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摘要：为适应社会对创新型人才的需要，高等数学的教学必须注重培养学生的创新思维能力。本文结合自己的教学体会，探索在数学教学中利用数学建模的思想和方法，培养学生的创新思维能力。
关键词：数学教学；数学模型；创新思维
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0115-03
高等数学作为高职院校各专业的一门基础课程，其教学必须注重培养学生的创新思维能力，在一定意义上，这个目标比知识与技能的教学更为重要。从数学学科的特点来说，数学教学实质上就是数学思维活动的教学，是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教学体系。因此，在数学教学中充分利用数学模型来解决各类实际问题，使学生在解决实际问题的过程中提高自己的推理能力、抽象简化能力、分析问题和解决问题的能力。在数学建模的过程中需要学生具有丰富灵活的想象能力、抽象思维的简化能力、学以致用的应用能力，更关键的是要有创新思维能力。这些能力的获得都可以通过数学建模的过程得到，这需要数学教师在数学教学中将数学建模的思想和方法贯穿在教学的始终，为学生运用所学的数学知识解决实际问题创造条件，让学生有机会亲历实践，在学中做，在做中学，做然后知不足。真正体会到数学无所不在，提高学生学习数学的兴趣，使学生在解决实际问题的过程中提高创新思维能力，促成数学教学的良性循环。
一、在数学教学中利用数学建模的途径
1.在数学教学中利用数学建模的思想和方法培养学生的创新思维，首先教师要有数学建模的思想意识。在日常生活中，有意识地搜集一些实例，贯穿于相关的教学中。例如，一天在大街上看到一个借贷公司针对银行贷款购房的广告，说他们可以让贷款人在和银行贷款利率相同的前提下帮你提前还清借款，但是：要求借款人每半个月还款一次，由于每半个月就要开一张收据等文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款金额。把这一材料引入到极限部分的教学中，利用极限得到连续复利，从而解决这种方案对谁有利的问题。
2.在高职数学教学中利用数学建模的思想和方法还应与采用的数学教材结合起来。教师应研究教材中的各个章节内容，挖掘出适合教学实际的数学应用问题，根据解决实际问题所需要的数学知识和数学方法，来确定引入的实际问题，以及怎样引入，才能达到培养学生创新思维能力的目的。如讲极限与连续时可引入在路灯下行走人的影长变化模型；又如在讲了函数的最大值与最小值后，可引入建筑材料最省或利润最大等数学模型解决一些具体问题。
3.在数学教学中利用数学建模培养创新思维还需要与专业课程相结合。由于数学是学生学习其他专业课程的工具，而且专业知识特别是工程与数学的联系是相当密切的。很多实际问题不仅仅是数学知识就能够解决的。因此在数学教学中应注意实际问题与专业课程相呼应，使学生在解决与专业相关的实际问题中体验到数学与实际生活和其他学科的联系，在综合运用数学知识和数学方法解决实际问题的过程中，增强数学的应用意识，从而激发学生学习数学的兴趣，提高学生的创新意识和创新能力。例如在学习定积分后，可引导学生利用定积分的微元法结合建筑力学的知识来解决建筑行列中的重心及压力等问题。
二、高职学生创新思维能力培养的实践
创新是发现、发明、创造等活动的总称，创新思维就是不受现成的常规思路的约束，寻求对问题的全新的独特性的解答和方法的思维过程。数学建模本身就是一个创造性的思维过程，数学建模的内容和方法都是围绕着创新人才培养的核心来进行的，而创新性人才必须具备的能力就是创新思维能力。培养学生创新思维的过程要求：第一，积累数学知识，优化数学知识结构；第二，要敢于用数学语言描述现实世界的事物和现象；第三，大胆猜想，养成理论联系实际的数学思维习惯。在数学建模活动过程中，要求学生对问题进行分析、提炼，用数学语言作出描述，用数学方法分析、研究、解决，最后回到实际中去。这实际上是培养学生的直觉思维能力、发散思维能力、猜想和转换能力。而这些数学能力正是创新思维所具有的最基本的特征。
