论文部分内容阅读
[摘要] 众所周知，数与形是初中数学学习的两个基本要素，所以，数形结合思想就成了初中基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的作用。因此，在初中数学教学中如何引导学生运用“数形结合”的思想去解常见数学题目已成为数学教师探究的一个方向。本文结合笔者的一些教学体会，就课堂教学中如何“以形助数”，借助形的直观性，优化解题途径以及如何“以数解形”，借助“数与式”的精准性，精化解题方法，达到有效解题的目的展开论述，以使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。
[关键词] 数形结合；以形助数；以数解形
数学是一门揭示事物数量与形体的本质关系与联系的学科。“数”与“形”是数学的两大研究对象，它们的矛盾统一是数学发展的内在因素。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话就说明了“数”与“形”这两者是不可偏废的。“数”与“形”既是学习过程中感知的对象，又是思想的产品，是直观与抽象，感知与思维的结合。我们应从这两者的联系中去认识事物的特征，由数思形、由形想数、相互推进，层层深入，才易于揭露事物的本质与规律。因而，我们在数学教学中，应有意识地抓住两者的结合，并使学生付诸于实践，才能使感知与思维依多角度，多层次深入展开，直觉思维与分析思维交错进行，促进代数、几何的相互渗透，相互推进，以更好地提高数学教学质量。
一、数形结合思想的重要性
所谓数形结合，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用这一方法可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。
我们都知道，几何本身缺乏严密性，而代数本身却又缺乏直观性。这时候只有将两者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。虽然新课改已经没有把初中数学明确地分为代数和几何两本书，但这两部分内容始终是互相渗透与推进的。比如代数列方程解应用题中的行程问题，往往借助几何图形，靠图形感知来“支持”抽象的思维过程，从而数量之间的相依关系，所以数形结合是寻找解决问题途径的一种思维方法。新课标在初一教材中就引入数轴，这就为数形结合的思想奠定了基础。教材借助数轴直观地给出了相反数的定义，在数轴上表示该两数的点分别在原点的两旁，离开原点的距离相等；零的相反数仍是零等内容，揭示了“数”与“形”之间紧密的内在联系，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，可以检测出学生掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，更是有助于学生学习抽象的知识，对锻炼它们相应的数学思维也是有很大帮助的。
二、如何在初中数学教学中渗透数形结合思想
在初中教学中经常要用到数形结合的思想，比如有理数、应用题、不等式、几何题等无不蕴含着数形结合的思想。那么，我们应该如何充分利用数和形的关系去解决常见的数学问题呢？笔者认为可以从下面几个方面着手：
1、数中思形，通过几何模型反映相应代数信息。
一般情况下，代数问题可以不依赖于几何而得以解决，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予其几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。几何直观运用于代数主要包括利用几何图形帮助记忆代数公式，利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算等。
例如有这样一道应用题：
甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。
由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，不失为有效的解题策略。
2、形中觅数，找出图形中蕴含的代数关系。
运用“数形结合”的方法解决数学问题，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”的角度来看，主要就包括利用数轴、坐标系把几何问题代数化，利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题这两个结合点。例如： 已知⊙O内切于△ABC，AB=10，BC=13，AC=11。求：过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长。
解：设⊙O与△ABC各边分别相切于点D、E、F，则
AD=AF，BD=BE，CE=CF
又设AD=x，BE=y，CF=z，
则x+y=10，y+z=13，z+x=11
∴过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长分别为4，6，7。
由此例可以说明几何方面的问题，如果借用代数方法解决，解题方法就易于寻找，解题过程也会变得更加简便，因为虽然几何题较为形象直观，但若遇到已知和结论之间相距较远的问题，解题思路常常不容易找到，而用代数方法解题，思维就比较明确、有规律，解题方法自然就会显得容易多了。
3、结合使用数量关系和图形的性质。
在解题过程中，我们不仅要“以形助数”、“以数解形”，更要将数量关系和图形的性质串连结合使用，也就是说根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示其中隐含的数量关系。数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。比如有了这样一个题目：
通过这样的数形结合，学生可以很容易的就想到了解题思路，数学思维也被拓展了，教学效果自然就提高了。
“数无形不直观，形无数难入微”，数形结合思想在初中数学教学中的作用是举足轻重的。所以，在解题的时候见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系。值得注意的是，在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则，数形互补原则。初中数学教材中，数形结合的例子很多，仅从举过的例子可以看出，代数、几何虽然各有不同特点和思考问题的方法，但是完全有必要把它们的知识联系起来，因而我们数学教师应该在抓好代数、几何的基础知识的前提下，有意识地引导学生用数形结合的观点分析问题和解决向题，以培养学生观察图形，挖掘图形中蕴含的数量关系的能力；正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系的能力；切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图的能力，进而加深对知识的理解与掌握，开拓学生思维。只要我们在教学中有意识地训练，坚持实践，学生思维素质便可望提高。
