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[摘 要] 数学概念的形成与数学规律的得出离不开直观，几何直观就是一种直觉思维的表现形式，是人们基于对几何的理解形成的对几何关系一种直接的认识. 在小学阶段的数学学习中，几何直观的培养应当高度重视. 本文试以“圆柱和圆锥”的教学，来谈谈小学阶段培养学生良好几何直观的想法与做法.
[关键词] 小学数学；几何直观；途径；探究
数学发展史告诉我们，数学概念的形成与数学规律的得出离不开直观. 为大家所知道的，现在的义务教育数学课程标准也特别强调几何直观的教学. 那么，什么是直观？什么是几何直观？几何直观又如何形成呢？根据目前已有的数学研究成果，目前比较一致的认识是，直观是在不经过逻辑推理的情况下，根据人心中对事物（本文特指数学对象）的本质的一种直接判断，以求得对事物现象和本质的一种认识. 著名数学家克莱因认为，数学直观就是对数学概念和证明的直接把握. 而我们认为，几何直观就是一种直觉思维的表现形式，是人们基于对几何的理解形成的对几何关系一种直接的认识. 至于几何直观有什么作用，著名数学教育家弗莱登塔尔曾说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦. ”因此，从小学开始就加强几何直观的教学也是有必要的.
在学生的数学学习过程中，几何直观的作用往往体现在高中阶段的学习上，但在小学阶段的数学学习中，几何直观的培养也应当高度重视. 本文试以“圆柱和圆锥”的教学来谈谈小学阶段培养学生良好几何直观的想法与做法.
基于几何直观视角的教学内容分析
“圆柱和圆锥”是江苏教育出版社编写的课标版小学数学教材六年级下册的教学内容. 对此内容，一般情况下会确定这样一些教学目标：让学生在一定情境中理解圆柱和圆锥各部分的名称，知道圆柱和圆锥的基本特征；让学生在圆柱和圆锥的学习中理解其中的点、线、面、体关系；让学生在本知识学习的过程中，形成合作学习的态度与能力，进一步感受数学学习的兴趣. 我们认为这三个目标的确定合乎常规教学要求，但在几何直观视角下来看这些教学目标，我们认为有所不足，还必须加上重视几何直观的字样.
我们先来分析教材：本节知识的教材设计延续了苏教版教材的特色，依然是从一个例子作为引入，在提供了锥形屋顶房子、人造卫星等一系列物体的前提下，提出一系列的问题：上面哪些物体是圆柱体？你还能举出其他的例子吗？然后通过插图提出的问题：“仔细观察圆柱，你发现了什么”，以让学生发现圆柱的特征. 我们细细地分析这一问题，似乎可以发现其中一个逻辑矛盾：教材先让学生去判断哪些形状是圆柱，然后让学生去发现圆柱的特征. 从一般逻辑上来看，如果不熟悉、不理解圆柱的特征，将难以判断是不是圆柱. 但这种矛盾是不是真的矛盾呢？如果考虑到学生的生活经验，我们发现这种矛盾其实并不是矛盾，而与几何直观有着密切的关系.
为什么教材先让学生判断哪些是圆柱呢？在笔者看来，那是因为绝大多数学生在生活经验中已经有过接触圆柱概念的机会，小至铅笔，再至某些玻璃杯或水桶等，都是圆柱. 在生活中他们即使不知道圆柱有什么样的特征，但也知道圆柱是一种什么样的物体. 也就是说，学生的生活经验可以让学生在思维中形成关于圆柱特征的内隐性知识，这些内隐性知识在日常的学习中没有运用的机会，自然也就没有表达的机会，因此可谓是一种“已经意会但未能言传”的知识. 但这并不妨碍学生运用这些内隐性知识去判断什么样的物体是圆柱形.
这种内隐性知识我们认为就是几何直观的一种基础，只是这种基础仅仅基于生活的浅层经验，还需要经过严格的几何知识的学习，才能升格成为更好的几何直观. 从这段论述来看，我们可以发现，教材所设计的问题顺序是符合几何直观教学需要的.
更重要的是，我们继续研读教材就会发现，教材下面的设计非常符合几何直观教学的需要：如三幅图中所提出的“圆柱上下是一样粗的”“圆柱上下两个面是完全相同的圆形”“圆柱有一个面是弯曲的”. 这三句话在实际教学中应当怎样用呢？同理，在圆锥知识的学习中，“圆锥有一个顶点”“圆锥的底面是一个圆形”“圆锥的侧面是一个曲面”等，又该怎样实施教学，才能培养学生的几何直观呢？这是一个重大的问题.
