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摘要：例题、习题的教学是整个教学活动的重要部分，在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此，要认真搞好课本例题、习题的剖析教学，对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值. 1. 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，培养学生思维的开阔性和灵活性. 2. 学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值. 3. 变换例题、习题的条件或结论，做一题多变，多题归一，培养学生思维的严密性. 4. 一题多问，挖掘例题、习题的广度和深度，培养学生思维的深刻性. 5. 认真挖掘教材中例题、习题中隐含的德育素材，充分发挥其德育功能.
关键词：回归课本；依“纲”固“本”；剖析教学；多角度挖掘；一题多变；丰富解题策略；扩展思维空间
例题会有解题最规范的解答过程，它和习题一起控制了教材的深度和知识辐射范围. 课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的典范. 正是这些典范的作用，学生才初步学会了怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程. 例题、习题的教学是整个教学活动的重要部分，在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此，要认真搞好课本例题、习题的剖析教学，对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值，这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平. 此外，对开发学生智力，培养学生良好的思维品质亦有好处.
我们应如何设计例题、习题的教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我认为首先应理解其深刻的用意：即在例习题所要求的数学知识或方法基础上，充分挖掘它的内涵和外延，并结合学生的实际情况，进行适当的改造或拓展，以满足高层次教学的需要，同时也表明数学教学应以课本为本.
1. 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，培养学生思维的开阔性和灵活性. 同一个题目从不同的角度去分析研究，可以得到不同的启迪，因而可用不同的解法，进而延伸解题的思维触角，也激发了学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和创新思维能力.
例1（北师大版 必修5?摇P80 例7）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由.
解析设原住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a 由于－=>0，
于是>. 又≥10%，
因此>≥10%.
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
这例说明了>（a，b，m>0，且a 证法2：（分析法）
由结论>变形得b（a+m）>a（b+m），推出b>a（已知）.
证法3：（综合法）
已知b>0，m>0，所以bm>am，又a，b>0，
所以ab+bm>ab+am，即b（a+m）>a（b+m），即>.
证法4：（数形结合法）
设O（0，0），A（b，a），B（b+m，a+m），a，b，m都是正数，并且akOA，即>.
证法5：（构造函数法）
因为a 因为m>0，所以f（m）>f（0）. 即>，故>.
证法6：（解不等式法）
由0?圳>0?圳x（x+b）>0，其解为（-∞，－b）∪（0，+∞）?勐R+，而m∈R+，所以原不等式成立.
我们通过课本的一个典型例题多角度的分析来解决问题，扩展思维空间，丰富解题策略，真正做到游刃有余.
2. 学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值. 像教材上的例7的结论>（a，b，m>0，且a 例2设b克糖水溶液中含a克糖（未饱和），如果再增加m克糖，则糖水变得更甜了，你能用数学方法加以证明吗？（提示：糖水浓度越大越甜）
解析b克糖水溶液中含a克糖（未饱和），其浓缩为，如果再增加m克糖，则浓度为，易知>；这也是用化学意义来证明或记忆不等式的又一妙法.
此时，再引导学生一起思考交流P81的第1、2题，学生的兴趣就会得到大大地激发，可以受到良好的教学效果.
例3 （北师大版 必修1?摇P56?摇复习题二 B组第5题）
设f（ｘ）=，求证：
（1）f（－ｘ）＝（x≠±1）；
（2）f=－f（ｘ）（x≠－1，x≠0）.
编者出此题的用意不仅仅是证明这两个简单的结论，更重要的是要能挖掘出其结论的利用价值.
应用练习1设f（ｘ）=，求：
（1）f（2）•ｆ（3）•…•ｆ（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）的值；
（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）＋…＋ｆ（2008）＋ ｆ＋ｆ＋…＋ｆ的值.
解析由例3的结论易知f（－ｘ）•ｆ（ｘ）=1 （x≠±1）；
f+f（ｘ）=0（x≠－1，x≠0）.
（1）f（2）•f（3）•…•f（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）
=［f（2）•f（－2）］•［f（3）•f（－3）］•…•［f（2008）•ｆ（－2008）］
=1.
（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2008）+f＋ｆ＋…＋ｆ
=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2008）+f
=f（1）+0
=0.
变式练习2设f（ｘ）=，计算f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ的值.
解析受例3的结论启发，易证f+ f（ｘ）=1 （x≠0）.
所以f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ
=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2009）+f
=f（1）+2008
=2008.
通过本例的研究可以让学生理解课本的例题习题结论的重要应用价值，让学生做题时要善于思考，不能就题论题.
