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摘 要：为适应数控自动化机械操作的需要，改革传统机械制图教材；增加截交线、相贯线及其展开方程的介绍；力求提高学生的操作技能。
关键词：截交线 相贯线 方程 教学改革
中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-00
1问题提出
在职业学校现行机械制图教材中，关于截交线与相贯线内容的教学，是基于传统的机械加工方法：放样制作、划线、手工切割等组织教学的。在生产实践中，由于受这种手工作图与手工操作局限性的限制，在质量、效率上都难于达到高水准。随着科技的发展，企业转型升级的需要，机械自动化程度的不断提高，这种传统的方法为数控技术、甚至机器人替代。因此，职校教学要适应社会的需求，必须对这一呈现滞后性的教学内容实施改革。
2解决方案
在机械制图课程中，增加有关截交线与相贯线的数学模型构建的介绍；掌握数控编程中所需的有关轨迹方程的求解；并选取适当的应用实例给学生实习。
2.1圆柱体正截面交线及其展开线的方程
首先，给出圆柱体正截交线是椭圆的理论证明，让学生从理性上加深截交线是椭圆的认识，并掌握圆柱圆半径r、截面与圆柱底面倾斜角α、椭圆长半轴a、短半轴b等元素间的关系，利于实际相关问题的计算与处理等。
圆柱体正截交线是椭圆的证明。如图1，设圆柱体底面半径为r。在圆柱体斜截面上方放置一个半径为r，与圆柱体内壁和斜截面都相切的球，它与斜截面产生了一个切点F1；在圆柱体斜截面下方也放一个半径为r，与圆柱体内壁和斜截面都相切的球，它与斜截面产生了另一个切点F2。由于球外一点到球的各方向切线都相等，因此，斜截面边界上的所有点P到斜截面上的两个切点距离和PF1+PF2总是等于这个点到上下两圆与圆柱体内壁相切处的距离和PM+PN=O1O2=定值（即上下两圆的圆心距离），也就是说，据椭圆定义：一个支点到两个定点的距离的和是定值，则这个动点的轨迹是椭圆，所以，这个斜截面是以两切点为焦点的椭圆。
探索截面椭圆、倾角、底圆半径等元素间的关系。如图2，设截面椭圆与圆柱底平面的交角为α，则椭圆短轴2b=2r为定值，椭圆长轴2a方向与交角方向一致，a、b、r、α等之间的关系为b=r=aCosα。于是，在正截面上的椭圆方程为 。借助上述关系，可知O’A在侧面的射影等于O’C=AC·tgα。得到截面左视图随倾角α变化的变化规律：α=45°，截面左视图是圆；α>45°，截面左视图是长轴为O’A射影的椭圆；反之亦然。
圆柱体正截交线平面展开图形轨迹的探求。关键是要掌握其椭圆在空间的轨迹方程
如图3，设圆柱体半径为R；斜截面与柱体底平面（垂直于中心轴的截面）夹角为α；斜面中心到底平面距离为h。根据对称性，设定展开时沿FG剪开铺平，若以A为坐标原点，AE为y轴，那么圆周就是展开图的x轴。截面圆周上动点M，在展开图上横坐标就是AP“弧”（有正负）， 纵坐标就是高PM。以AP“弧”（有向）的圆心角θ（-π≤θ≤π）为参数，则 x=Rθ， y=PM=CD=ON =OO‘-NO’=h-DN*tanα=h-OC*tanα=h-Rcosθtanα。消去参数θ，得到 y=h-（Rtanα）cos（x/R），-πR≤x≤πR。
取h=3，R=2，α=30°，容易作出其平面展开图，如图3’
2.2两圆柱面相贯线及其展开曲线的方程
设柱体Ⅰ和Ⅱ的半径分别为R和r（R﹥r）两异面轴线成角θ，距离为e。建立如图所示的坐标系，yoz平面向前移动e，再逆时针转θ，则与y’o’z’平面重合；于是，根据旋转公式与平移公式有： （1） （2）
Ⅰ圆柱面在o-xyz中的方程为： （3）
Ⅱ圓柱面在o’-x’y’z’中的参数方程为： （4）
β=0～2π，是参数方程的参数。