1.在解决实际问题中培养学生的直觉思维。在教学活动中，教师要有意识地把教学过程改变为思维活动的过程，在问题的探究过程中引导学生观察和操作，为学生创设自由想象、自由发挥的空间，激励学生于无疑处见有疑，发现别人没有发现的潜在解决问题的方法，这就要加强直觉思维的训练。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”其敏锐的想象和迅速的判断是不受逻辑规则限制的，是基于数学对象整体上的直接领悟和直接把握。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有独创性。因此，在数学教学过程中，要采取措施，鼓励并推动学生解决一些实际问题，通过学生独立思考、反复钻研并相互切磋，分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到相关的结论，培养学生的直觉思维。例如，在学习了函数的最大（小）值后，给出问题：对容量为355ml的易拉罐饮料，制作罐体材料最省的半径r和高h为多少？通常我们的直觉是以面积作为目标建立函数关系，利用求最大值的方法得到结果，但是进一步观察，发现罐体盖顶的硬度要比其他的材料要硬，假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，硬度主要体现在同样材料的厚度上。因此，我们建立的数学建模必须考虑所用材料的体积。为此以所用材料的体积为目标建立数学模型，再利用求最值的方法和测得的数据得到问题的解决。通过本例的解决，培养学生敏锐的观察能力与想象能力，从而推动学生创新思维能力的养成。
2.将问题进行类化比较，培养学生的转换能力。转换是运用已有的知识和经验从一事物迁移到另一事物、从一现象联想到另一现象、从一过程变换成另一过程、从一模型变换到另一模型、从一方法变换到另一种方法的心里活动。通过问题的类比转换找到事物间的联系，找到解决问题的途径。因此在教学中要注重实际问题的转化，使学生在实际问题的探究、发现过程中培养思维品质的灵活性、创造性。例如：小明为观看日出早晨8时从山下一宾馆出发，沿一条路径上山，下午5时达到山顶并留宿于山顶一宾馆，次日早晨观看日出后于早上8时沿同一路径下山，下午5时回到山下宾馆，则小明在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？提示学生：可以将此问题转化为两人在同一天，分别从山下和山顶同时于早8时沿同一路径出发，则他们一定会于同一时刻经过途中的同一地点。为此构造辅助函数h（t）=f（t）-g（t），其中f（t）、g（t）分别表示上山、下山函数，利用零点定理可以证明在早上8时至下午5时之间存在某一时刻t=t0，使得两天的行程函数值相等，即小明两天内在同一时刻经过路途的同一地点。通过实际问题的类比转化，激发学生学习数学的积极性和主动性，进而培养学生的想象力、洞察力、判断力和转化能力，开拓学生的发散思维，促使学生创造性思维能力的养成。 3.加强学生的正向思维转向逆向思维训练，培养学生的创新思维能力。逆向思维也叫求异思维，是相对于习惯性思维的另一种思维形式，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举。例如，在投资经营管理活动中，是按连续复利的方法来计算，反映资金的时间价值。若某企业计划发行公司债券，规定以年利率r的连续复利计算，10年后每份债券一次性偿还本利1000元，那么在发行时每份债券的价格应该定为多少元？这样的问题如何解决？教师可以提示学生首先研究本金为P0，年利率为r，按连续复利计算t年后的本利和P，学生可以利用已知的数学知识和数学方法来解决。进而指出这一问题实际上是上一问题的逆问题，从而得到原问题的解决。
高职教育要培养创新性人才，就必须重视学生创新思维的培养。在数学教学中利用数学建模的思想和方法，有利于培养学生的创造性思维。创新思维的培养方法和途径还有很多，利用数学建模的思想和方法只是其中的一种，同时我们必须根据学生的实际组织教学，不能脱离学生实际搞一些不切实际的建模教学，一切教学活动必须以调动学生的学习积极性、主动性为出发点，改善学生学习数学的思维方式，培养学生的创新思维。只有这样才能使学生的数学思维得到提高，也只有这样才能更好地培养学生的创新思维，使学生更好地学习数学，学到有用的数学，从而提高数学教学质量。
参考文献：
[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003：23.
[2]云连英.微积分应用基础[M].北京：高等教育出版社，2006：24.
[3]李洪武.构建“建模意识”培养“创新思维”[J].新课程学习（学术教育）》，2010，（9）.
[4]刘学才.高职数学教学中数学建模思想的渗透[J].科技信息，2009，（11）：300-301.
