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牛献礼 中学高级教师，小学数学特级教师，现任教于北京亦庄实验小学。
曾于1999年荣获全国小学数学第四届评优课一等奖；多节录像课由中央电教馆、河南省电教馆、北京市电教馆等单位发行；2012年12月，在中国教育学会小学数学专业委员会第十五届年会上执教观摩课。在省级以上教育刊物上发表教学论文、案例等100多篇，40余篇论文获省、市级以上奖励，参与编写《名师如何观察课堂》《名师课堂DNA解码》（小学数学卷）、《可以这样教数学》（数学名师的教学智慧）等多本教育书籍，主持的5项教育科研成果获省级一、二等奖。
当下，学生数学学习的动力主要来自外部，更多的是来自分数的压力，而不是来自对数学内在的一种好奇与兴趣。做题几乎成了学生数学学习的唯一方式，由此失去了许多数学学习的乐趣。很多教师都企盼自己的学生能在考试中取得高分，却很少能体谅学生们学得累不累、烦不烦。其实，“对学习内因的最好激发是对所学材料的兴趣”（布鲁纳语）。成长永远都是一件不能急于求成的事情，需要我们放慢脚步来倾听花开的声音，从慢的角度做一点看似“无用”的事，用对考试“无用”的学习材料开拓学生的视野，激发他们数学学习的兴趣，用“无用”的阅读、思考、交流激发他们潜藏的能力、志趣、爱好。
基于此，我在日常教学中尝试开设“数学阅读课”。讲到“阅读”，乍一听好像是语文课和外语课中的专用名词，其实不然！“数学教学也就是数学语言的教学”（A·A·斯托利亚尔语），而语言的学习是离不开阅读的。实践表明，数学语言发展水平低的学生，数学理解力也差，思维转换慢，理解问题时常发生困难和错误，大凡数学成绩较好的学生对数学语言都有较好的理解力，能正确地理解和获取各种数学信息。但是，由于数学语言形式的多样性（包含文字、符号、图形等多种形式）以及数学知识的抽象性等特点，数学阅读材料并不像语文阅读材料那样通俗易懂而富有故事性和趣味性。数学阅读更需要学生勤思多想，对每一个字词、符号与图形的含义以及它们之间的关系都要认真思考、仔细阅读，才能准确、全面地理解。另外，数学阅读更加强调学生的多感官参与，不能只是用眼睛浏览，而应是眼、口、手、脑等多种感官充分协同参与，养成“边阅读，边思考，边计算”的习惯。
选择什么素材作为阅读内容呢？我确定了三个原则：一是学生感兴趣的，因为“兴趣是最好的老师”；二是学生经过思考能够理解的，必须“跳一跳才能摘到果子”（否则缺乏挑战性，心智得不到锻炼），最终又能够“摘到果子”（否则会挫伤积极性）；三是能够增长学生见识，能感受到数学的魅力。通过查阅大量资料，反复比对和筛选，最终选择了如下一些题材作为数学阅读的内容：有趣的222；“数字黑洞”探秘；神奇的“走马灯数”——142857；冰雹猜想；回文数猜想；奇妙的数字金字塔——杨辉三角形，等等。
选好了阅读素材，又该怎样把这些抽象、枯燥、只适合成人阅读的数学知识加工成通俗、有趣且适合儿童探究的学习材料呢？我从精心设计问题开始，因为“问题是数学的心脏”，具有挑战性的问题能够驱动学生进行有目的的阅读，也能促使学生的阅读逐步深入。为了增强学生对阅读数学材料的兴趣，我把学习材料精心设计成彼此关联的“问题串儿”，让学生在问题的驱动下有目的地去阅读、去思考、去计算，寻求问题的答案。学生阅读的过程就是在经历“猜想—验证—再猜想—再验证”的“科学探究”的过程，就是在经历对知识的体验和探索的过程，就是在经历“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之后无比愉悦的心理体验过程。
一般地，数学阅读课的教学流程如下：背景介绍、激发兴趣—自主阅读、尝试探究—互动对话、交流提升。课堂上留出充足的时间让学生去自主阅读、尝试探究，帮助学生真正进入思维状态，让阅读真正成为充满思考的学习过程。教师密切关注学生的阅读进程，视情况适时介入，在关键处点拨、引领学生的思维。教学中，注重利用学生间的差异资源，让进度较快、率先完成阅读任务的同学充当“小老师”，协助老师指导帮助个别有困难的学生。这样，阅读教学的课堂就形成了你追我赶的竞争性氛围和同学之间互帮互助的合作学习氛围。
经过一段时间的实践，数学阅读课的成效初步显现。学生们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，数学学习的兴趣也越来越浓。还记得学习“数学阅读之冰雹猜想”时是一个周五，阅读材料中介绍：“英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。如果按照文中所述方法进行运算，掉入“数字黑洞”的全部过程一共需要111步。”这样介绍原本只是想让学生了解“冰雹猜想”中还有如此特殊的数而已，并不要求学生亲自去计算，因为步骤太繁琐了！没想到周一刚到校，就有几个同学找到我说，他们利用双休日的时间亲自求证了一下，真的用111步计算让“27”掉入了“数字黑洞”，前后耗费了两个多小时，还都乐此不疲——“这样的计算，我喜欢！”也有家长通过QQ给我留言，说自家孩子原本很贪玩，那天却在家里一直坐在那里验算、推导，整整两个多小时，直到把结果算出来才起身去吃饭、休息，这是在他以往的学习中从来没有发生过的事情。
