摘要:在近几年的高考中,数列逐渐淡出了解答题的范畴,更多是以选择填空的形式出现。在《普通高中数学课程标准》和《考试说明》中都明确指出:“能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。”由此可见,对数列性质的灵活应用将会是高考题的重点方向,在此,笔者以一个等差数列的性质为例来说明数列性质在高考中的应用。
　　关键词:高考;等差数列;考查
　　
　　在等差数列{an}中,有性质:若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq成立,应用这个性质,可以简化运算,节省时间。
　　例1:设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S6=36,Sn=324若Sn-6=144,(n>6)求项数n。
　　解析:此题的一个常规的想法是列方程求出项数n,可以根据已知条件列出关于a1,d,n的方程求解,思路很自然,但解的过程很复杂。而应用上面的性质就可以很簡单:
　　因为S6=a1+a2+…+a6=36
　　?摇Sn-Sn-6=an+an-1+…+an-5=180
　　所以S6+(Sn-Sn-6)=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216
　　所以a1+an=36,再利用公式Sn=■=■=324就可以解出n=18。
　　在等差数列前n项和中,这个性质可以推广:因为?摇Sn=■=■=…
　　所以,当n为奇数时,前n项的中间项,记为a中即a
　　有a1+an=2a中
　　所以Sn=na中,在解题中应用也很广泛。
　　例2:(08全国)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则■=
　　解析:由于a5是前9项的中间项,?摇a3是前5项的中间项,由上面给出的性质很容易得到S9=9a5,S5=5a3,所以很快就可以算出■=9
　　另外,经常出现的应用还有:等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,已知■=■,求?摇■= ?摇
　　此题可与上题用相同的解法,即■=■=■=■=■。
　　另外有一类与求前n和的最值有关的问题是很多学生感到头痛的问题,但是用上这个性质,问题就变得简单多了。
　　例3:已知a2006与a2007是首项为正数的等差数列{an}相邻的两项,且函数y=(x-a2006)(x-a2007)的图像如图所示,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()
　　A.4011B.4012C.4013D.4014
　　解析:本题的常规思路是可以写出Sn关于n的二次函数。
　　再解关于n的不等式,但由已知条件得到的a1与d是一个不等式关系,所以有些学生解题的过程就容易出现错误,导致题算错或浪费时间。用上面所给的性质,就可以把题变得很简单了。
　　由图像及已知可知a2006>0,a2007<0,且a2006+a2007<0,则有S4011=4011a2006>0(因为前4011项的中间项是a2006)
　　S4012=■<0(因为a1+a4011=a2006+a2007)
　　即从4012项起有Sn<0,故本题选A。
　　本题还经常出现另一种变式:在首项为正数的等差数列{an}中,Sn是其前n项和,若S4011>0,S4012<0,则使前n项和Sn最大的自然数n的值为()
　　A.2005B.2006C.2007D.2008
　　解析:因为数列的首项为正数,使Sn最大的n即为使?摇?摇an>0的最大n值,而S4011=4011a2006>0,所以a2006>0,
　　?摇S4011=■<0(,所以a2006+a2007<0,所以a2007<0,很明显,本题选B。
　　由以上几例,可以看出灵活掌握并应用数列的性质解决高中的数列小题是多么的关键。熟练地掌握和应用往往会起到“四两拨千斤”的效果。所以,笔者认为大家在教学中应多挖掘类似知识点,以提高学生的数学素养,为学生赢得高考提供强有力的支持。