基于几何直观视角的教学实践思考
在本节知识的教学中，笔者重点对上面提出的问题进行了教学实践. 先以“圆柱的特征”教学实践为例进行分析.
上文已经提过，圆柱的三个特征如何被学生有效地习得，并且能生成良好的几何直观呢？笔者以为，此处要慎重地用好教材.
首先，尽量不要在本知识学习的过程中让学生看到这幅图以及其中的三个结论（平常学生翻书看到没有太大的问题，只要不是预习性质的，他们就不会对图中的文字感兴趣），因为学生一旦知道结论，就会失去一个良好的探究机会. 在此基础上，基于几何直觉设计的探究式教学过程应当包括如下几个方面.
首先，让学生基于生活经验去判断哪些事物是圆柱体（可以幻灯片的方式呈现给学生，而不是让学生看书）；在学生举出生活中圆柱体例子的基础上，教师把握学生初步的几何直观水平，即对圆柱认识的水平.
其次，向学生提出问题：圆柱体有哪些特征？在这个过程中，教师必须思考一个问题，即何为特征？特征就是一类物体区别于其他物体的方面，这种区别需要在比较中发现. 这也是笔者在上面提出的不能直接让学生看出圆柱三个特征的原因，一旦学生发现了便没有进行区别的机会了. 因此，此处教师的教学应当是让学生充分地寻找、发现、比较圆柱与其他物体的不同. 具体教学中怎样实现这种区别的探究过程呢？通过上面提出的问题，学生会考虑其有什么特征，这可以让学生在对圆柱的观察中逐步发现，其中最容易发现的是两点：一是上下一样粗，二是上下为两个圆形（在与第一个发现结合以后，就会发现这两个圆是一样大的）. 在得到这个认识之后，教师要另外设计一个教学环节：如果上下不一样粗，那出现在我们面前的是一种什么物体？这个时候学生就会开动脑筋进行思考，能力较强的会在大脑中构建出一个比较好的圆台表象（尽管学生不知道这个物体叫圆台），显然，这个表象与圆柱不一样. 那有没有“上下一样粗”但上下两个面不都是圆形的情形呢？这显然是不太可能的. 这种不可能依然需要学生通过思维加工来完成. 必要的时候也可以通过新手实践去进行，比如让学生用纸板去构建这样的物体，而构建困难或构建出的结果与圆柱大相径庭便表明了上述两点确为圆柱的特征.
再次，探究圆柱的第三个特征. 根据我们的教学经验，“圆柱有一个面是弯曲的”这一特征表面上看很容易为学生所理解，因为圆柱除了上下两个面之外，就只有一个面了，从外形上看过去，其正是一个弯曲的面. 但这里如果深究，便会发现学生的理解可能会遇到另外一个问题：弯曲的面，学生能懂吗？因为当一个面弯曲着呈现在学生面前时，学生可能知道它是弯曲的面，但离开了这个物体，他们便很难判断出什么样的面叫弯曲的面. 因此，在学生初步理解了这一特征之后，我们可以用幻灯片向学生呈现多种弯曲的面的情形，也可以让学生把一个平面（白纸）改成曲面（弯曲变形），以丰富他们思维中弯曲的面的材料.
我们的教学实践表明，经过了这样的探究过程，学生会在获得对圆柱特征认识的同时，还会对这些特征的得出过程有所认识，从而从过程与结果两个层面加深学生对圆柱的认识. 同样的教学过程还出现在圆锥的特征认识过程中，因而学生对圆柱与圆锥的认识过程就经过了必要的重复. 我们认为，这可以帮学生形成良好的几何直观.
基于几何直观视角的教学细节漫谈
在本节知识的教学中，我们还设计了一些教学细节来帮助学生形成良好的几何直观，从后面的教学反馈来看，我们认为是有价值的. 比如在引入圆柱体时，即时生成这样一个教学细节：拿起一本薄薄的书，使其封面绕装订处旋转，让学生想象封面转动的三条边构建出的物体的形状. 这是一个需要学生想象的过程，这个过程虽然对于部分学生而言具有一定的困难，但他们可以在合作的过程中生成认识，当他们意识到生成的图形就是一个圆柱时，他们的几何直观能力无形当中也就增强了. 同理，笔者还即时想出利用胶带，使其一端固定于手中，另一端绕着固定点作一个圆锥运动，学生即能在思维中构建出圆锥的形象. 这样的过程同样增强了学生的几何直观.
