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摘要：组合投资理论、资本资产定价模型、套利定价理论以及期权定价模型是金融数学中的几个重要理论，改进和发展金融数学模型，强调对数据的获取、分析和实证研究，针对具体问题探索有效地数学方法和工具是金融数学发展的基本趋势。
关键词：选择理论，资本资产定价模型，套利定价理论
一、引言
金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资策略和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融风险的管理中得到广泛的运用。
金融数学（Mathematical Finance）这个学科名词20世纪80年代才开始出现的，是马科维茨的证券组合选择理论和斯科尔斯- 默顿（M.Scholes-R.Merton）的期权定价理论这二次华尔街革命的直接产物。其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论、定价理论以及市场理论，套利、最优以及均衡是其主要概念。
二、金融数学的几个重要理论
1、选择理论
金融学从定性分析到定量分析始于马科维茨的证券组合选择理论。马科维茨首先将概率理论与数学规划成功地结合在了一起，把组合投资中的股票价格作为随机变量，用其均值表示受益，方差表示风险。当受益不变、使风险最小的投资组合问题可归结为下述二次规划的最优解。
该理论是以单个投资者选择资产组合行为为主要研究对象的规范经济学理论。而Yusen Xia和Baoding Liu在《A model for portfolio selection with order of expected returns》中在此模型分析的基础上，提出了考虑投资人风险偏好的更为合理的投资组合模型。
此模型由于将风险和收益全面考虑进去了，所以比马科维茨的投资组合模型更具有实际意义，它可以根据投资人自身的实力和要求，选择对投资收益和风险的偏好程度，但由于此模型没有对收益和风险目标进行量纲处理，因此存在量纲上的问题，另一方面，由于收益率和风险数量级相差很大，造成某一指标对问题的影响难以反映。
2、资本资产定价模型（CAPM）
资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值，一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总和的市场价值。该模型首先给出了风险资产收益率与市场风险之间的线性关系，即因承担风险而得到风险报酬的定量关系。同时，也给出了单个证券的收益与市场资产组合收益之间的数量关系。该模型还可以进一步说明，投资者承担的风险包括系统风险和非系统风险，承担的系统风险可以获得风险回报，而承担的非系统风险可以通过投资组合被分解掉。
诺贝尔经济学奖得主Sharpe和Lintner做了十条十分严格的假设，得到了如下资本资产定价模型：
若RF定义为时间的市场价格， 为风险的市场价格，则资本资产定价模型可以直观的定义为：
预期收益=时间的市场价格+风险的市场价格*风险的数量
资本资产定价模型以投资家回避风险的特征为前提，通过设定按期望方差准则选择证券组合。另外，亦考虑了市场的均衡，是关于均衡价格的模型。但这一理论的假设过于严格，有的太过于理想化。
3、套利定价理论（APT）
资本资产定价模型刻画了在资本市场达到均衡时资本收益的决定机制，他基于众多的假设，而且其中一些假设并不符合现实，在检验CAPM时，难以得到真正的市场组合，更重要的是一些经验结果与其不符，为此在1970年罗斯提出了一种新的资本资产均衡模型---套利定价模型。
该模型认为风险是由多个因素产生的，不仅仅是一个市场因素，尤其是他对风险态度的假设比CAPM更为宽松，也更为接近现实。APT的核心是假设不存在套利机会，证券的预期收益与风险因素存在近似的线性关系。其原理是基于价格准则：完全相同的两个物品不能也不同的价格出售，否则就会出现套利机会。
假设投资者具有相同的预期，则：
APT理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述。但由于APT理论只是阐明了资产定价的结构，而没有说明是哪些具体的经济的或其它的因素影响预期收益，所以这一理论的检验和实际应用都受到了一定的限制。目前，不少学者都在试图对这一理论加以完善。
三、总结
金融理论的中心问题是研究在不确定的环境下对资源进行分配和利用。时间和不确定性是影响金融行为的主要因素，它们相互作用与影响，其复杂性需要一定的数学分析工具来研究。Markowitz证券组合模型和Black-Scholes期权定价模型的突破，使得数学模型大规模地应用于金融市场的投资分析中。布雷顿森林体系下固定汇率制的崩溃和世界石油的危机等一系列因素，更使得单纯地对历史数据应用经验分析和简单回归技术不能适应投资决策和风险管理的需要。九十年代后，金融工具的不断创新，使得金融数学模型不仅是金融机构进行风险管理必不可少的工具，而且在一些非金融公司的应用也日益普遍。
我国的金融市场起步较晚，金融工具少，金融模型的应用相对于西方而言要少一些。但是随着我国金融市场的不断发展，新的金融工具的不断出现，金融数学模型必然会得到广泛的重视和应用。
参考文献：
[1]张友兰,风险证券组合投资分析[J],河北省科学院院报,1998(3).
[2]姜礼尚,期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3]刘星,杨秀台,证券组合投资决策的两种最优化方法[J].预测，1996(1)66-68.
[4]Arditti, Fred .Risk and the Required Return on Equity .Journal of Finance,1967.
