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〔关键词〕 数学教学；合作学习；探究
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0040—02
一、案例背景
函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学学习始终；函数历来是高考数学中的重点考查内容，而函数的性质及其应用又是函数中最重要的内容.因此，让学生对函数的有关性质做到准确、深刻的理解，并能正确、灵活地加以运用至关重要.
二、设计思想
这是高三的一节复习课，教学时，既要考虑对学生能力的培养，同时又要重视基本方法的归纳、总结.
1. 本节课以自主探究、合作交流为主要形式展开教学活动.首先通过复习函数的性质导入，训练学生对文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转换能力.
2. 例1的设计意图是：让学生加深对函数概念、性质的理解.通过阅读，理解数学语言、符号，学会文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化.通过一题多解、一题多思，渗透化归、转化和数形结合的思想以及代数变换的方法，培养学生的思维能力.
3. 例2的设计意图是：让学生先独立思考，探求多种解法，然后组织学生合作学习，进而提高学生综合运用函数的性质解题的能力.
三、课堂实录
师：前面我们已经学习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性，今天我们来综合运用这些性质，请回答以下问题：
1. 函数y=f（x）是奇函数，用数学符号如何表示？函数的图象有何特点？（略）
2. 画出一个关于x=1对称的函数图象，用文字语言如何表达？用符号语言如何表述？（略）
3. 给出f（x+2）=f（x），用文字如何表达？函数的图象具有什么特征？能悟出什么？（略）
4. f（x+2）=-f（x），又能悟出什么？
生：∵ f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴y=
f（x）以4为周期.
例1 设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（7.5）的值.
教师先让学生思考，然后组织学生分组交流讨论.教师巡视活动情况，并及时对学生进行指导.
师：现在请各组选一名代表将你们组归纳的信息告诉大家.
生1：利用周期性，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=
f（x），∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：回答得很好！对所给的符号语言理解得很正确.
生2：直接利用f（x+2）=-f（x），f（7.5）=f（5.5+2）=
-f（5.5）=-[-f（3.5）]=f（3.5）=-f（1.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：两个同学都说得很好！这种方法利用已知条件，把f（x+2）=-f（x）看成关系式，通过对x赋值进行代数变换，得出结论.还有其他方法吗？f（x）是奇函数且
f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4之外，还能得到什么？
生3：f（x+2）=-f（x），而f（x+2）=f（-x），因此得到
f（x）关于直线x=1对称.
师：很好！你能否根据函数的性质画出它的图象，再利用图象来解题？
学生思考后，教师引导学生一起画出y=f（x）的图象，并让学生借助图象寻求解题方法.
生4：从下图中可看出f（7.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：在解题的过程中，我们应善于利用数形结合的思想方法，借助数→形→数之间的相互转化来解题，会收到意想不到的效果.
例2定义在R上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x），且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，则有如下结论：
1.y=f（x）是周期函数；
2.y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
3.y=f（x）在区间[2，4]上是增函数；
4.f（2-x）=f（2+x）.
让学生先思考，可以互相讨论，再组织学生分别回答，并说明理由.
生1：∵f（x+4）=f（x+2+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期T=4；
师：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需证明什么关系式成立即可？
生2：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x）或证f（x）=f（4-x）.
师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立.
生3：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数，∴f（4-x）=f（-x）=f（x），即f（x）=f（4-x），∴y=f（x）图象的对称轴为x=2.
生4：由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数.又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数.
生5：第四小问与第二小问证法相同.
师：回答得太棒了！对于例1我们将问题变式：
变式1：当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式.
生1：设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=x.
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x.
师：非常好！能否总结一下解题步骤？
生2：首先，要“问啥设啥”，但要设在未知区间.其次，把变量转化到已知区间上去，最后再利用函数的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式.
变式2：当-1≤x≤1时，求f（x）的解析式.（在代数推理的基础上，同时结合图形观察.）
生3：由已知和变式1可知当-1≤x≤1时，f（x）=x.
变式3：当x∈[3，5]时，求f（x）的解析式.
