一、要点梳理
　　要点一：一元二次方程根的判别式。
　　一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的判别式：
　　（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;
　　（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;
　　（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。
　　要点诠释：
　　利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式;②确定a，b，c的值;③计算b2-4ac的值;④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况。
　　要点二：一元二次方程根的判别式的逆用。
　　在一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）中：
　　（1）方程有两个不相等的实数根?b2-4ac>0;
　　（2）方程有两个相等的实数根?b2-4ac=0;
　　（3）方程没有实数根?b2-4ac<0。
　　要点诠释：
　　（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件;
　　（2）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0。
　　二、典型例题
　　一元二次方程根的判别式的应用。
　　例1 已知关于x的一元二次方程x2 （2k 1）x k2 1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
　　【思路点拨】已知方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac>0，得到关于k的不等式，从而求得k的范围。
　　【解析】a=1，b=2k 1，c=k2 1。
　　b2-4ac=（2k 1）2-4（k2 1）=4k-3。
　　∵关于x的一元二次方程x2 （2k 1）x k2 1=0有两个不相等的实数根，
　　∴4k-3>0。
　　∴k>[34]。
　　【总结升华】我们应熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系，同时要注意书写格式。
　　拓展 已知關于x的一元二次方程x2 （m 2）x-m2 m 1=0。
　　（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根;
　　（2）当方程有两个相等的实数根时，求m的值及方程的根。
　　【解析】（1）证明：∵a=1，b=m 2，c=
　　-m2 m 1，
　　∴b2-4ac=（m 2）2-4（-m2 m 1）=5m2≥0。
　　∴不论m为何值，该方程总有实数根。
　　（2）解：∵方程两个实数根相等，
　　∴b2-4ac=0。
　　即5m2=0，m=0。
　　当m=0时，原方程为x2 2x 1=0。
　　解得：x1=x2=-1。
　　例2 已知关于x的方程mx2-（m 2）x 2=0。
　　求证：不论m为何值，该方程总有实数根。
　　【思路点拨】我们应注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根，因此二次项系数可以为0，也可以不为0。
　　【解析】①当m=0时，原方程为一次方程，此时x=1，
　　∴当m=0时，方程有实数根;
　　②当m≠0时，b2-4ac=[-（m 2）]2-4×m×2=（m-2）2，
　　∵（m-2）2≥0，
　　∴方程有实数根。
　　综上所述，无论m为何值，该方程总有实数根。
　　【总结升华】（1）应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，应注意系数不为0;
　　（2）应用判别式应将方程化为一般形式;
　　（3）注意有实根和有两个实根的区别。
　　拓展 已知关于x的方程kx2-（k 2）x 2=0。若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由。
　　【解析】①当k=0时，-2x 2=0，x=1。
　　②当k≠0时，b2-4ac=[-（k 2）]2-8k=（k-2）2。
　　∴当k=0时，方程有一个实数根;
　　当k=2时，（k-2）2=0，方程有两个相等的实数根;
　　当k≠2且k≠0时，（k-2）2>0，方程有两个不相等的实数根。
　　（作者单位：江苏省南京市钟英中学）