基金项目：此文为湖北省教育科学“十二五”规划课题“利用数学建模培养高职学生创新思维能力的研究”（编号2011B329）的研究成果之一
作者简介：刘学才（1963-），男，湖北职业技术学院数学副教授，主要研究高等数学及数学建模与数学实验。
关键词：数学教学；数学模型；创新思维
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0115-03
高等数学作为高职院校各专业的一门基础课程，其教学必须注重培养学生的创新思维能力，在一定意义上，这个目标比知识与技能的教学更为重要。从数学学科的特点来说，数学教学实质上就是数学思维活动的教学，是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教学体系。因此，在数学教学中充分利用数学模型来解决各类实际问题，使学生在解决实际问题的过程中提高自己的推理能力、抽象简化能力、分析问题和解决问题的能力。在数学建模的过程中需要学生具有丰富灵活的想象能力、抽象思维的简化能力、学以致用的应用能力，更关键的是要有创新思维能力。这些能力的获得都可以通过数学建模的过程得到，这需要数学教师在数学教学中将数学建模的思想和方法贯穿在教学的始终，为学生运用所学的数学知识解决实际问题创造条件，让学生有机会亲历实践，在学中做，在做中学，做然后知不足。真正体会到数学无所不在，提高学生学习数学的兴趣，使学生在解决实际问题的过程中提高创新思维能力，促成数学教学的良性循环。
一、在数学教学中利用数学建模的途径
1.在数学教学中利用数学建模的思想和方法培养学生的创新思维，首先教师要有数学建模的思想意识。在日常生活中，有意识地搜集一些实例，贯穿于相关的教学中。例如，一天在大街上看到一个借贷公司针对银行贷款购房的广告，说他们可以让贷款人在和银行贷款利率相同的前提下帮你提前还清借款，但是：要求借款人每半个月还款一次，由于每半个月就要开一张收据等文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款金额。把这一材料引入到极限部分的教学中，利用极限得到连续复利，从而解决这种方案对谁有利的问题。
2.在高职数学教学中利用数学建模的思想和方法还应与采用的数学教材结合起来。教师应研究教材中的各个章节内容，挖掘出适合教学实际的数学应用问题，根据解决实际问题所需要的数学知识和数学方法，来确定引入的实际问题，以及怎样引入，才能达到培养学生创新思维能力的目的。如讲极限与连续时可引入在路灯下行走人的影长变化模型；又如在讲了函数的最大值与最小值后，可引入建筑材料最省或利润最大等数学模型解决一些具体问题。
3.在数学教学中利用数学建模培养创新思维还需要与专业课程相结合。由于数学是学生学习其他专业课程的工具，而且专业知识特别是工程与数学的联系是相当密切的。很多实际问题不仅仅是数学知识就能够解决的。因此在数学教学中应注意实际问题与专业课程相呼应，使学生在解决与专业相关的实际问题中体验到数学与实际生活和其他学科的联系，在综合运用数学知识和数学方法解决实际问题的过程中，增强数学的应用意识，从而激发学生学习数学的兴趣，提高学生的创新意识和创新能力。例如在学习定积分后，可引导学生利用定积分的微元法结合建筑力学的知识来解决建筑行列中的重心及压力等问题。
二、高职学生创新思维能力培养的实践
创新是发现、发明、创造等活动的总称，创新思维就是不受现成的常规思路的约束，寻求对问题的全新的独特性的解答和方法的思维过程。数学建模本身就是一个创造性的思维过程，数学建模的内容和方法都是围绕着创新人才培养的核心来进行的，而创新性人才必须具备的能力就是创新思维能力。培养学生创新思维的过程要求：第一，积累数学知识，优化数学知识结构；第二，要敢于用数学语言描述现实世界的事物和现象；第三，大胆猜想，养成理论联系实际的数学思维习惯。在数学建模活动过程中，要求学生对问题进行分析、提炼，用数学语言作出描述，用数学方法分析、研究、解决，最后回到实际中去。这实际上是培养学生的直觉思维能力、发散思维能力、猜想和转换能力。而这些数学能力正是创新思维所具有的最基本的特征。