数学阅读课的效果如此之好有些出乎意料，令人振奋！这也坚定了我在应试的背景下还要做一些“无用”之事的想法。或许，这些看似“无用”的种种，却使得数学作为“成长载体”的教育价值得以彰显，那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心（洞察力）、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神的养成有可能成为现实，数学课程有可能发展成为一块孕育发现的沃土。
附：“神奇的‘走马灯数’”阅读材料
神奇的“走马灯数”——142857
142857，又名“走马灯数”。它被发现于埃及金字塔内，是一组世界上最神奇的数字。神奇在哪里呢？我们先来做一个游戏：把这个142857从1到6按顺序分别乘一下，看看有什么发现？
142857×1=（ ）
142857×2=（ ）
142857×3=（ ）
142857×4=（ ）
142857×5=（ ）
142857×6=（ ）
我发现的规律是： 。
怎么样？有点意思吧？现在明白142857为什么叫“走马灯数”了吧？
现在，让我们继续……
142857×7=（ ），计算的结果是否让你感觉很惊讶？
再把142857这个数字分解成两个数字：142，857。
这两个数字之和142 857=（ ）。
再把142857分解成三个数字：14，28，57。
这三个数字之和，14 28 57=（ ）。
再把142857分解成六个数字：1 4 2 8 5 7=27，2 7=（ ）。
最后，我们用142857×142857=20408122449，再算一算乘积的前五位 后六位的得数是多少呢？
20408 122449=（ ）。
是不是觉得这些数字很神奇啊？
那么，如果是除法呢？ 。
142857÷7=20408.142857142857……，商可以简写作（ ）
285714÷7=40816.285714285714……，商可以简写作（ ）
428571÷7=61224.428571428571……，商可以简写作（ ）
571428÷7=81632.571428571428……，商可以简写作（ ）
714285÷7=102040.714285714285……，商可以简写作（ ）
857142÷7=122448.857142857142……，商可以简写作（ ）
我的发现：
再算一算：142857÷2=（ ），142857÷5=（ ），
1÷7=（ ）。
142857还有更神奇的地方等待你去发掘！怎么样？难道你不觉得数学真是一个奇妙的科学吗？看似枯燥，但只要做个有心人总能发现它的神奇。
曾于1999年荣获全国小学数学第四届评优课一等奖；多节录像课由中央电教馆、河南省电教馆、北京市电教馆等单位发行；2012年12月，在中国教育学会小学数学专业委员会第十五届年会上执教观摩课。在省级以上教育刊物上发表教学论文、案例等100多篇，40余篇论文获省、市级以上奖励，参与编写《名师如何观察课堂》《名师课堂DNA解码》（小学数学卷）、《可以这样教数学》（数学名师的教学智慧）等多本教育书籍，主持的5项教育科研成果获省级一、二等奖。
当下，学生数学学习的动力主要来自外部，更多的是来自分数的压力，而不是来自对数学内在的一种好奇与兴趣。做题几乎成了学生数学学习的唯一方式，由此失去了许多数学学习的乐趣。很多教师都企盼自己的学生能在考试中取得高分，却很少能体谅学生们学得累不累、烦不烦。其实，“对学习内因的最好激发是对所学材料的兴趣”（布鲁纳语）。成长永远都是一件不能急于求成的事情，需要我们放慢脚步来倾听花开的声音，从慢的角度做一点看似“无用”的事，用对考试“无用”的学习材料开拓学生的视野，激发他们数学学习的兴趣，用“无用”的阅读、思考、交流激发他们潜藏的能力、志趣、爱好。
基于此，我在日常教学中尝试开设“数学阅读课”。讲到“阅读”，乍一听好像是语文课和外语课中的专用名词，其实不然！“数学教学也就是数学语言的教学”（A·A·斯托利亚尔语），而语言的学习是离不开阅读的。实践表明，数学语言发展水平低的学生，数学理解力也差，思维转换慢，理解问题时常发生困难和错误，大凡数学成绩较好的学生对数学语言都有较好的理解力，能正确地理解和获取各种数学信息。但是，由于数学语言形式的多样性（包含文字、符号、图形等多种形式）以及数学知识的抽象性等特点，数学阅读材料并不像语文阅读材料那样通俗易懂而富有故事性和趣味性。数学阅读更需要学生勤思多想，对每一个字词、符号与图形的含义以及它们之间的关系都要认真思考、仔细阅读，才能准确、全面地理解。另外，数学阅读更加强调学生的多感官参与，不能只是用眼睛浏览，而应是眼、口、手、脑等多种感官充分协同参与，养成“边阅读，边思考，边计算”的习惯。
选择什么素材作为阅读内容呢？我确定了三个原则：一是学生感兴趣的，因为“兴趣是最好的老师”；二是学生经过思考能够理解的，必须“跳一跳才能摘到果子”（否则缺乏挑战性，心智得不到锻炼），最终又能够“摘到果子”（否则会挫伤积极性）；三是能够增长学生见识，能感受到数学的魅力。通过查阅大量资料，反复比对和筛选，最终选择了如下一些题材作为数学阅读的内容：有趣的222；“数字黑洞”探秘；神奇的“走马灯数”——142857；冰雹猜想；回文数猜想；奇妙的数字金字塔——杨辉三角形，等等。