生4：解得f（x）=x-4.
变式4：当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式.
生5：解得f（x）=2-x.
教师引导学生小结.（略）
例题演练
1.设f（x）是区间（-∞，+∞）上的奇函数，且满足
f（x+3）=-f（x），当0≤x≤时，f（x）=x，求f（2005）.
2.函数f（x）满足条件f（x）=-f（6-x）和f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000），a∈[5，9]，且f（x）在[5，9]上单调，求a的值.
四、分析与反思
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容.复习时，要在对函数定义的深入理解上下工夫.这节课重在落实基本方法，重视基本功训练，在复习中做到了“低起点”、“小步走”.在教学过程中，例题的分析部分，多采用学生自主探究、合作交流的形式.根据学生的学习状况设计问题，不断纠正学生出现的错误，并将问题逐渐引申；例题的评述部分，采用由学生小结、教师补充归纳的形式.对学生精彩的回答、漂亮的解法，教师及时给予了鼓励.
学生是学习的主人，让学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置，但是又离不开教师的引导. 新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习.本节课充分体现了这一理念，学生有足够的自主探索时间，有与同学合作交流的空间，有与教师交流互动的机会.学生不是从教师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功.
教师是课堂的主导，教师是学生学习数学的组织者、引导者和合作者.教师的主导作用应体现在为学生提供鲜活的学习素材，对学习团体严密组织，对交流活动精心策划，对反馈信息及时有效地处理.
总之，在教学中，要符合学生的认知规律，学生在学习过程中应该以探究、实践、合作、交流的学习方式为重.教师要善于引导学生积极参与教学活动，让学生在动手实践、自主探究与合作交流的过程中学习数学.教师的教学活动要能激发学生探求新知识的兴趣和欲望，逐步培养他们的问题意识.同时还要关注学生在数学学习过程中的变化和发展，关注学习方法与习惯的养成.
（注：全国教育科学“十五”规划重点课题《关于中学数学教学中“合作性学习”的研究》成果，课题批准号：DHB010659）?? 编辑：谢颖丽
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0040—02
一、案例背景
函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学学习始终；函数历来是高考数学中的重点考查内容，而函数的性质及其应用又是函数中最重要的内容.因此，让学生对函数的有关性质做到准确、深刻的理解，并能正确、灵活地加以运用至关重要.
二、设计思想
这是高三的一节复习课，教学时，既要考虑对学生能力的培养，同时又要重视基本方法的归纳、总结.
1. 本节课以自主探究、合作交流为主要形式展开教学活动.首先通过复习函数的性质导入，训练学生对文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转换能力.
2. 例1的设计意图是：让学生加深对函数概念、性质的理解.通过阅读，理解数学语言、符号，学会文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化.通过一题多解、一题多思，渗透化归、转化和数形结合的思想以及代数变换的方法，培养学生的思维能力.
3. 例2的设计意图是：让学生先独立思考，探求多种解法，然后组织学生合作学习，进而提高学生综合运用函数的性质解题的能力.
三、课堂实录
师：前面我们已经学习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性，今天我们来综合运用这些性质，请回答以下问题：
1. 函数y=f（x）是奇函数，用数学符号如何表示？函数的图象有何特点？（略）
2. 画出一个关于x=1对称的函数图象，用文字语言如何表达？用符号语言如何表述？（略）
3. 给出f（x+2）=f（x），用文字如何表达？函数的图象具有什么特征？能悟出什么？（略）
4. f（x+2）=-f（x），又能悟出什么？
生：∵ f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴y=
f（x）以4为周期.
例1 设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（7.5）的值.
教师先让学生思考，然后组织学生分组交流讨论.教师巡视活动情况，并及时对学生进行指导.
师：现在请各组选一名代表将你们组归纳的信息告诉大家.
生1：利用周期性，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=
f（x），∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：回答得很好！对所给的符号语言理解得很正确.