3. 变换例题、习题的条件或结论，做一题多变，多题归一，培养学生思维的严密性. 有些例题的问题背景、解决的方法有类似之处，甚至有些题目就是同一题设条件，只是求证的结论的表现形式不同而已，因此进行多题一讲是很必要的. 它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处，也无非就是那几个小结论，只要将它的内涵与外延挖掘彻底，灵活运用就可以了，从而使学生学习数学更有信心，不至于被大量的习题弄得无所适从.
例4（北师大版 必修1?摇P47?摇习题2-4 A组第6题）
求二次函数y=－2x2+6x在下列定义域上的值域：
（1）?摇定义域为｛x∈Z0≤x≤3｝；（2）定义域为［－2，1］
本题主要考查函数定义域的变化，引起值域相应变化的内容，课本只列出了两种情况，在教学中还应当引导学生继续思考以下定义域上的函数值域问题：（3）定义域为［0，3］； （4）定义域为［－2，0］；（5）定义域为［2，5］；（6）定义域为（－2，1）；（7）定义域为［ａ，ａ＋1］；（8）定义域为（ａ，ａ＋1）.
通过这一高密度的对比题组训练，让学生清楚求二次函数在某区间上的值域时要借助函数在此区间上的单调性求其最值，因此要考虑二次函数的对称轴与区间的三种位置关系，同时注意区间的开闭.
这种一题多变的训练方式对学生难以掌握的重要问题，可以收到很好的教学效果. 像函数的定义，映射个数，求二次函数在某区间上的最值，有限制条件的排队问题等都可以采用这种训练模式.
4. ?摇一题多问，挖掘例题、习题的广度和深度，培养学生思维的深刻性.
例5 （北师大版 必修1?摇P30?摇例4）某质点在30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图2. 用解析法表示这个函数，并求出9 s时质点的速度.
解析速度是时间的函数，且在不同的区间上对应不同的解析式，因此速度是时间的分段函数，解析式为
v(t)=t+10，0≤t<5，3t，5≤t<10，30，10≤t<20，－3t+90，20≤t≤30.
由上式可得，t=9 s时，质点的速度是
v（9）=3×9=27（ｃｍ／ｓ）.
本题既是两种函数表示法的相互转化，又是分段函数的初步应用，教学时还应设计如下问题，避免补充重复性的例题，提高课堂教学的效率.
（1）求质点在t=19 s、20 s、0.2 s时的速度；
（2）求v（ｖ（9））的值；
（3）当v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）时，对应的时间t是多少？
问题（1）增加了问题的广度，问题（2）（3）增加了问题的深度. （1）（2）解法略，
（3）解法1：（分段函数分段解）
①当0≤t<5时，
v（ｔ）=t+10=27，解得t=17（舍）.
②当5≤t<10时，
v（ｔ）=3t=27，解得t=9.
③当10≤t<20时，
v（ｔ）=30≠27，无解.
④当20≤t≤30时，
v（ｔ）=－3t+90=27，解得t=21.
综上可知t=9或21.
解法2：（数形结合）由v与t图象可知只有5≤t<10和20≤t≤30时，v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）才可能成立，故v（ｔ）=－3t+90=27或v（ｔ）=3t=27，解得t=9或21.
5. 认真挖掘教材中例题、习题中隐含的德育素材，充分发挥其德育功能. 现行数学教材中有许多关于古代文明、现代环保、民生改善等隐含丰富德育素材的例习题，我们应深入挖掘其中的精神品质素养教育的因素，促进学生的全面发展. 例如：（北师大版必修1）函数第一节“生活中的变量”的例1：我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速. 自1988年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，自1998年位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位（图表略）. 通过这些例不仅使学生了解两个变量之间的函数关系，更重要的是让学生感到改革开放以来，中国的基础建设、科学技术的飞速发展，人民的生活水平日益提高，使他们对党和“全面建设小康社会”的实现充满信心，同时，又使学生感到我国工农业、国防和科研部门对数学的迫切需要，从而激发他们学好数学、成才后要为祖国的社会主义建设事业多作贡献的愿望.
还如：（北师大版必修3?摇P78 例4）“韩信点兵问题”，对本题的讲解不能仅仅停留在算法层面，还要借此机会向学生介绍我国古代数学就表现出强烈的算法精神，如《孙子算经》中“物不知其数”问题：“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”程大位则在《算法统宗》中用一首诗给出的绝妙算法：“三人同行古来稀，五树梅花廿一枝. 七子团圆正月半，除百零五便得知. ”通过对本例的挖掘使学生了解我国在数学领域对世界科学发展作出的巨大贡献，来展示我国数学的伟大成就，激发学生的民族自信心和自豪感.
