是由初始状态逐步顺追到最终状态，但由于初始状态是未知的，最终状态是已知的，因此，这个问题的顺向思维是从未知到已知，如何求结果，实在难以得知.若用逆向思维的思想方法分析问题，则是从最终状态（已知）逐步逆推到初始状态（未知）.这样，问题的求解就一目了然了.
∵384÷3=128，所以逆推情况如下表所示甲、乙、丙箱内原各有的小球数分别是208个、112个、64个.
综上可知，逆向思维是中学数学解题中最常用的数学思维之一.如果善于运用逆向思维解题，往往会使问题“柳暗花明”，顺利获解.数学问题浩如烟海，逆向思维在数学解题中的应用不可能一一枚举，上面所列举的解题范例，只是抛砖引玉，希望能起到举一反三、触类旁通的作用.
（责任编辑 黄春香）