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【教学目标】1.掌握求轨迹方程的三种基本方法.
2. 引导学生针对具体情况探究合适求轨迹方程的方法.
3． 培养学生的观察能力和自主学习的能力.
【教学重点】掌握求轨迹方程的三种基本方法
【教学难点】引导学生针对具体情况探究合适的方法
【教学过程】
一、 引入
师：前面我们学习了曲线与方程，那么如何来求曲线的方程，即寻找曲线上任意一点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y所满足的关系式呢？这就是我们今天要学习的内容：求轨迹方程.（引入简洁明了，迅速将学生的思维引入学习的主要内容.）
二、 讲授新课
师：我们先看这样一个例子（投影）：
例1已知动点P到A（-1，0），B（1，0）的距离之比为1∶2，求动点P的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
师：我们大家一起来分析一下这道题.要求动点P的轨迹方程，就是要求……
众生回答：求P的横坐标和纵坐标所满足的关系式.
师：对了！因此，如果大家遇到要求某个动点P的轨迹方程的问题时，第一步是将动点P设为P（x，y），接下来的我们的任务是探究x、y之间所满足的关系式.就本题而言，我们只要把题目转化成数学语言，根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.（板书）设动点P（x，y），由题意：PAPB=12，即（x+1）2+y2(x-1)2+y2=12
下面请大家把这个式子化简一下，并告诉我动点P的轨迹是什么曲线
生1：3x2+3y2+10x+3=0，是一个圆.
师：对，它是一个圆.圆是怎样定义的？
生2：到定点的距离等于定长的点的轨迹.
师：对，那么根据这道题，大家能不能归纳出新的定义圆的方法呢？（学生思考片刻）
生3：是不是“到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹”？
师：如何证明？
众生迷惑：怎么证明啊？坐标都没有啊……
师：对啊，那就自己建立坐标系.这边又有一个需要大家注意的地方，就是如何建立合适的直角坐标系求动点的轨迹方程.如果我们只是简单的设动点P（x，y），定点A（a，b），B（c，d），势必会导致运算繁杂，给求解造成很大困难.那么本题中，我们该如何来设两个定点的坐标呢？
生4：把它们放到x轴上，即A（a，0），B（b，0）.
师：能否更简单？
生5：那就让点A是原点好了.
师：很好！这样在运算时就又少一个字母了！
（板书）由题意，建议如图所示坐标系：设动点P（x，y），A（0，0），B（b，0），PAPB=λ（λ＞0），即x2+y2(x-b)2+y2=λ.
师：下面请大家把这个式子化简一下.
生6：（λ2-1）x2+（λ2-1）y2-2bλ2x+λ2b2=0.
师：是一个圆吗？
生6：当λ2≠1，即λ≠1时是的.λ=1时是一条直线.
师：怎样的一条直线?
生6：线段AB的中垂线.
台下同学不断点头，众生恍然大悟.
师：λ2≠1时也不一定是圆啊.我们在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中知道，需有D2+E2-4F＞0，我们来检查一下：D2+E2-4F=4b2λ2(λ2-1)＞0，确实是一个圆.因此，圆的定义可以是……
众生齐答：到两个定点的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹.
师：很好.同时，我们要注意建立合适的直角坐标系可以使运算简单.这样一种求动点P的轨迹的方法我们叫直接法.
（板书）直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.
（利用“由特殊到一般”的手法创设情境，激起学生的求知欲望.针对教学内容的特点，结合学生的实际，选择问题切入点，通过从具体到抽象，从感性到理性的认知活动，不仅加深对定义的理解，更有利于提高学生的发散性思维能力.）
师：下面大家来看这样一道例题（投影）：
例2已知动点P到点A（0，1）比到直线y=-2少1，求点P的轨迹.
生7：设动点P（x，y），则x2+(y-1)2=|y+2|-1.接下来化简比较麻烦……
师：你们可以自己画张草图，再想想如何化简比较简单.
（学生画草图）
生7：由题意，点P在直线y=-2上方，所以绝对值可以去掉.化简为：x2=4y.
师：请注意，要求的是点P的轨迹，“轨迹”是一个几何概念.
生7：x2=4y是轨迹方程，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.
