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【摘要】文章通过一道三角求值问题求解过程的评注，展示了如何以数学美感、思想方法为指南，以解题过程反思为途径进行解题思路的探索、发现和改进.这样的一题多解有利于深化数学思想方法的领悟、揭示数学知识有机的相互联系,从而完善数学认知结构、培养数学能力.
【关键词】数学美；数学思想方法；解题过程；反思；探索；发现；改进
一个数学问题,如果我们只有一个解法,不管是自己想出来的还是翻答案看到的,都肯定会存在认识上的局限性.只有在得出更多解法之后,才会对问题的实质有真正的了解,其中不同的解法源于对问题的不同理解和艰难的探索，背后既有数学美感的体验也包含数学思想方法的引领.在解题中通过各种不同方法的求解可以沟通数学知识的有机联系，完善认知结构，从而培养数学能力.但是,怎样才能想出不同的解题思路呢？又怎样才能改进我们的解法呢?
笔者认为追求数学美感、联想数学思想方法是探索解题思路的指南，反思解题过程是发现和改进解题方法的有效途径!
下面,我们将通过一道例题求解过程的评注,感知数学解题思路的探索、发现和改进.
例 求cosπ7-cos2π7+cos3π7的值.
解法1 注意到各式的数字特征，将第一项和第三项直接和差化积，得cosπ7-cos2π7+cos3π7=2cos2π7cosπ7-cos2π7=cos2π72cosπ7-1.
怎样进一步变形呢？联想到余弦的二倍角公式cos2α=2cos2α-1和三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα，将上式变形为cos2π74cos2π14-3，再乘上cosπ14cosπ14，我们有：
上式=cos2π74cos3π14-3cosπ14cosπ14
=cos2π7cos3π14cosπ14
=12cos7π14+cosπ14cosπ14=12.
反思 从以上解题过程可以看出,求解的关键是运用联系与转化的方法以及以退为进的思想，其中关键步骤是乘以cosπ14cosπ14，原式如果直接乘上cosπ14cosπ14，可改进解法.
解法2 cosπ7-cos2π7+cos3π7
=cosπ14cosπ14cosπ7-cos2π7+cos3π7
=1cosπ14cosπ14cosπ7-cosπ14cos2π7+cosπ14cos3π7
=121cosπ14cos3π14+cosπ14-cos5π14-cos3π14+cos7π14+cos5π14=12.
反思 如果我们从运算符号的统一与和谐美出发，将“-”全部化为“+”，或者将“+”全部化为“-”，则可以得出类似的多种解法.
解法3 我们知道正弦与余弦函数是一对对偶函数，它们总是有千丝万缕的联系.利用数学的对称美，我们有如下的构造对偶方法.
令A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，
B=sinπ7-sin2π7+sin3π7，
则A•B=sinπ7cosπ7-sinπ7cos2π7+sinπ7cos3π7- sin2π7cosπ7+sino2π7cos2π7-sin2π7cos3π7+ sin3π7cosπ7-sin3π7cos2π7+sin3π7cos3π7
=12sin2π7-sin3π7+sinπ7+sin4π7-sin2π7- sin3π7-sinπ7+sin4π7-sin5π7+sinπ7+ sin4π7+sin2π7-sin5π7-sinπ7+sin6π7
=12sin2π7-2sin3π7+3sin4π7-2sin5π7+sin6π7
=12sinπ7-sin2π7+sin3π7
=12•B，
所以cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.
反思 这里我们利用了正弦函数与余弦函数的对偶性解决了问题.那么我们用A乘以其本身A，又会有什么呢？
解法4 先化简cosπ7-cos2π7+cos3π72，我们发现：
cosπ7-cos2π7+cos3π72=32-52cosπ7-cos2π7+cos3π7，
由方程的思想,令x=cosπ7-cos2π7+cos3π7,有x2=32-52x,解得x1=12，x2=-3(舍去),所以原式=12.