有了这些细节，有了上面详细的教学设计，既达成了本节的知识与技能目标，同时又以几何直观作为教学主线，以让学生经历一个有意义的学习过程. 总的来说，培养几何直观的实现之道，在于教师带着这样的意识去设计教学，去实施教学. 如是，几何直观可能成为现实！
[关键词] 小学数学；几何直观；途径；探究
数学发展史告诉我们，数学概念的形成与数学规律的得出离不开直观. 为大家所知道的，现在的义务教育数学课程标准也特别强调几何直观的教学. 那么，什么是直观？什么是几何直观？几何直观又如何形成呢？根据目前已有的数学研究成果，目前比较一致的认识是，直观是在不经过逻辑推理的情况下，根据人心中对事物（本文特指数学对象）的本质的一种直接判断，以求得对事物现象和本质的一种认识. 著名数学家克莱因认为，数学直观就是对数学概念和证明的直接把握. 而我们认为，几何直观就是一种直觉思维的表现形式，是人们基于对几何的理解形成的对几何关系一种直接的认识. 至于几何直观有什么作用，著名数学教育家弗莱登塔尔曾说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦. ”因此，从小学开始就加强几何直观的教学也是有必要的.
在学生的数学学习过程中，几何直观的作用往往体现在高中阶段的学习上，但在小学阶段的数学学习中，几何直观的培养也应当高度重视. 本文试以“圆柱和圆锥”的教学来谈谈小学阶段培养学生良好几何直观的想法与做法.
基于几何直观视角的教学内容分析
“圆柱和圆锥”是江苏教育出版社编写的课标版小学数学教材六年级下册的教学内容. 对此内容，一般情况下会确定这样一些教学目标：让学生在一定情境中理解圆柱和圆锥各部分的名称，知道圆柱和圆锥的基本特征；让学生在圆柱和圆锥的学习中理解其中的点、线、面、体关系；让学生在本知识学习的过程中，形成合作学习的态度与能力，进一步感受数学学习的兴趣. 我们认为这三个目标的确定合乎常规教学要求，但在几何直观视角下来看这些教学目标，我们认为有所不足，还必须加上重视几何直观的字样.
我们先来分析教材：本节知识的教材设计延续了苏教版教材的特色，依然是从一个例子作为引入，在提供了锥形屋顶房子、人造卫星等一系列物体的前提下，提出一系列的问题：上面哪些物体是圆柱体？你还能举出其他的例子吗？然后通过插图提出的问题：“仔细观察圆柱，你发现了什么”，以让学生发现圆柱的特征. 我们细细地分析这一问题，似乎可以发现其中一个逻辑矛盾：教材先让学生去判断哪些形状是圆柱，然后让学生去发现圆柱的特征. 从一般逻辑上来看，如果不熟悉、不理解圆柱的特征，将难以判断是不是圆柱. 但这种矛盾是不是真的矛盾呢？如果考虑到学生的生活经验，我们发现这种矛盾其实并不是矛盾，而与几何直观有着密切的关系.
为什么教材先让学生判断哪些是圆柱呢？在笔者看来，那是因为绝大多数学生在生活经验中已经有过接触圆柱概念的机会，小至铅笔，再至某些玻璃杯或水桶等，都是圆柱. 在生活中他们即使不知道圆柱有什么样的特征，但也知道圆柱是一种什么样的物体. 也就是说，学生的生活经验可以让学生在思维中形成关于圆柱特征的内隐性知识，这些内隐性知识在日常的学习中没有运用的机会，自然也就没有表达的机会，因此可谓是一种“已经意会但未能言传”的知识. 但这并不妨碍学生运用这些内隐性知识去判断什么样的物体是圆柱形.
这种内隐性知识我们认为就是几何直观的一种基础，只是这种基础仅仅基于生活的浅层经验，还需要经过严格的几何知识的学习，才能升格成为更好的几何直观. 从这段论述来看，我们可以发现，教材所设计的问题顺序是符合几何直观教学需要的.
更重要的是，我们继续研读教材就会发现，教材下面的设计非常符合几何直观教学的需要：如三幅图中所提出的“圆柱上下是一样粗的”“圆柱上下两个面是完全相同的圆形”“圆柱有一个面是弯曲的”. 这三句话在实际教学中应当怎样用呢？同理，在圆锥知识的学习中，“圆锥有一个顶点”“圆锥的底面是一个圆形”“圆锥的侧面是一个曲面”等，又该怎样实施教学，才能培养学生的几何直观呢？这是一个重大的问题.
基于几何直观视角的教学实践思考
在本节知识的教学中，笔者重点对上面提出的问题进行了教学实践. 先以“圆柱的特征”教学实践为例进行分析.
