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【摘要】在解题过程中，当迁移题和源题之间具有结构共同性，且表面相似和条件隐蔽性为中等程度时，通过“分解”出共同的结构，找到迁移的途径；而当问题之间的结构共同性较为隐蔽时，则需要通过辅助线“勾勒”出潜在的结构共同性，以完成迁移.
【关键词】数学问题解决迁移；结构共性；分解；构建
本文系2008年度湖南第一师范学院院级课题“全科型小学教师数学能力培养的实践研究”（刘题编号为XYS08N12）的阶段学生研究成果.
一、迁移问题是教学上一个极其重要的问题，它既是一种能力，也要讲究方法
“学习的迁移问题是教学上一个极其重要的问题.它是检验知识传授、能力发展等教学目标是否达到的可靠指标.”迁移能顺利发生的前提之一，问题解决者要能在源题和迁移题之间产生问题共性意识.在数学问题解决迁移中，问题共性意识和问题本身难易程度相互作用，共同影响问题解决迁移.对处于五年一贯制一、二年级的初中毕业生而言，他们仍相当于处在中学数学阶段，掌握好问题解决迁移方法，对提升解题水平、创造有效的教和学的模式大有裨益.
二、结构共性较隐蔽的数学问题解决迁移的方法探讨
1.“分解”数学问题结构共性，找到迁移的途径
问题之间的相似性能促进迁移.既有问题表面的相似，也有深层次上抽象原则的相似.抽象原则在正规问题中指公式，在无法定义的问题中，常常被称为图式或深层结构.“分解”问题之间的结构共性，是迁移常用的方法.看如下例题：
图 1
例1 源题：如图1，求图中三角形的面积，其中双曲线方程为y=kx.
迁移题：如图2，已知曲线方程y=kx,直线方程y=x.求四边形ABCD的面积.
图 2
分析 由图1易知，S△ABC=12•2x•2y=2xy=2|k|(x>0).
将图2与图1相比较，由题目条件很容易推出ABCD是一个平行四边形，由两个直角三角形Rt△ABD和Rt△CBD合成.设A(x,x)(x>0),则B(x,0)，C(-x,-x)，D(-x,0).因此，可得SABCD=SRt△ABD+SRt△CBD=12•2x•x+12•2x•x=2x2.
2.添加辅助线，“勾勒”出数学问题之间的结构共性
当数学问题结构共性不明显时，很难产生问题共性意识，要找到结构共性更是难上加难.笔者曾经对初二的学生做过一次实验调查，将如下两题分别设置为源题和迁移题，因为两道题都要用到两次三角形全等，故笔者称之为具有相同的问题结构，也称具有结构共性.题目如下：
图 3
例2 源题：已知，如图3，△ABC，△CED为等边三角形，M，N为AD，BE的中点（A，C，E共线）.证明：△CMN为等边三角形.
迁移题：如图4，等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，D是AC中点，∠BDA=∠CDE，求证：BD⊥AE.
图 4
源题的证明：
两次三角形全等（证明略）.
第一次全等：△ACD≌△BCE（SAS）.
第二次全等：△ACM≌△BCN(SSS).
从源题证明到迁移题证明的迁移过程：
第一步，分析源题结构，得到解题启发.
源题的证明用到了两次三角形全等，这是一个非常明显的特征，也是难点设置所在.初中二年级学生学完三角形全等以后，两次全等已是知识灵活运用的较高水平了.而迁移题设置在源题之后，则暗示着两题之间的证明有某种联系.那么，是否也意味着要用到三角形全等呢？一次不行，是不是要两次全等？但是，难点在于：初次看迁移题的图形，一次全等都找不出来！那么，三角形全等是被“隐藏”起来了！需要通过辅助手段，把它们“勾勒”出来！
第二步，添加辅助线，直观形象，找到突破口.
添加辅助线AFAF为斜边的中垂线
添加辅助线后，由图的直观性，我们可由直觉猜测△ECD≌△HAD，并根据已知条件容易得到证明.（这是第一次三角形全等）
能想到添加这条辅助线，需要很强的直感.直感是运用表象对具体形象的直接判别和感知，它是直觉形成的基础之一.数学直感是在数学表象基础上对有关数学形象的特征判别.直感可以分为各种不同的形式，其中最主要的是形象识别直感、模式补形直感、形象相似直感和象质转换直感.模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式.如在几何学中主要表现为辅助线的添加.而以上迁移题实际上就用到了通过直感，对图形进行模式补形，将“缺损”的三角形全等这一结构“补”出来.
第三步，顺藤摸瓜，找出结构，实现迁移.
图 5
由第一次全等可得到，ED=HD,EC=HA.
设AE与BD交于点O，如图5(下一步证明第二次三角形全等：△ECA≌△HAB).
又 CA=AB，∠C=∠HAB=45°，
∴△ECA≌△HAB，∴∠EAC=∠HBA.
又 ∠FBH=45°-∠HBA,
∠OAH=45°-∠EAC，∴∠FBH=∠OAH.
