论文部分内容阅读
数学中考复习，时间紧，任务重，我们要努力提高学生的学习效率。教师要先多做題目，从数学题库中选择好题，我们要在“精”字上下功夫。教师要目的要明确，针对性强，精选题目。我们的数学课本中有许多经典的好题目，各地每年的中考试题都有不少题目是课本例题或习题的改造题。教师要重视数学课本的经典题目，以课本例题或习题为原型，进行适当的变化、探索，要精讲精练，让学生更好地掌握一类题型，真正提高学生的数学解题能力，提高学生学习的效率。数学教材的例题和习题非常重要，要充分用好教材中的例题和习题，注意条件、结论的变式。我们要重视课本的经典题。下面以人教版教材八年级上册第69页第14题为例。
题目：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF =90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F。求证AE=EF。
分析：证明线段相等，常见的思路是利用三角形全等或等角对等边。学生易想到证明三角形全等，进而引导学生构造全等三角形。
证明：取AB的中点M，连接EM；
∵∠AEF=90°
∴∠CEF ∠AEB=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE ∠AEB=90°，AB=BC
∴∠CEF=∠BAE
∵E是BC的中点，M是AB的中点
∴BM=BE=AM=CE
∴∠BME=∠BEM=45°
∵CF是正方形外角平分线
∴∠DCF=45°
∴∠AME=∠ECF=135°，又∠CEF= ∠BAE，AM=EC
∴△AGE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF
评注：本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。
下面以两道中考题和一道练习题为例说明它是一道好题目。
例题1：（2012年青海市中考第27 题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F。请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题。
（1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如上图，取AB的中点M，连接EM。
∵∠AEF=90°
∴∠FEC ∠AEB=90°
又∵∠EAM ∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论。
图2
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由。
图3
（2）证明：如图4在线段AB上截取一点AM=CE，连接ME。
图4
同（1）易证△AEM≌△EFC （ASA）
∴AE=EF。
（3）证明：如图5，延长BA至点M，使AM=CE，连接ME。
图5
同（1）易证∠M=∠ECF=45°，∠MAE=∠CEF，可证明△AEM≌△EFC（ASA），从而得到AE=EF。
评注：本题是源于课本的中考题，它考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。（1）题是课本的题目，（2）、（3）题是（1）题的延伸，条件发生了变化，结论没有变，要启发学生多思考，寻求正确的解法。通过这道题更好的掌握课本的习题。
数学许多题目与三角板结合，将∠AEF=90°改为直角三角板，进一步探索，如例题2，一道不错的习题。
例题2：如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_____；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_____；
③请证明你的上述两猜想；
（2）如图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。
分析：此题与例题1的（1）、（2）类似。
例题2：（2016年内蒙古通辽市第21题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F。求证：AE=EF。
分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF。
分析解答过程：
易证∠1=∠2，∠AHE=∠ECF
∴△AHE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF。
评注：本题是源于课本的中考题，它考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。课本中的经典题懂了，这一道中考就易得解答了。
数学课本中有许多经典的好题，我们要善于发现它，好好研究它，备好每一节课，有利于学生更好地掌握知识。尤其是中考总复习时，更要注重高效。请重视课本的经典题，教师必须吃透课本上的例题和习题，全面、系统地掌握基础知识和基本方法，以不变应万变。选择一些针对性极强的题目进行强化训练，教师应有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让中考复习更高效。我们要站在学生的地位，努力做好自己的本职工作。我们要坚持以课本为最基本的资料，就是我们常说的“以本为本”，减轻学生的学习负担，提高教学质量。
（作者单位：福建省龙岩市永定区第二初级中学）
题目：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF =90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F。求证AE=EF。
分析：证明线段相等，常见的思路是利用三角形全等或等角对等边。学生易想到证明三角形全等，进而引导学生构造全等三角形。
证明：取AB的中点M，连接EM；
∵∠AEF=90°
∴∠CEF ∠AEB=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE ∠AEB=90°，AB=BC
∴∠CEF=∠BAE
∵E是BC的中点，M是AB的中点
∴BM=BE=AM=CE
∴∠BME=∠BEM=45°
∵CF是正方形外角平分线
∴∠DCF=45°
∴∠AME=∠ECF=135°，又∠CEF= ∠BAE，AM=EC
∴△AGE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF
评注：本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。
下面以两道中考题和一道练习题为例说明它是一道好题目。
例题1：（2012年青海市中考第27 题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F。请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题。
（1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如上图，取AB的中点M，连接EM。
∵∠AEF=90°
∴∠FEC ∠AEB=90°
又∵∠EAM ∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论。
图2
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由。
图3
（2）证明：如图4在线段AB上截取一点AM=CE，连接ME。
图4
同（1）易证△AEM≌△EFC （ASA）
∴AE=EF。
（3）证明：如图5，延长BA至点M，使AM=CE，连接ME。
图5
同（1）易证∠M=∠ECF=45°，∠MAE=∠CEF，可证明△AEM≌△EFC（ASA），从而得到AE=EF。
评注：本题是源于课本的中考题，它考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。（1）题是课本的题目，（2）、（3）题是（1）题的延伸，条件发生了变化，结论没有变，要启发学生多思考，寻求正确的解法。通过这道题更好的掌握课本的习题。
数学许多题目与三角板结合，将∠AEF=90°改为直角三角板，进一步探索，如例题2，一道不错的习题。
例题2：如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_____；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_____；
③请证明你的上述两猜想；
（2）如图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。
分析：此题与例题1的（1）、（2）类似。
例题2：（2016年内蒙古通辽市第21题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F。求证：AE=EF。
分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF。
分析解答过程：
易证∠1=∠2，∠AHE=∠ECF
∴△AHE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF。
评注：本题是源于课本的中考题，它考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质。课本中的经典题懂了，这一道中考就易得解答了。
数学课本中有许多经典的好题，我们要善于发现它，好好研究它，备好每一节课，有利于学生更好地掌握知识。尤其是中考总复习时，更要注重高效。请重视课本的经典题，教师必须吃透课本上的例题和习题，全面、系统地掌握基础知识和基本方法，以不变应万变。选择一些针对性极强的题目进行强化训练，教师应有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让中考复习更高效。我们要站在学生的地位，努力做好自己的本职工作。我们要坚持以课本为最基本的资料，就是我们常说的“以本为本”，减轻学生的学习负担，提高教学质量。
（作者单位：福建省龙岩市永定区第二初级中学）