选好了阅读素材，又该怎样把这些抽象、枯燥、只适合成人阅读的数学知识加工成通俗、有趣且适合儿童探究的学习材料呢？我从精心设计问题开始，因为“问题是数学的心脏”，具有挑战性的问题能够驱动学生进行有目的的阅读，也能促使学生的阅读逐步深入。为了增强学生对阅读数学材料的兴趣，我把学习材料精心设计成彼此关联的“问题串儿”，让学生在问题的驱动下有目的地去阅读、去思考、去计算，寻求问题的答案。学生阅读的过程就是在经历“猜想—验证—再猜想—再验证”的“科学探究”的过程，就是在经历对知识的体验和探索的过程，就是在经历“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之后无比愉悦的心理体验过程。
一般地，数学阅读课的教学流程如下：背景介绍、激发兴趣—自主阅读、尝试探究—互动对话、交流提升。课堂上留出充足的时间让学生去自主阅读、尝试探究，帮助学生真正进入思维状态，让阅读真正成为充满思考的学习过程。教师密切关注学生的阅读进程，视情况适时介入，在关键处点拨、引领学生的思维。教学中，注重利用学生间的差异资源，让进度较快、率先完成阅读任务的同学充当“小老师”，协助老师指导帮助个别有困难的学生。这样，阅读教学的课堂就形成了你追我赶的竞争性氛围和同学之间互帮互助的合作学习氛围。
经过一段时间的实践，数学阅读课的成效初步显现。学生们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，数学学习的兴趣也越来越浓。还记得学习“数学阅读之冰雹猜想”时是一个周五，阅读材料中介绍：“英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。如果按照文中所述方法进行运算，掉入“数字黑洞”的全部过程一共需要111步。”这样介绍原本只是想让学生了解“冰雹猜想”中还有如此特殊的数而已，并不要求学生亲自去计算，因为步骤太繁琐了！没想到周一刚到校，就有几个同学找到我说，他们利用双休日的时间亲自求证了一下，真的用111步计算让“27”掉入了“数字黑洞”，前后耗费了两个多小时，还都乐此不疲——“这样的计算，我喜欢！”也有家长通过QQ给我留言，说自家孩子原本很贪玩，那天却在家里一直坐在那里验算、推导，整整两个多小时，直到把结果算出来才起身去吃饭、休息，这是在他以往的学习中从来没有发生过的事情。
数学阅读课的效果如此之好有些出乎意料，令人振奋！这也坚定了我在应试的背景下还要做一些“无用”之事的想法。或许，这些看似“无用”的种种，却使得数学作为“成长载体”的教育价值得以彰显，那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心（洞察力）、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神的养成有可能成为现实，数学课程有可能发展成为一块孕育发现的沃土。
附：“神奇的‘走马灯数’”阅读材料
神奇的“走马灯数”——142857
142857，又名“走马灯数”。它被发现于埃及金字塔内，是一组世界上最神奇的数字。神奇在哪里呢？我们先来做一个游戏：把这个142857从1到6按顺序分别乘一下，看看有什么发现？
142857×1=（ ）
142857×2=（ ）
142857×3=（ ）
142857×4=（ ）
142857×5=（ ）
142857×6=（ ）
我发现的规律是： 。
怎么样？有点意思吧？现在明白142857为什么叫“走马灯数”了吧？
现在，让我们继续……
142857×7=（ ），计算的结果是否让你感觉很惊讶？
再把142857这个数字分解成两个数字：142，857。
这两个数字之和142 857=（ ）。
再把142857分解成三个数字：14，28，57。
这三个数字之和，14 28 57=（ ）。
再把142857分解成六个数字：1 4 2 8 5 7=27，2 7=（ ）。
最后，我们用142857×142857=20408122449，再算一算乘积的前五位 后六位的得数是多少呢？
20408 122449=（ ）。
是不是觉得这些数字很神奇啊？
那么，如果是除法呢？ 。
142857÷7=20408.142857142857……，商可以简写作（ ）
285714÷7=40816.285714285714……，商可以简写作（ ）
428571÷7=61224.428571428571……，商可以简写作（ ）
571428÷7=81632.571428571428……，商可以简写作（ ）
714285÷7=102040.714285714285……，商可以简写作（ ）
857142÷7=122448.857142857142……，商可以简写作（ ）
我的发现：
再算一算：142857÷2=（ ），142857÷5=（ ），
1÷7=（ ）。
142857还有更神奇的地方等待你去发掘！怎么样？难道你不觉得数学真是一个奇妙的科学吗？看似枯燥，但只要做个有心人总能发现它的神奇。