上文已经提过，圆柱的三个特征如何被学生有效地习得，并且能生成良好的几何直观呢？笔者以为，此处要慎重地用好教材.
首先，尽量不要在本知识学习的过程中让学生看到这幅图以及其中的三个结论（平常学生翻书看到没有太大的问题，只要不是预习性质的，他们就不会对图中的文字感兴趣），因为学生一旦知道结论，就会失去一个良好的探究机会. 在此基础上，基于几何直觉设计的探究式教学过程应当包括如下几个方面.
首先，让学生基于生活经验去判断哪些事物是圆柱体（可以幻灯片的方式呈现给学生，而不是让学生看书）；在学生举出生活中圆柱体例子的基础上，教师把握学生初步的几何直观水平，即对圆柱认识的水平.
其次，向学生提出问题：圆柱体有哪些特征？在这个过程中，教师必须思考一个问题，即何为特征？特征就是一类物体区别于其他物体的方面，这种区别需要在比较中发现. 这也是笔者在上面提出的不能直接让学生看出圆柱三个特征的原因，一旦学生发现了便没有进行区别的机会了. 因此，此处教师的教学应当是让学生充分地寻找、发现、比较圆柱与其他物体的不同. 具体教学中怎样实现这种区别的探究过程呢？通过上面提出的问题，学生会考虑其有什么特征，这可以让学生在对圆柱的观察中逐步发现，其中最容易发现的是两点：一是上下一样粗，二是上下为两个圆形（在与第一个发现结合以后，就会发现这两个圆是一样大的）. 在得到这个认识之后，教师要另外设计一个教学环节：如果上下不一样粗，那出现在我们面前的是一种什么物体？这个时候学生就会开动脑筋进行思考，能力较强的会在大脑中构建出一个比较好的圆台表象（尽管学生不知道这个物体叫圆台），显然，这个表象与圆柱不一样. 那有没有“上下一样粗”但上下两个面不都是圆形的情形呢？这显然是不太可能的. 这种不可能依然需要学生通过思维加工来完成. 必要的时候也可以通过新手实践去进行，比如让学生用纸板去构建这样的物体，而构建困难或构建出的结果与圆柱大相径庭便表明了上述两点确为圆柱的特征.
再次，探究圆柱的第三个特征. 根据我们的教学经验，“圆柱有一个面是弯曲的”这一特征表面上看很容易为学生所理解，因为圆柱除了上下两个面之外，就只有一个面了，从外形上看过去，其正是一个弯曲的面. 但这里如果深究，便会发现学生的理解可能会遇到另外一个问题：弯曲的面，学生能懂吗？因为当一个面弯曲着呈现在学生面前时，学生可能知道它是弯曲的面，但离开了这个物体，他们便很难判断出什么样的面叫弯曲的面. 因此，在学生初步理解了这一特征之后，我们可以用幻灯片向学生呈现多种弯曲的面的情形，也可以让学生把一个平面（白纸）改成曲面（弯曲变形），以丰富他们思维中弯曲的面的材料.
我们的教学实践表明，经过了这样的探究过程，学生会在获得对圆柱特征认识的同时，还会对这些特征的得出过程有所认识，从而从过程与结果两个层面加深学生对圆柱的认识. 同样的教学过程还出现在圆锥的特征认识过程中，因而学生对圆柱与圆锥的认识过程就经过了必要的重复. 我们认为，这可以帮学生形成良好的几何直观.
基于几何直观视角的教学细节漫谈
在本节知识的教学中，我们还设计了一些教学细节来帮助学生形成良好的几何直观，从后面的教学反馈来看，我们认为是有价值的. 比如在引入圆柱体时，即时生成这样一个教学细节：拿起一本薄薄的书，使其封面绕装订处旋转，让学生想象封面转动的三条边构建出的物体的形状. 这是一个需要学生想象的过程，这个过程虽然对于部分学生而言具有一定的困难，但他们可以在合作的过程中生成认识，当他们意识到生成的图形就是一个圆柱时，他们的几何直观能力无形当中也就增强了. 同理，笔者还即时想出利用胶带，使其一端固定于手中，另一端绕着固定点作一个圆锥运动，学生即能在思维中构建出圆锥的形象. 这样的过程同样增强了学生的几何直观.
有了这些细节，有了上面详细的教学设计，既达成了本节的知识与技能目标，同时又以几何直观作为教学主线，以让学生经历一个有意义的学习过程. 总的来说，培养几何直观的实现之道，在于教师带着这样的意识去设计教学，去实施教学. 如是，几何直观可能成为现实！