反思 这里用一元二次方程方法解决了三角求值问题，这得益于余弦的积化和差的公式cosαcosβ=12［cos(α+β)+cos(α-β)］的特点.这也使我们体会到了数学的奇异美!
解法5 因为原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7，如果设z=cosπ7+isinπ7，则z7=1的7个根为1，
cos2π7+isin2π7，cos4π7+isin4π7，cos6π7+isin6π7，
cos8π7+isin8π7，cos10π7+isin10π7，cos12π7+isin12π7，
由方程根与系数的关系有：
1+cos2π7+cos4π7+cos6π7+cos8π7+cos10π7+cos12π7=0，由此可得原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.
从上面的方程解法可以看出，它是以方程思想为指南，将三角问题化为方程问题，这种思想在处理数学问题时有广泛的应用.
其实三角函数与许多知识紧密相连，我们完全可以进一步拓宽我们的思路，挖掘其他解法.其中复数的三角形式就是联系复数与正弦函数与余弦函数的一座桥梁.
解法6 因为原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7,利用复数与三角之间的关系，将三角问题化归为复数问题.
令A=cosπ7+cos3π7+cos5π7，
B=sinπ7+sin3π7+sin5π7，
z=cosπ7+isinπ7，
则A+Bi=z+z3+z5=z(1-z6)1-z2=11-z
=11-cosπ7-isinπ7
=12sin2π14-2isinπ14cosπ14
=12sinπ14sinπ14-icosπ14
=12+icotπ14，
∴A=12.
反思 求解形如sinα+sin2α+…+sinnα，cosα+cos2α+…+cosnα（其中n是自然数）的值，都可以利用构造思想,利用复数求解.如果联系到荻美弗定理和共轭复数性质,利用数学的统一与和谐美，可改进解法6.
由上可见,数学美感、思想方法是指导我们探索解题思路的指南、它引导并贯穿于数学解题的全过程；而解题过程的反思,可以优化思维品质、沟通知识间的联系并发现和改进解题方法.这样,通过数学思想方法的引领和解题过程的反思将使我们有可能通过有限道题的学习培养起解无限道题的数学机智.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】数学美；数学思想方法；解题过程；反思；探索；发现；改进
一个数学问题,如果我们只有一个解法,不管是自己想出来的还是翻答案看到的,都肯定会存在认识上的局限性.只有在得出更多解法之后,才会对问题的实质有真正的了解,其中不同的解法源于对问题的不同理解和艰难的探索，背后既有数学美感的体验也包含数学思想方法的引领.在解题中通过各种不同方法的求解可以沟通数学知识的有机联系，完善认知结构，从而培养数学能力.但是,怎样才能想出不同的解题思路呢？又怎样才能改进我们的解法呢?
笔者认为追求数学美感、联想数学思想方法是探索解题思路的指南，反思解题过程是发现和改进解题方法的有效途径!
下面,我们将通过一道例题求解过程的评注,感知数学解题思路的探索、发现和改进.
例 求cosπ7-cos2π7+cos3π7的值.
解法1 注意到各式的数字特征，将第一项和第三项直接和差化积，得cosπ7-cos2π7+cos3π7=2cos2π7cosπ7-cos2π7=cos2π72cosπ7-1.
怎样进一步变形呢？联想到余弦的二倍角公式cos2α=2cos2α-1和三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα，将上式变形为cos2π74cos2π14-3，再乘上cosπ14cosπ14，我们有：
上式=cos2π74cos3π14-3cosπ14cosπ14
=cos2π7cos3π14cosπ14
=12cos7π14+cosπ14cosπ14=12.
反思 从以上解题过程可以看出,求解的关键是运用联系与转化的方法以及以退为进的思想，其中关键步骤是乘以cosπ14cosπ14，原式如果直接乘上cosπ14cosπ14，可改进解法.