作者简介：袁黎黎，女，经济学学士，毕业于重庆科技大学国际经济与贸易专业；现就读于西南财经大学金融学院，硕士研究生。
关键词：选择理论，资本资产定价模型，套利定价理论
一、引言
金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资策略和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融风险的管理中得到广泛的运用。
金融数学（Mathematical Finance）这个学科名词20世纪80年代才开始出现的，是马科维茨的证券组合选择理论和斯科尔斯- 默顿（M.Scholes-R.Merton）的期权定价理论这二次华尔街革命的直接产物。其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论、定价理论以及市场理论，套利、最优以及均衡是其主要概念。
二、金融数学的几个重要理论
1、选择理论
金融学从定性分析到定量分析始于马科维茨的证券组合选择理论。马科维茨首先将概率理论与数学规划成功地结合在了一起，把组合投资中的股票价格作为随机变量，用其均值表示受益，方差表示风险。当受益不变、使风险最小的投资组合问题可归结为下述二次规划的最优解。
该理论是以单个投资者选择资产组合行为为主要研究对象的规范经济学理论。而Yusen Xia和Baoding Liu在《A model for portfolio selection with order of expected returns》中在此模型分析的基础上，提出了考虑投资人风险偏好的更为合理的投资组合模型。
此模型由于将风险和收益全面考虑进去了，所以比马科维茨的投资组合模型更具有实际意义，它可以根据投资人自身的实力和要求，选择对投资收益和风险的偏好程度，但由于此模型没有对收益和风险目标进行量纲处理，因此存在量纲上的问题，另一方面，由于收益率和风险数量级相差很大，造成某一指标对问题的影响难以反映。
2、资本资产定价模型（CAPM）
资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值，一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总和的市场价值。该模型首先给出了风险资产收益率与市场风险之间的线性关系，即因承担风险而得到风险报酬的定量关系。同时，也给出了单个证券的收益与市场资产组合收益之间的数量关系。该模型还可以进一步说明，投资者承担的风险包括系统风险和非系统风险，承担的系统风险可以获得风险回报，而承担的非系统风险可以通过投资组合被分解掉。
诺贝尔经济学奖得主Sharpe和Lintner做了十条十分严格的假设，得到了如下资本资产定价模型：
若RF定义为时间的市场价格， 为风险的市场价格，则资本资产定价模型可以直观的定义为：
预期收益=时间的市场价格+风险的市场价格*风险的数量
资本资产定价模型以投资家回避风险的特征为前提，通过设定按期望方差准则选择证券组合。另外，亦考虑了市场的均衡，是关于均衡价格的模型。但这一理论的假设过于严格，有的太过于理想化。
3、套利定价理论（APT）
资本资产定价模型刻画了在资本市场达到均衡时资本收益的决定机制，他基于众多的假设，而且其中一些假设并不符合现实，在检验CAPM时，难以得到真正的市场组合，更重要的是一些经验结果与其不符，为此在1970年罗斯提出了一种新的资本资产均衡模型---套利定价模型。
该模型认为风险是由多个因素产生的，不仅仅是一个市场因素，尤其是他对风险态度的假设比CAPM更为宽松，也更为接近现实。APT的核心是假设不存在套利机会，证券的预期收益与风险因素存在近似的线性关系。其原理是基于价格准则：完全相同的两个物品不能也不同的价格出售，否则就会出现套利机会。
假设投资者具有相同的预期，则：
APT理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述。但由于APT理论只是阐明了资产定价的结构，而没有说明是哪些具体的经济的或其它的因素影响预期收益，所以这一理论的检验和实际应用都受到了一定的限制。目前，不少学者都在试图对这一理论加以完善。
三、总结
金融理论的中心问题是研究在不确定的环境下对资源进行分配和利用。时间和不确定性是影响金融行为的主要因素，它们相互作用与影响，其复杂性需要一定的数学分析工具来研究。Markowitz证券组合模型和Black-Scholes期权定价模型的突破，使得数学模型大规模地应用于金融市场的投资分析中。布雷顿森林体系下固定汇率制的崩溃和世界石油的危机等一系列因素，更使得单纯地对历史数据应用经验分析和简单回归技术不能适应投资决策和风险管理的需要。九十年代后，金融工具的不断创新，使得金融数学模型不仅是金融机构进行风险管理必不可少的工具，而且在一些非金融公司的应用也日益普遍。
我国的金融市场起步较晚，金融工具少，金融模型的应用相对于西方而言要少一些。但是随着我国金融市场的不断发展，新的金融工具的不断出现，金融数学模型必然会得到广泛的重视和应用。
参考文献：
[1]张友兰,风险证券组合投资分析[J],河北省科学院院报,1998(3).
[2]姜礼尚,期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3]刘星,杨秀台,证券组合投资决策的两种最优化方法[J].预测，1996(1)66-68.
[4]Arditti, Fred .Risk and the Required Return on Equity .Journal of Finance,1967.
作者简介：袁黎黎，女，经济学学士，毕业于重庆科技大学国际经济与贸易专业；现就读于西南财经大学金融学院，硕士研究生。