课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识应达到的能力要求. 我们不仅要紧扣课本，认识到认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用. 指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广，发挥其应有作用，这与高考命题的“源于课本，高于课本”的理念是相吻合的.
如果把整个教学过程比作一个完美的圆，我们应当将圆上的每一点都作为放飞学生思维的切点.
关键词：回归课本；依“纲”固“本”；剖析教学；多角度挖掘；一题多变；丰富解题策略；扩展思维空间
例题会有解题最规范的解答过程，它和习题一起控制了教材的深度和知识辐射范围. 课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的典范. 正是这些典范的作用，学生才初步学会了怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程. 例题、习题的教学是整个教学活动的重要部分，在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此，要认真搞好课本例题、习题的剖析教学，对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值，这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平. 此外，对开发学生智力，培养学生良好的思维品质亦有好处.
我们应如何设计例题、习题的教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我认为首先应理解其深刻的用意：即在例习题所要求的数学知识或方法基础上，充分挖掘它的内涵和外延，并结合学生的实际情况，进行适当的改造或拓展，以满足高层次教学的需要，同时也表明数学教学应以课本为本.
1. 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，培养学生思维的开阔性和灵活性. 同一个题目从不同的角度去分析研究，可以得到不同的启迪，因而可用不同的解法，进而延伸解题的思维触角，也激发了学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和创新思维能力.
例1（北师大版 必修5?摇P80 例7）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由.
解析设原住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a
于是>. 又≥10%，
因此>≥10%.
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
这例说明了>（a，b，m>0，且a
由结论>变形得b（a+m）>a（b+m），推出b>a（已知）.
证法3：（综合法）
已知b>0，m>0，所以bm>am，又a，b>0，
所以ab+bm>ab+am，即b（a+m）>a（b+m），即>.
证法4：（数形结合法）
设O（0，0），A（b，a），B（b+m，a+m），a，b，m都是正数，并且a
证法5：（构造函数法）
因为a
证法6：（解不等式法）
由0
我们通过课本的一个典型例题多角度的分析来解决问题，扩展思维空间，丰富解题策略，真正做到游刃有余.
2. 学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值. 像教材上的例7的结论>（a，b，m>0，且a
解析b克糖水溶液中含a克糖（未饱和），其浓缩为，如果再增加m克糖，则浓度为，易知>；这也是用化学意义来证明或记忆不等式的又一妙法.
此时，再引导学生一起思考交流P81的第1、2题，学生的兴趣就会得到大大地激发，可以受到良好的教学效果.
例3 （北师大版 必修1?摇P56?摇复习题二 B组第5题）
设f（ｘ）=，求证：
（1）f（－ｘ）＝（x≠±1）；
（2）f=－f（ｘ）（x≠－1，x≠0）.
编者出此题的用意不仅仅是证明这两个简单的结论，更重要的是要能挖掘出其结论的利用价值.
应用练习1设f（ｘ）=，求：
（1）f（2）•ｆ（3）•…•ｆ（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）的值；
（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）＋…＋ｆ（2008）＋ ｆ＋ｆ＋…＋ｆ的值.
解析由例3的结论易知f（－ｘ）•ｆ（ｘ）=1 （x≠±1）；
f+f（ｘ）=0（x≠－1，x≠0）.
（1）f（2）•f（3）•…•f（2008）•ｆ（－2）•ｆ（－3）•…•ｆ（－2008）
=［f（2）•f（－2）］•［f（3）•f（－3）］•…•［f（2008）•ｆ（－2008）］
=1.
（2）f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2008）+f＋ｆ＋…＋ｆ
=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2008）+f
=f（1）+0
=0.
变式练习2设f（ｘ）=，计算f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ的值.
解析受例3的结论启发，易证f+ f（ｘ）=1 （x≠0）.
所以f（1）＋ｆ（2）＋ｆ（3）+…+f（2009）+ f＋ｆ＋…＋ｆ
=f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2009）+f
=f（1）+2008
=2008.
通过本例的研究可以让学生理解课本的例题习题结论的重要应用价值，让学生做题时要善于思考，不能就题论题.
3. 变换例题、习题的条件或结论，做一题多变，多题归一，培养学生思维的严密性. 有些例题的问题背景、解决的方法有类似之处，甚至有些题目就是同一题设条件，只是求证的结论的表现形式不同而已，因此进行多题一讲是很必要的. 它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处，也无非就是那几个小结论，只要将它的内涵与外延挖掘彻底，灵活运用就可以了，从而使学生学习数学更有信心，不至于被大量的习题弄得无所适从.
