【摘 要】比较是认识事物很重要的方法,其中,类比更是认识新事物,发现新问题,寻求解题方法的有效途径。类比在数学中的应用是极其重要的和多方面的,类比方法应用得好,可以培养提高学生的思维能力及创造能力,可以为学生日后的再学习和实际生活中创造性的开展工作奠定良好的基础。
　　【关键词】数学 类比 应用
　　【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2009)11-0141-02
　　
　　比较是认识事物很重要的方法,其中,类比更是认识新事物,发现新问题,寻求解题方法的有效途径。类比的形式:两个系统具有相似性,即可类比。(相似性:要能用概念确切表达。)下面分图形性质和习题求解两方面谈谈类比在数学中的应用。
　　一、在图形研究中类比方法的应用
　　例1,平面三角形和空间四面体的类比
　　1.先找平面三角形和空间四面体的相似性
　　a.三角形是平面上最简单的多边形;四面体是空间中最简单的多面体。
　　b.三角形是平面上数目最少的简单分界元素围成的图形;四面体是空间中数目最少的简单分界元素围成的图形。
　　c.三角形是三条线首尾相连的图形;四面体是四个面围成的图形。
　　2.推 测
　　a.三角形有内心(三条角平分线的交点),由此类比得:四面体的六个二面角的平分面交于一点,是内切球的球心。
　　b.三角形的三条中线交于一点,叫重心,且分中线为2∶1由此类比得:四面体的四个面的重心和顶点的连线(四面体的中线)交于一点叫重心,且分中线为3∶1。
　　c.由S△= ,类比得:V=
　　∵S是二维的;∴S后有 。
　　而V是三维的;∴V后有 。
　　d.由直角三角形中的勾股定理,类比得:
　　直角顶点的四面体中。(A、B、C为三直角面)
　　(九章算术中的商高定理)
　　e.由三角形中的余弦定理:c2=b2+a2-2abcosC。
　　在四面体中, SD =
　　SBSCcos∠(B,C)-2SCSAcos∠(C,A)。
　　3.验证证明结论成立。
　　(证明过程略)
　　二、习题求解中类比方法的应用
　　例2,空间中位置一般的四张平面分空间成几部分?(每两张不平行,无三张共线,且交线不平行,以后无说明时,平面均为一般平面,直线均为一般直线。)
　　解法一,这样的四张平面刚好可以围成一个四面体。运用类比的方法:
　　∴平面上三条一般直线分平面为7部分:(如图1)
　　1、为封闭的;
　　2、3、4与所围三角形共边;
　　5、6、7与所围三角形共顶点。
　　∴共有7部分。
　　∴类比四面体分空间的情况是:
　　1部分是封闭的;
　　4部分是与所围四面体共面的;
　　6部分是与所围四面体共棱的;
　　4部分是与所围四面体共顶点的;
　　∴共分空间为15部分。
　　解法二:平面内位置一般的三条直线分平面为7部分,
　　即:7=1+3+3=
　　即是三条直线围成的一部分,
　　即是三条直线中任意两条的交点数,亦即与所围三角形共顶点的平面部分;
　　即三条直线中取任意一条,亦即与所围三角形共边的平面部分。
　　由此类比,空间中位置一般的四个平面分空间所成的部分为:
　　四面围成的封闭图形;
　　四面中任意三面形成的交点数,亦即与所围图四面体共顶点的空间部分数;
　　四面中任意二面形成的交线数,亦即与所围图形共棱的空间部分数;
　　四面中任取一面,亦即与所围图形共面的空间部分数。
　　则, 1+4+6+4=15。
　　∴空间位置一般的平面分空间成15部分。
　　推广:直线上n个不同的点分直线几部分?
　　A、直线的n个点分直线因为是一维问题,所以
　　设:t(n)=An+B
　　当n=0时,B=1;
　　当n=1时,A=1;
　　∴t(n)=n+1;
　　即,直线上n个不同的点分直线为n+1部分?
　　B、平面内位置一般的n条直线分平面成几部分?
　　平面内直线分平面是二维问题,所以,类比A。
　　可设,s(n)=An2+Bn2+C
　　当n=0时,c=1;
　　当n=1、n=2时有:
　　A+B+1=2
　　4A+2B+1=4
　　∴A= ,B= ;
　　∴s(n)=
　　C、空间位置一般的n个平面分空间成几部分?
　　空间中位置一般的n个平面分空间是三维问题,所以,类比A、B两类。
　　可设F(n)=An3+Bn2+Cn+D
　　当n=0时,D=1;
　　当n=1,n=2,n=3时有:
　　A+B+C=2
　　8A+4B+2C+1=4
　　27A+9B+3C+1=8
　　解得:A= ,B=0,C= 。
　　∴ f(n)= 。
　　
　　用数学归纳法证明即可得:
　　类比A得的B结论亦成立;
　　类比A、B得的C结论成立。
　　例3,计算3•5•17……(22n-1+1)
　　分析:本题可写为计算
　　(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
　　怎样计算出这n个数的积呢?联想结构上它非常类似的问题:
　　计算:48(72+1)+(74+1)……(72n+1)其解法是:
　　原式=(72-1)(72+1)(74+1)……(72n+1)
　　=(74-1)(74+1)……(72n+1)
　　=(78-1)……(72n+1)
　　=(72n+1-1)
　　算法主要根据48=72-1,然后,再用平方差公式进行计算。利用它和原题结构的类似,可得原题的计算方法为:
　　解:∵1=22-1
　　原式=(221-1-1)+(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
　　=(222-1-1)+(222-1+1)+(223-1+1)……+(22n-1+1)
　　=(223-1-1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
　　=22n-1
　　由上面的例题不难看出,类比在数学中的应用是极其重要的和多方面的,类比方法应用的好,可以培养提高学生的思维能力及创造能力,可以为学生日后的再学习和实际生活中创造性的开展工作奠定良好的基础。