将式（1）代入式（3）得： （5）
将式（4）代入式（5）整理得： （6）
则有两圆柱面相贯线在坐标系o’-x’y’z’中的参数方程为：
（7）
对柱体Ⅱ，从其在o’-x’y’平面母线处展开为平面，则两圆柱面相贯线在展开的新平面内的曲线方程的纵坐标f（x）=y’，横坐标x的值是半径r圆的圆心角β所对的圆弧长l，即x=l=rβ。
则有： （-- ）（8）
设R=3.5、r=1、θ=30°、e=1，则其展开曲线的平面图为图4’。
对于柱体I、II的情形，当轴线选取不同的坐标轴时，所得到的相贯线参数方程的形式略有不同，但结构的本质是一致的。
运用类似的方法，可得各类立体面的相贯线方程及其平面展开线方程。
2.3应用举例
在生产实际中经常会遇到一些截交和相贯的问题，拉杆接头上的截交线（如下图（a）所示）和三通上的相贯线（如下图（b）所示），因此必须研究求作截交线和相贯线的一般方法。
（a） （b）
首先分析该立体是由哪些基本体所组成的。 再分析截平面与每个被截的基本体的相对位置、截交线的形状和投影特征。 然后逐个画出基本体的截交线，围成封闭的平面图形。
该组合体（ 拉杆接头 ）由同轴的圆柱、圆锥和圆球三部分构成。头部被正平面P前、后 对称地各切去一块，在前、后表面上各产生一条封闭的平面曲线
从俯视图中可以看出，截平面P和圆柱不相交，P平面和圆球的截交线是圆，P平面和圆锥的截交线为双曲线。由于截平面为正平面，所以截交线的 V 面投影反映其实形，H面、W面投影积聚成直线段。
作图：（如下图所示）找到圆球与圆锥的分界线， 然后分别求出这两段截交线，两段截交线的结合点必在分界线上，然后找到双曲线的特殊点（顶点）并利用双曲线的相关知识去解决一系列问题。
3结论
给出的截交线、相贯线数学模型的构建过程，为处理同类问题，提供了一种有效的思维方法；为机械专业类学生在数控车床、数控焊接机器人的操作应用上，提供了必要的知识贮备，提升了实际操作能力；为实施课程改革，构建现代化职教课程体系，增添了活力。
关键词：截交线 相贯线 方程 教学改革
中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-00
1问题提出
在职业学校现行机械制图教材中，关于截交线与相贯线内容的教学，是基于传统的机械加工方法：放样制作、划线、手工切割等组织教学的。在生产实践中，由于受这种手工作图与手工操作局限性的限制，在质量、效率上都难于达到高水准。随着科技的发展，企业转型升级的需要，机械自动化程度的不断提高，这种传统的方法为数控技术、甚至机器人替代。因此，职校教学要适应社会的需求，必须对这一呈现滞后性的教学内容实施改革。
2解决方案
在机械制图课程中，增加有关截交线与相贯线的数学模型构建的介绍；掌握数控编程中所需的有关轨迹方程的求解；并选取适当的应用实例给学生实习。
2.1圆柱体正截面交线及其展开线的方程
首先，给出圆柱体正截交线是椭圆的理论证明，让学生从理性上加深截交线是椭圆的认识，并掌握圆柱圆半径r、截面与圆柱底面倾斜角α、椭圆长半轴a、短半轴b等元素间的关系，利于实际相关问题的计算与处理等。
圆柱体正截交线是椭圆的证明。如图1，设圆柱体底面半径为r。在圆柱体斜截面上方放置一个半径为r，与圆柱体内壁和斜截面都相切的球，它与斜截面产生了一个切点F1；在圆柱体斜截面下方也放一个半径为r，与圆柱体内壁和斜截面都相切的球，它与斜截面产生了另一个切点F2。由于球外一点到球的各方向切线都相等，因此，斜截面边界上的所有点P到斜截面上的两个切点距离和PF1+PF2总是等于这个点到上下两圆与圆柱体内壁相切处的距离和PM+PN=O1O2=定值（即上下两圆的圆心距离），也就是说，据椭圆定义：一个支点到两个定点的距离的和是定值，则这个动点的轨迹是椭圆，所以，这个斜截面是以两切点为焦点的椭圆。