又 ∠FHB与∠OHA为对顶角，
∴在Rt△FBH和△HOA中有∠HOA=∠BFH=90°.
∴得证.
由此，我们也看到了添加辅助线的神奇的作用！
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】数学问题解决迁移；结构共性；分解；构建
本文系2008年度湖南第一师范学院院级课题“全科型小学教师数学能力培养的实践研究”（刘题编号为XYS08N12）的阶段学生研究成果.
一、迁移问题是教学上一个极其重要的问题，它既是一种能力，也要讲究方法
“学习的迁移问题是教学上一个极其重要的问题.它是检验知识传授、能力发展等教学目标是否达到的可靠指标.”迁移能顺利发生的前提之一，问题解决者要能在源题和迁移题之间产生问题共性意识.在数学问题解决迁移中，问题共性意识和问题本身难易程度相互作用，共同影响问题解决迁移.对处于五年一贯制一、二年级的初中毕业生而言，他们仍相当于处在中学数学阶段，掌握好问题解决迁移方法，对提升解题水平、创造有效的教和学的模式大有裨益.
二、结构共性较隐蔽的数学问题解决迁移的方法探讨
1.“分解”数学问题结构共性，找到迁移的途径
问题之间的相似性能促进迁移.既有问题表面的相似，也有深层次上抽象原则的相似.抽象原则在正规问题中指公式，在无法定义的问题中，常常被称为图式或深层结构.“分解”问题之间的结构共性，是迁移常用的方法.看如下例题：
图 1
例1 源题：如图1，求图中三角形的面积，其中双曲线方程为y=kx.
迁移题：如图2，已知曲线方程y=kx,直线方程y=x.求四边形ABCD的面积.
图 2
分析 由图1易知，S△ABC=12•2x•2y=2xy=2|k|(x>0).
将图2与图1相比较，由题目条件很容易推出ABCD是一个平行四边形，由两个直角三角形Rt△ABD和Rt△CBD合成.设A(x,x)(x>0),则B(x,0)，C(-x,-x)，D(-x,0).因此，可得SABCD=SRt△ABD+SRt△CBD=12•2x•x+12•2x•x=2x2.
2.添加辅助线，“勾勒”出数学问题之间的结构共性
当数学问题结构共性不明显时，很难产生问题共性意识，要找到结构共性更是难上加难.笔者曾经对初二的学生做过一次实验调查，将如下两题分别设置为源题和迁移题，因为两道题都要用到两次三角形全等，故笔者称之为具有相同的问题结构，也称具有结构共性.题目如下：
图 3
例2 源题：已知，如图3，△ABC，△CED为等边三角形，M，N为AD，BE的中点（A，C，E共线）.证明：△CMN为等边三角形.
迁移题：如图4，等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，D是AC中点，∠BDA=∠CDE，求证：BD⊥AE.
图 4
源题的证明：
两次三角形全等（证明略）.
第一次全等：△ACD≌△BCE（SAS）.
第二次全等：△ACM≌△BCN(SSS).
从源题证明到迁移题证明的迁移过程：
第一步，分析源题结构，得到解题启发.
源题的证明用到了两次三角形全等，这是一个非常明显的特征，也是难点设置所在.初中二年级学生学完三角形全等以后，两次全等已是知识灵活运用的较高水平了.而迁移题设置在源题之后，则暗示着两题之间的证明有某种联系.那么，是否也意味着要用到三角形全等呢？一次不行，是不是要两次全等？但是，难点在于：初次看迁移题的图形，一次全等都找不出来！那么，三角形全等是被“隐藏”起来了！需要通过辅助手段，把它们“勾勒”出来！
第二步，添加辅助线，直观形象，找到突破口.
添加辅助线AFAF为斜边的中垂线
添加辅助线后，由图的直观性，我们可由直觉猜测△ECD≌△HAD，并根据已知条件容易得到证明.（这是第一次三角形全等）
能想到添加这条辅助线，需要很强的直感.直感是运用表象对具体形象的直接判别和感知，它是直觉形成的基础之一.数学直感是在数学表象基础上对有关数学形象的特征判别.直感可以分为各种不同的形式，其中最主要的是形象识别直感、模式补形直感、形象相似直感和象质转换直感.模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式.如在几何学中主要表现为辅助线的添加.而以上迁移题实际上就用到了通过直感，对图形进行模式补形，将“缺损”的三角形全等这一结构“补”出来.
第三步，顺藤摸瓜，找出结构，实现迁移.
图 5
由第一次全等可得到，ED=HD,EC=HA.
设AE与BD交于点O，如图5(下一步证明第二次三角形全等：△ECA≌△HAB).
又 CA=AB，∠C=∠HAB=45°，
∴△ECA≌△HAB，∴∠EAC=∠HBA.
又 ∠FBH=45°-∠HBA,
∠OAH=45°-∠EAC，∴∠FBH=∠OAH.
又 ∠FHB与∠OHA为对顶角，
∴在Rt△FBH和△HOA中有∠HOA=∠BFH=90°.
∴得证.
由此，我们也看到了添加辅助线的神奇的作用！
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文