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几何是高中学习的重难点,具有较强的综合性,对学生来说具有一定学习难度,如没有切实掌握其中蕴含的知识点将无法达到预期的学习效果。而采用数形结合的学习方式则可有效解决数学几何题,提升学习效果。对此,笔者结合自身实际学习经验,提出几点数形结合的有效途径,为学习者提供参考。
一、由“数”变“形”,使抽象数据具体化
相比于数学语言来说,图形更具直观性和形象性,因此,对于数学的学习可采用数形结合的方式,将抽象的、难度较大的代数问题转变成图形问题,从而打开思维方式,更好的解题。
比如题为:已知方程|x2-1|=k+1,当k值不同时,那么方程有几个解。在对该题解答时,先将方程边做y1=|x2-1|和y2=k+1的函数方程,并画出相应的图形(如图1),然后在结合图形求解。当k<-1时,图中的函数没有相交点,也就证明此方程误解;当k=-1时,图中的函数有两个交点,也就证明此方程有2个解;当-1 二、由“形”变“数”,使图形更具逻辑性
虽然图形具有更直观、更形象的特点,但是却缺乏逻辑性和精准性,如果仅仅依靠看图也难以顺利完成解题,稍有疏忽便会出错。基于此,也可应用数形结合思想,采用数学语言将图形展现出来,拓宽解题思路。
比如题为:已知ABCD为直角梯形(如图2),P为动点由B点向A点沿线运动,分别经过C点和D点,将P点运动的路程设为X,f(x)为△ABP的面积,若函数y= f(x)的图像为图(3)所示,求△ABC的面积。
解:从图像可知,在x处于0-4之间时,f(x)>0为最大值,即BC=4,对图形进行分析,得出在x=4和x=9的情况下,f(x)不变,也就表示P点存在DC边上,得出CD=5,因此AD为14-9=5,过D点作DG与AB相垂直,即DG=BC=4,得出AG=3,进一步得出AB=3-5=8,求得△ABC的面积为:DB×BC×DB=16,因此△ABC的面积为16。
三、“数”与“形”结合使用,提高解题效果
众所周知,采用数形结合的解题方式可提升几何解题效果,尤其是对平面圆几何问题的解决更能起到帮助。采用数形结合模式,更直观、更充分的将平面圆的数量关系表现出来。这是由于在对此类题型解答时,主要是对圆和直线之间、圆和圆之间的位置变换以及相关方程等的解决,而此类问题都可从构建图形出发加以解决。但是在实际解题过程中,学生还应具备正确的解题思路,这也是保证解题效果的关键所在。比如题为:直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+(4-x2)有2个交点,判断k值范围。对此,在解题之前应对这两个方程式分别分析,接着将y=1+(4-x2)变化为x2+(y-1)2=4(1≤y≤3),通过对方程的转变计算出点A(0,1),为曲线y=1+(4-x2)的圆心,接着得出圆的半径为2。然后再根据条件(1≤y≤3),进一步计算出y值域在1之上,因此可以推测该圆应属于上半圆,如图(4)所示。 图(4)
直线 y=k(x-2)+4过点B(2,4),直线绕B点做旋转动作,直线相切于圆,然后在结合相关数量关系做进一步解析,知道数量间关系与题干要求相符。而在交点M位于直线y=1上时,即可推断出M点坐标为(-2,1)。采用点斜法计算直线BM,KBM=,因此知道点M与点A的距离便是圆的半径。通过上述分析进一步列等式,KBT=,即k∈( )。
四、应用数形结合思想方法需遵循的原则
在使用数形结合思想方法时,需要遵循一定的原则才能达到预期的学习效果。首先,等价性原则。在應用数形结合思想时,最主要的便是要遵循等价原则。
结束语:
几何是高中数学学习的重难点,因此还应采取有效的学习方式,不断积累学习经验。采用数形结合的学习方法能够使数学问题更直观、更有逻辑性的展现出来,有助于打开解答者的思维,拓宽解答思路,提高学习质量。
一、由“数”变“形”,使抽象数据具体化
相比于数学语言来说,图形更具直观性和形象性,因此,对于数学的学习可采用数形结合的方式,将抽象的、难度较大的代数问题转变成图形问题,从而打开思维方式,更好的解题。
比如题为:已知方程|x2-1|=k+1,当k值不同时,那么方程有几个解。在对该题解答时,先将方程边做y1=|x2-1|和y2=k+1的函数方程,并画出相应的图形(如图1),然后在结合图形求解。当k<-1时,图中的函数没有相交点,也就证明此方程误解;当k=-1时,图中的函数有两个交点,也就证明此方程有2个解;当-1
虽然图形具有更直观、更形象的特点,但是却缺乏逻辑性和精准性,如果仅仅依靠看图也难以顺利完成解题,稍有疏忽便会出错。基于此,也可应用数形结合思想,采用数学语言将图形展现出来,拓宽解题思路。
比如题为:已知ABCD为直角梯形(如图2),P为动点由B点向A点沿线运动,分别经过C点和D点,将P点运动的路程设为X,f(x)为△ABP的面积,若函数y= f(x)的图像为图(3)所示,求△ABC的面积。
解:从图像可知,在x处于0-4之间时,f(x)>0为最大值,即BC=4,对图形进行分析,得出在x=4和x=9的情况下,f(x)不变,也就表示P点存在DC边上,得出CD=5,因此AD为14-9=5,过D点作DG与AB相垂直,即DG=BC=4,得出AG=3,进一步得出AB=3-5=8,求得△ABC的面积为:DB×BC×DB=16,因此△ABC的面积为16。
三、“数”与“形”结合使用,提高解题效果
众所周知,采用数形结合的解题方式可提升几何解题效果,尤其是对平面圆几何问题的解决更能起到帮助。采用数形结合模式,更直观、更充分的将平面圆的数量关系表现出来。这是由于在对此类题型解答时,主要是对圆和直线之间、圆和圆之间的位置变换以及相关方程等的解决,而此类问题都可从构建图形出发加以解决。但是在实际解题过程中,学生还应具备正确的解题思路,这也是保证解题效果的关键所在。比如题为:直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+(4-x2)有2个交点,判断k值范围。对此,在解题之前应对这两个方程式分别分析,接着将y=1+(4-x2)变化为x2+(y-1)2=4(1≤y≤3),通过对方程的转变计算出点A(0,1),为曲线y=1+(4-x2)的圆心,接着得出圆的半径为2。然后再根据条件(1≤y≤3),进一步计算出y值域在1之上,因此可以推测该圆应属于上半圆,如图(4)所示。 图(4)
直线 y=k(x-2)+4过点B(2,4),直线绕B点做旋转动作,直线相切于圆,然后在结合相关数量关系做进一步解析,知道数量间关系与题干要求相符。而在交点M位于直线y=1上时,即可推断出M点坐标为(-2,1)。采用点斜法计算直线BM,KBM=,因此知道点M与点A的距离便是圆的半径。通过上述分析进一步列等式,KBT=,即k∈( )。
四、应用数形结合思想方法需遵循的原则
在使用数形结合思想方法时,需要遵循一定的原则才能达到预期的学习效果。首先,等价性原则。在應用数形结合思想时,最主要的便是要遵循等价原则。
结束语:
几何是高中数学学习的重难点,因此还应采取有效的学习方式,不断积累学习经验。采用数形结合的学习方法能够使数学问题更直观、更有逻辑性的展现出来,有助于打开解答者的思维,拓宽解答思路,提高学习质量。