师：对.大家要注意到,轨迹方程是一个代数概念，就是动点的横纵坐标所满足的关系式；而轨迹是一个几何概念，是指动点运动所形成的曲线类型.本题中，点P的轨迹是一条抛物线，轨迹方程为x2=4y.抛物线的定义是什么？
众生回答：到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.
师：那么大家能否从抛物线的定义入手，对本题进行解答？
生8：由题意，动点P到点A(0，1)与到直线y=-1相等，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.轨迹方程为x2=4y.
师：很好！在求轨迹的过程中，我们可以根据已知的曲线类型来归纳出动点生成的轨迹，这种求动点轨迹方程的方法叫做定义法.本题中，我们用定义法直接求出点P的轨迹方程及轨迹，避免了用直接法需运算及去绝对值的技巧.在高中阶段，我们涉及到的曲线定义有圆的定义，前面已经涉及；有椭圆、双曲线的第一定义；有圆锥曲线的统一定义等，大家在做题时要观察题设条件，注意能否运用定义法来求轨迹方程，往往可以避免运算和讨论.
（先让学生用已知的“直接法”来求轨迹方程，求解过程引导学生通过画草图，数形结合可以巧妙避免繁杂运算，体现了解析几何中数形结合思想的重要性.同时本题依旧引新，用学过的知识来探究新问题，激发学生学习的积极性，驱动学生思维的自觉性和主动性.同时在探究过程中，注重以学生为主体，教师适当引导，使问题层层深入，最终得到解决.）
下面我们来练习一道题目（投影）：
练习1：已知动圆M与G1∶x2+y2+4x=0外切，且与C2∶x2+y2-4x-60=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
师：这道题用直接法很难求，但是通过化简圆方程，我们发现，⊙C1和⊙C2的圆心正好是（-2，0）和（2，0），这让我们联想到什么？
生9：椭圆或双曲线的两个焦点.
师：对！很有可能是椭圆或双曲线，那么我们的目标就是MC1+MC2=定值或|MC1-MC2|=定值，如何来表示MC1和MC2？
生9：两圆外切，连心线等于半径之和；两圆内切，连心线等于半径之差.故MC1=r+2，MC2=8-r.
师：相加还是相减？
众生答：相加！
师：请生9把解题过程说一下，我来板演.
生9：⊙C1∶（x+2）2+y2=4；⊙C1∶（x-2）2+y2=64，设动圆M的半径为r，根据图形可知，MC1=r+2，MC2=8-r，故MC1+MC2=10，故点M的轨迹是以（±2，0）为焦点，长半轴长为5的椭圆，方程为：x225+y221=1.
师：若出现MC1-MC2=定值，轨迹是什么？
众生答：双曲线！
师：再想想，双曲线的定义是什么？是双曲线的两支吗？
生10：是双曲线的一支，因为MC1-MC2没有加绝对值.
师：很好，以后我们在解题中要注意思维严密性，不要粗心大意.但是一定是双曲线的一支吗？
众生：……
师：回想一下双曲线的完整定义！
生10：我知道了！双曲线的定义是到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于两点间距离）的点的轨迹，因此MC1-MC2=定值，若定值小于C1C2，则M点的轨迹是双曲线的一支，若定值等于C1C2，则M点的轨迹是一条射线，若定值大于C1C2，则M点的轨迹是空集.
师：很好，我们在用椭圆或双曲线的第一定义做题时，一定要注意定值和两点间距离的大小关系，注意定义的完整性，这体现我们思维的完备性.
（补充“若出现MC1-MC2=定值，求M点的轨迹”需要分三种情况讨论时十分必要的，此例考查基础知识，易为学生所接受，而且有利于防止学生在解题过程中思考的片面性，加强学生对概念的理解，提升学生思维的完备性.）
师：下面我们介绍求轨迹方程的第三种方法：相关点法.
（投影）
例3已知⊙C∶（x-1）2+y2=1，过原点O做圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
师：设弦OA的中点为P（x，y），我们发现，点P是随着点A在动，我们称点A是点P的相关点.而点A在已知曲线上，因此只要找到点p坐标P(x，y)和点A坐标A（x0，y0）之间的数量关系即可.哪位同学能告诉我它们之间所满足的关系式？（此处略作停顿，引导学生思考.）
生11：根据中点定义，有x=x02
y=y02.