[关键词] 数形结合；以形助数；以数解形
数学是一门揭示事物数量与形体的本质关系与联系的学科。“数”与“形”是数学的两大研究对象，它们的矛盾统一是数学发展的内在因素。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话就说明了“数”与“形”这两者是不可偏废的。“数”与“形”既是学习过程中感知的对象，又是思想的产品，是直观与抽象，感知与思维的结合。我们应从这两者的联系中去认识事物的特征，由数思形、由形想数、相互推进，层层深入，才易于揭露事物的本质与规律。因而，我们在数学教学中，应有意识地抓住两者的结合，并使学生付诸于实践，才能使感知与思维依多角度，多层次深入展开，直觉思维与分析思维交错进行，促进代数、几何的相互渗透，相互推进，以更好地提高数学教学质量。
一、数形结合思想的重要性
所谓数形结合，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用这一方法可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。
我们都知道，几何本身缺乏严密性，而代数本身却又缺乏直观性。这时候只有将两者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。虽然新课改已经没有把初中数学明确地分为代数和几何两本书，但这两部分内容始终是互相渗透与推进的。比如代数列方程解应用题中的行程问题，往往借助几何图形，靠图形感知来“支持”抽象的思维过程，从而数量之间的相依关系，所以数形结合是寻找解决问题途径的一种思维方法。新课标在初一教材中就引入数轴，这就为数形结合的思想奠定了基础。教材借助数轴直观地给出了相反数的定义，在数轴上表示该两数的点分别在原点的两旁，离开原点的距离相等；零的相反数仍是零等内容，揭示了“数”与“形”之间紧密的内在联系，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，可以检测出学生掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，更是有助于学生学习抽象的知识，对锻炼它们相应的数学思维也是有很大帮助的。
二、如何在初中数学教学中渗透数形结合思想
在初中教学中经常要用到数形结合的思想，比如有理数、应用题、不等式、几何题等无不蕴含着数形结合的思想。那么，我们应该如何充分利用数和形的关系去解决常见的数学问题呢？笔者认为可以从下面几个方面着手：
1、数中思形，通过几何模型反映相应代数信息。
一般情况下，代数问题可以不依赖于几何而得以解决，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予其几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。几何直观运用于代数主要包括利用几何图形帮助记忆代数公式，利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算等。
例如有这样一道应用题：
甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。
由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，不失为有效的解题策略。
2、形中觅数，找出图形中蕴含的代数关系。
运用“数形结合”的方法解决数学问题，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”的角度来看，主要就包括利用数轴、坐标系把几何问题代数化，利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题这两个结合点。例如： 已知⊙O内切于△ABC，AB=10，BC=13，AC=11。求：过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长。
解：设⊙O与△ABC各边分别相切于点D、E、F，则
AD=AF，BD=BE，CE=CF
又设AD=x，BE=y，CF=z，
则x+y=10，y+z=13，z+x=11
∴过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长分别为4，6，7。
由此例可以说明几何方面的问题，如果借用代数方法解决，解题方法就易于寻找，解题过程也会变得更加简便，因为虽然几何题较为形象直观，但若遇到已知和结论之间相距较远的问题，解题思路常常不容易找到，而用代数方法解题，思维就比较明确、有规律，解题方法自然就会显得容易多了。
3、结合使用数量关系和图形的性质。
在解题过程中，我们不仅要“以形助数”、“以数解形”，更要将数量关系和图形的性质串连结合使用，也就是说根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示其中隐含的数量关系。数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。比如有了这样一个题目：
通过这样的数形结合，学生可以很容易的就想到了解题思路，数学思维也被拓展了，教学效果自然就提高了。
“数无形不直观，形无数难入微”，数形结合思想在初中数学教学中的作用是举足轻重的。所以，在解题的时候见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系。值得注意的是，在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则，数形互补原则。初中数学教材中，数形结合的例子很多，仅从举过的例子可以看出，代数、几何虽然各有不同特点和思考问题的方法，但是完全有必要把它们的知识联系起来，因而我们数学教师应该在抓好代数、几何的基础知识的前提下，有意识地引导学生用数形结合的观点分析问题和解决向题，以培养学生观察图形，挖掘图形中蕴含的数量关系的能力；正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系的能力；切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图的能力，进而加深对知识的理解与掌握，开拓学生思维。只要我们在教学中有意识地训练，坚持实践，学生思维素质便可望提高。