生2：直接利用f（x+2）=-f（x），f（7.5）=f（5.5+2）=
-f（5.5）=-[-f（3.5）]=f（3.5）=-f（1.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：两个同学都说得很好！这种方法利用已知条件，把f（x+2）=-f（x）看成关系式，通过对x赋值进行代数变换，得出结论.还有其他方法吗？f（x）是奇函数且
f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4之外，还能得到什么？
生3：f（x+2）=-f（x），而f（x+2）=f（-x），因此得到
f（x）关于直线x=1对称.
师：很好！你能否根据函数的性质画出它的图象，再利用图象来解题？
学生思考后，教师引导学生一起画出y=f（x）的图象，并让学生借助图象寻求解题方法.
生4：从下图中可看出f（7.5）=f（-0.5）=-0.5.
师：在解题的过程中，我们应善于利用数形结合的思想方法，借助数→形→数之间的相互转化来解题，会收到意想不到的效果.
例2定义在R上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x），且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，则有如下结论：
1.y=f（x）是周期函数；
2.y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
3.y=f（x）在区间[2，4]上是增函数；
4.f（2-x）=f（2+x）.
让学生先思考，可以互相讨论，再组织学生分别回答，并说明理由.
生1：∵f（x+4）=f（x+2+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期T=4；
师：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需证明什么关系式成立即可？
生2：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x）或证f（x）=f（4-x）.
师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立.
生3：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数，∴f（4-x）=f（-x）=f（x），即f（x）=f（4-x），∴y=f（x）图象的对称轴为x=2.
生4：由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数.又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数.
生5：第四小问与第二小问证法相同.
师：回答得太棒了！对于例1我们将问题变式：
变式1：当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式.
生1：设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=x.
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x.
师：非常好！能否总结一下解题步骤？
生2：首先，要“问啥设啥”，但要设在未知区间.其次，把变量转化到已知区间上去，最后再利用函数的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式.
变式2：当-1≤x≤1时，求f（x）的解析式.（在代数推理的基础上，同时结合图形观察.）
生3：由已知和变式1可知当-1≤x≤1时，f（x）=x.
变式3：当x∈[3，5]时，求f（x）的解析式.
生4：解得f（x）=x-4.
变式4：当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式.
生5：解得f（x）=2-x.
教师引导学生小结.（略）
例题演练
1.设f（x）是区间（-∞，+∞）上的奇函数，且满足
f（x+3）=-f（x），当0≤x≤时，f（x）=x，求f（2005）.
2.函数f（x）满足条件f（x）=-f（6-x）和f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000），a∈[5，9]，且f（x）在[5，9]上单调，求a的值.
四、分析与反思
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容.复习时，要在对函数定义的深入理解上下工夫.这节课重在落实基本方法，重视基本功训练，在复习中做到了“低起点”、“小步走”.在教学过程中，例题的分析部分，多采用学生自主探究、合作交流的形式.根据学生的学习状况设计问题，不断纠正学生出现的错误，并将问题逐渐引申；例题的评述部分，采用由学生小结、教师补充归纳的形式.对学生精彩的回答、漂亮的解法，教师及时给予了鼓励.
学生是学习的主人，让学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置，但是又离不开教师的引导. 新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习.本节课充分体现了这一理念，学生有足够的自主探索时间，有与同学合作交流的空间，有与教师交流互动的机会.学生不是从教师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功.
教师是课堂的主导，教师是学生学习数学的组织者、引导者和合作者.教师的主导作用应体现在为学生提供鲜活的学习素材，对学习团体严密组织，对交流活动精心策划，对反馈信息及时有效地处理.
总之，在教学中，要符合学生的认知规律，学生在学习过程中应该以探究、实践、合作、交流的学习方式为重.教师要善于引导学生积极参与教学活动，让学生在动手实践、自主探究与合作交流的过程中学习数学.教师的教学活动要能激发学生探求新知识的兴趣和欲望，逐步培养他们的问题意识.同时还要关注学生在数学学习过程中的变化和发展，关注学习方法与习惯的养成.
（注：全国教育科学“十五”规划重点课题《关于中学数学教学中“合作性学习”的研究》成果，课题批准号：DHB010659）?? 编辑：谢颖丽