1.在解决实际问题中培养学生的直觉思维。在教学活动中，教师要有意识地把教学过程改变为思维活动的过程，在问题的探究过程中引导学生观察和操作，为学生创设自由想象、自由发挥的空间，激励学生于无疑处见有疑，发现别人没有发现的潜在解决问题的方法，这就要加强直觉思维的训练。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”其敏锐的想象和迅速的判断是不受逻辑规则限制的，是基于数学对象整体上的直接领悟和直接把握。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有独创性。因此，在数学教学过程中，要采取措施，鼓励并推动学生解决一些实际问题，通过学生独立思考、反复钻研并相互切磋，分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到相关的结论，培养学生的直觉思维。例如，在学习了函数的最大（小）值后，给出问题：对容量为355ml的易拉罐饮料，制作罐体材料最省的半径r和高h为多少？通常我们的直觉是以面积作为目标建立函数关系，利用求最大值的方法得到结果，但是进一步观察，发现罐体盖顶的硬度要比其他的材料要硬，假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，硬度主要体现在同样材料的厚度上。因此，我们建立的数学建模必须考虑所用材料的体积。为此以所用材料的体积为目标建立数学模型，再利用求最值的方法和测得的数据得到问题的解决。通过本例的解决，培养学生敏锐的观察能力与想象能力，从而推动学生创新思维能力的养成。
2.将问题进行类化比较，培养学生的转换能力。转换是运用已有的知识和经验从一事物迁移到另一事物、从一现象联想到另一现象、从一过程变换成另一过程、从一模型变换到另一模型、从一方法变换到另一种方法的心里活动。通过问题的类比转换找到事物间的联系，找到解决问题的途径。因此在教学中要注重实际问题的转化，使学生在实际问题的探究、发现过程中培养思维品质的灵活性、创造性。例如：小明为观看日出早晨8时从山下一宾馆出发，沿一条路径上山，下午5时达到山顶并留宿于山顶一宾馆，次日早晨观看日出后于早上8时沿同一路径下山，下午5时回到山下宾馆，则小明在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？提示学生：可以将此问题转化为两人在同一天，分别从山下和山顶同时于早8时沿同一路径出发，则他们一定会于同一时刻经过途中的同一地点。为此构造辅助函数h（t）=f（t）-g（t），其中f（t）、g（t）分别表示上山、下山函数，利用零点定理可以证明在早上8时至下午5时之间存在某一时刻t=t0，使得两天的行程函数值相等，即小明两天内在同一时刻经过路途的同一地点。通过实际问题的类比转化，激发学生学习数学的积极性和主动性，进而培养学生的想象力、洞察力、判断力和转化能力，开拓学生的发散思维，促使学生创造性思维能力的养成。 3.加强学生的正向思维转向逆向思维训练，培养学生的创新思维能力。逆向思维也叫求异思维，是相对于习惯性思维的另一种思维形式，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举。例如，在投资经营管理活动中，是按连续复利的方法来计算，反映资金的时间价值。若某企业计划发行公司债券，规定以年利率r的连续复利计算，10年后每份债券一次性偿还本利1000元，那么在发行时每份债券的价格应该定为多少元？这样的问题如何解决？教师可以提示学生首先研究本金为P0，年利率为r，按连续复利计算t年后的本利和P，学生可以利用已知的数学知识和数学方法来解决。进而指出这一问题实际上是上一问题的逆问题，从而得到原问题的解决。
高职教育要培养创新性人才，就必须重视学生创新思维的培养。在数学教学中利用数学建模的思想和方法，有利于培养学生的创造性思维。创新思维的培养方法和途径还有很多，利用数学建模的思想和方法只是其中的一种，同时我们必须根据学生的实际组织教学，不能脱离学生实际搞一些不切实际的建模教学，一切教学活动必须以调动学生的学习积极性、主动性为出发点，改善学生学习数学的思维方式，培养学生的创新思维。只有这样才能使学生的数学思维得到提高，也只有这样才能更好地培养学生的创新思维，使学生更好地学习数学，学到有用的数学，从而提高数学教学质量。
参考文献：
[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003：23.
[2]云连英.微积分应用基础[M].北京：高等教育出版社，2006：24.
[3]李洪武.构建“建模意识”培养“创新思维”[J].新课程学习（学术教育）》，2010，（9）.
[4]刘学才.高职数学教学中数学建模思想的渗透[J].科技信息，2009，（11）：300-301.
基金项目：此文为湖北省教育科学“十二五”规划课题“利用数学建模培养高职学生创新思维能力的研究”（编号2011B329）的研究成果之一
作者简介：刘学才（1963-），男，湖北职业技术学院数学副教授，主要研究高等数学及数学建模与数学实验。