探索截面椭圆、倾角、底圆半径等元素间的关系。如图2，设截面椭圆与圆柱底平面的交角为α，则椭圆短轴2b=2r为定值，椭圆长轴2a方向与交角方向一致，a、b、r、α等之间的关系为b=r=aCosα。于是，在正截面上的椭圆方程为 。借助上述关系，可知O’A在侧面的射影等于O’C=AC·tgα。得到截面左视图随倾角α变化的变化规律：α=45°，截面左视图是圆；α>45°，截面左视图是长轴为O’A射影的椭圆；反之亦然。
圆柱体正截交线平面展开图形轨迹的探求。关键是要掌握其椭圆在空间的轨迹方程
如图3，设圆柱体半径为R；斜截面与柱体底平面（垂直于中心轴的截面）夹角为α；斜面中心到底平面距离为h。根据对称性，设定展开时沿FG剪开铺平，若以A为坐标原点，AE为y轴，那么圆周就是展开图的x轴。截面圆周上动点M，在展开图上横坐标就是AP“弧”（有正负）， 纵坐标就是高PM。以AP“弧”（有向）的圆心角θ（-π≤θ≤π）为参数，则 x=Rθ， y=PM=CD=ON =OO‘-NO’=h-DN*tanα=h-OC*tanα=h-Rcosθtanα。消去参数θ，得到 y=h-（Rtanα）cos（x/R），-πR≤x≤πR。
取h=3，R=2，α=30°，容易作出其平面展开图，如图3’
2.2两圆柱面相贯线及其展开曲线的方程
设柱体Ⅰ和Ⅱ的半径分别为R和r（R﹥r）两异面轴线成角θ，距离为e。建立如图所示的坐标系，yoz平面向前移动e，再逆时针转θ，则与y’o’z’平面重合；于是，根据旋转公式与平移公式有： （1） （2）
Ⅰ圆柱面在o-xyz中的方程为： （3）
Ⅱ圓柱面在o’-x’y’z’中的参数方程为： （4）
β=0～2π，是参数方程的参数。
将式（1）代入式（3）得： （5）
将式（4）代入式（5）整理得： （6）
则有两圆柱面相贯线在坐标系o’-x’y’z’中的参数方程为：
（7）
对柱体Ⅱ，从其在o’-x’y’平面母线处展开为平面，则两圆柱面相贯线在展开的新平面内的曲线方程的纵坐标f（x）=y’，横坐标x的值是半径r圆的圆心角β所对的圆弧长l，即x=l=rβ。
则有： （-- ）（8）
设R=3.5、r=1、θ=30°、e=1，则其展开曲线的平面图为图4’。
对于柱体I、II的情形，当轴线选取不同的坐标轴时，所得到的相贯线参数方程的形式略有不同，但结构的本质是一致的。
运用类似的方法，可得各类立体面的相贯线方程及其平面展开线方程。
2.3应用举例
在生产实际中经常会遇到一些截交和相贯的问题，拉杆接头上的截交线（如下图（a）所示）和三通上的相贯线（如下图（b）所示），因此必须研究求作截交线和相贯线的一般方法。
（a） （b）
首先分析该立体是由哪些基本体所组成的。 再分析截平面与每个被截的基本体的相对位置、截交线的形状和投影特征。 然后逐个画出基本体的截交线，围成封闭的平面图形。
该组合体（ 拉杆接头 ）由同轴的圆柱、圆锥和圆球三部分构成。头部被正平面P前、后 对称地各切去一块，在前、后表面上各产生一条封闭的平面曲线
从俯视图中可以看出，截平面P和圆柱不相交，P平面和圆球的截交线是圆，P平面和圆锥的截交线为双曲线。由于截平面为正平面，所以截交线的 V 面投影反映其实形，H面、W面投影积聚成直线段。
作图：（如下图所示）找到圆球与圆锥的分界线， 然后分别求出这两段截交线，两段截交线的结合点必在分界线上，然后找到双曲线的特殊点（顶点）并利用双曲线的相关知识去解决一系列问题。
3结论
给出的截交线、相贯线数学模型的构建过程，为处理同类问题，提供了一种有效的思维方法；为机械专业类学生在数控车床、数控焊接机器人的操作应用上，提供了必要的知识贮备，提升了实际操作能力；为实施课程改革，构建现代化职教课程体系，增添了活力。