例4（北师大版 必修1?摇P47?摇习题2-4 A组第6题）
求二次函数y=－2x2+6x在下列定义域上的值域：
（1）?摇定义域为｛x∈Z0≤x≤3｝；（2）定义域为［－2，1］
本题主要考查函数定义域的变化，引起值域相应变化的内容，课本只列出了两种情况，在教学中还应当引导学生继续思考以下定义域上的函数值域问题：（3）定义域为［0，3］； （4）定义域为［－2，0］；（5）定义域为［2，5］；（6）定义域为（－2，1）；（7）定义域为［ａ，ａ＋1］；（8）定义域为（ａ，ａ＋1）.
通过这一高密度的对比题组训练，让学生清楚求二次函数在某区间上的值域时要借助函数在此区间上的单调性求其最值，因此要考虑二次函数的对称轴与区间的三种位置关系，同时注意区间的开闭.
这种一题多变的训练方式对学生难以掌握的重要问题，可以收到很好的教学效果. 像函数的定义，映射个数，求二次函数在某区间上的最值，有限制条件的排队问题等都可以采用这种训练模式.
4. ?摇一题多问，挖掘例题、习题的广度和深度，培养学生思维的深刻性.
例5 （北师大版 必修1?摇P30?摇例4）某质点在30 s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图2. 用解析法表示这个函数，并求出9 s时质点的速度.
解析速度是时间的函数，且在不同的区间上对应不同的解析式，因此速度是时间的分段函数，解析式为
v(t)=t+10，0≤t<5，3t，5≤t<10，30，10≤t<20，－3t+90，20≤t≤30.
由上式可得，t=9 s时，质点的速度是
v（9）=3×9=27（ｃｍ／ｓ）.
本题既是两种函数表示法的相互转化，又是分段函数的初步应用，教学时还应设计如下问题，避免补充重复性的例题，提高课堂教学的效率.
（1）求质点在t=19 s、20 s、0.2 s时的速度；
（2）求v（ｖ（9））的值；
（3）当v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）时，对应的时间t是多少？
问题（1）增加了问题的广度，问题（2）（3）增加了问题的深度. （1）（2）解法略，
（3）解法1：（分段函数分段解）
①当0≤t<5时，
v（ｔ）=t+10=27，解得t=17（舍）.
②当5≤t<10时，
v（ｔ）=3t=27，解得t=9.
③当10≤t<20时，
v（ｔ）=30≠27，无解.
④当20≤t≤30时，
v（ｔ）=－3t+90=27，解得t=21.
综上可知t=9或21.
解法2：（数形结合）由v与t图象可知只有5≤t<10和20≤t≤30时，v（ｔ）=27（ｃｍ／ｓ）才可能成立，故v（ｔ）=－3t+90=27或v（ｔ）=3t=27，解得t=9或21.
5. 认真挖掘教材中例题、习题中隐含的德育素材，充分发挥其德育功能. 现行数学教材中有许多关于古代文明、现代环保、民生改善等隐含丰富德育素材的例习题，我们应深入挖掘其中的精神品质素养教育的因素，促进学生的全面发展. 例如：（北师大版必修1）函数第一节“生活中的变量”的例1：我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速. 自1988年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，自1998年位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位（图表略）. 通过这些例不仅使学生了解两个变量之间的函数关系，更重要的是让学生感到改革开放以来，中国的基础建设、科学技术的飞速发展，人民的生活水平日益提高，使他们对党和“全面建设小康社会”的实现充满信心，同时，又使学生感到我国工农业、国防和科研部门对数学的迫切需要，从而激发他们学好数学、成才后要为祖国的社会主义建设事业多作贡献的愿望.
还如：（北师大版必修3?摇P78 例4）“韩信点兵问题”，对本题的讲解不能仅仅停留在算法层面，还要借此机会向学生介绍我国古代数学就表现出强烈的算法精神，如《孙子算经》中“物不知其数”问题：“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”程大位则在《算法统宗》中用一首诗给出的绝妙算法：“三人同行古来稀，五树梅花廿一枝. 七子团圆正月半，除百零五便得知. ”通过对本例的挖掘使学生了解我国在数学领域对世界科学发展作出的巨大贡献，来展示我国数学的伟大成就，激发学生的民族自信心和自豪感.
课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识应达到的能力要求. 我们不仅要紧扣课本，认识到认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用. 指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广，发挥其应有作用，这与高考命题的“源于课本，高于课本”的理念是相吻合的.
如果把整个教学过程比作一个完美的圆，我们应当将圆上的每一点都作为放飞学生思维的切点.