解法2 cosπ7-cos2π7+cos3π7
=cosπ14cosπ14cosπ7-cos2π7+cos3π7
=1cosπ14cosπ14cosπ7-cosπ14cos2π7+cosπ14cos3π7
=121cosπ14cos3π14+cosπ14-cos5π14-cos3π14+cos7π14+cos5π14=12.
反思 如果我们从运算符号的统一与和谐美出发，将“-”全部化为“+”，或者将“+”全部化为“-”，则可以得出类似的多种解法.
解法3 我们知道正弦与余弦函数是一对对偶函数，它们总是有千丝万缕的联系.利用数学的对称美，我们有如下的构造对偶方法.
令A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，
B=sinπ7-sin2π7+sin3π7，
则A•B=sinπ7cosπ7-sinπ7cos2π7+sinπ7cos3π7- sin2π7cosπ7+sino2π7cos2π7-sin2π7cos3π7+ sin3π7cosπ7-sin3π7cos2π7+sin3π7cos3π7
=12sin2π7-sin3π7+sinπ7+sin4π7-sin2π7- sin3π7-sinπ7+sin4π7-sin5π7+sinπ7+ sin4π7+sin2π7-sin5π7-sinπ7+sin6π7
=12sin2π7-2sin3π7+3sin4π7-2sin5π7+sin6π7
=12sinπ7-sin2π7+sin3π7
=12•B，
所以cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.
反思 这里我们利用了正弦函数与余弦函数的对偶性解决了问题.那么我们用A乘以其本身A，又会有什么呢？
解法4 先化简cosπ7-cos2π7+cos3π72，我们发现：
cosπ7-cos2π7+cos3π72=32-52cosπ7-cos2π7+cos3π7，
由方程的思想,令x=cosπ7-cos2π7+cos3π7,有x2=32-52x,解得x1=12，x2=-3(舍去),所以原式=12.
反思 这里用一元二次方程方法解决了三角求值问题，这得益于余弦的积化和差的公式cosαcosβ=12［cos(α+β)+cos(α-β)］的特点.这也使我们体会到了数学的奇异美!
解法5 因为原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7，如果设z=cosπ7+isinπ7，则z7=1的7个根为1，
cos2π7+isin2π7，cos4π7+isin4π7，cos6π7+isin6π7，
cos8π7+isin8π7，cos10π7+isin10π7，cos12π7+isin12π7，
由方程根与系数的关系有：
1+cos2π7+cos4π7+cos6π7+cos8π7+cos10π7+cos12π7=0，由此可得原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.
从上面的方程解法可以看出，它是以方程思想为指南，将三角问题化为方程问题，这种思想在处理数学问题时有广泛的应用.
其实三角函数与许多知识紧密相连，我们完全可以进一步拓宽我们的思路，挖掘其他解法.其中复数的三角形式就是联系复数与正弦函数与余弦函数的一座桥梁.
解法6 因为原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7,利用复数与三角之间的关系，将三角问题化归为复数问题.
令A=cosπ7+cos3π7+cos5π7，
B=sinπ7+sin3π7+sin5π7，
z=cosπ7+isinπ7，
则A+Bi=z+z3+z5=z(1-z6)1-z2=11-z
=11-cosπ7-isinπ7
=12sin2π14-2isinπ14cosπ14
=12sinπ14sinπ14-icosπ14
=12+icotπ14，
∴A=12.
反思 求解形如sinα+sin2α+…+sinnα，cosα+cos2α+…+cosnα（其中n是自然数）的值，都可以利用构造思想,利用复数求解.如果联系到荻美弗定理和共轭复数性质,利用数学的统一与和谐美，可改进解法6.
由上可见,数学美感、思想方法是指导我们探索解题思路的指南、它引导并贯穿于数学解题的全过程；而解题过程的反思,可以优化思维品质、沟通知识间的联系并发现和改进解题方法.这样,通过数学思想方法的引领和解题过程的反思将使我们有可能通过有限道题的学习培养起解无限道题的数学机智.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文