师：x0，y0之间有什么关系？
生11：（x0-1）2+y20=1.
师：因此，x，y之间满足什么关系？
生11：由x=x02
y=y02，可得x0=2x
y0=2y，由于（x0-1）2+y20=1，故（2x-1）2+(2y)2=1.
师：这位同学求轨迹的方法就叫相关点法，即探求所求动点及其相关点的横纵坐标满足的关系式，然后代入该相关点满足的曲线方程，即得动点的轨迹方程.相关点架起了一座求动点轨迹的桥梁，我们也把这种方法称为“点参法”.归纳起来如下：（板书）
已知f(x0，y0)=0，而x0=f1（x，y）
y0=f2（x，y），故f［f1（x，y），f2（x,y）］=0.
（此处若采用讲述法进行教学，往往会陷入平铺直叙的状况，较难激起学生思考问题的积极性，不利于学生生动活泼的学习.在教师所创设的问题情境中，让学生成为探索的主体，引导学生自己找到所求点坐标与相关点坐标之间的关系，自己剖析问题，探索用“相关点法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.最后教师进行总结，有利于学生更好的掌握和消化新知识.）
师：既然有“点参法”，那也应该有“数参法”，这道题用“数参法”如何来解决？
众生迷惑.
师：如果我们设OA的斜率为k，联立直线和圆的方程，能否得到x，y分别用k来表示？大家试一试？
生12：设动弦OA的方程为y=kx，代入圆方程得：（x-1）2+（kx）2=1，即（1+k2）x2-2x=0，故x=x1+x22=11+k2，y=kx=k1+k2.
师：很好，其实大家已经得到了动点P（x，y）的参数方程：x=11+k2
y=k1+k2.要得到x，y之间的关系式.只需将k消掉.如何消去参数k？
生12：两式相除得k=yx，代入x=11+k2，化简即得（2x-1）2+(2y)2=1.
师：很好！下面我们也总结一下用“数参法”求轨迹方程的一般步骤.（板书）
设定参数k，探究出x=f1(k)
y=f2（k），消去k即可.
（和“点参法”教学一样，学生在教师的引导下自己层层剖析，探索用“数参法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.问题在浓厚的探究气氛中解决.）
师：以上我们用“点参法”和“数参法”分别求了弦OA的中点P的轨迹方程，它是一条什么曲线？
众生：圆！
师：请大家把它画出来.
师：点P的轨迹可以是整个圆吗？
生12：不行，要出去原点.因为弦的中点总是在圆内部.
师：因此刚刚得出的轨迹方程需做何修改？
生12：（2x-1）2+(2y)2=1（0＜x≤1）.
师：对！我们在求轨迹方程时需注意是否需要去除哪些不符合条件的点.实际上，本题还可以用定义法来解决.我们连接AB，PC，可得PC∥AB，∵ ∠A=90°，∴ ∠P=90°，∴ 点P的轨迹是什么？
众生回答：以OC为直径的圆！
师：对了！我们可以直接写出轨迹方程x-122+y2=14，在注意去除原点即可.这和前面的结果是一致的.
师：以上我讲了求轨迹方程的三种主要方法：直接法，定义法，参数法（点参法、数参法）.大家在遇到相关问题时，要善于抓住题设的特征，选择合适的方法来解决问题.方法的恰当选择，可以简化运算，达到事半功倍的效果.
（探索问题时，必须使学生能够从不同角度来考虑解决问题的途径，若只从单一角度，在同一个思维模式中展现其面貌就会造成思路固定、思域狭窄的毛病.因此在教学中利用一题多解来培养学生的多维性思维是非常重要的.）
课后反思：
1.本节课采用“探索法”设计教学.整节课“以学生为主体，教师为主导”，教师引导学生深入探究，得出求轨迹方程的三种基本方法.探索法以发展探究能力为目标，以学科的基本知识结构为内容，以知识结构为根据划分探索过程，把学生置于主体地位，在探索中建立自己特色的认知结构.教师在探索法教学中，要紧紧抓住“疑问”，把学生的思维引向深入.根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的联系来巧妙的存疑设问，激发学生情趣，促进思考.在探索中，教师要注重与学生的双边交流，力求把各种情景因素组织起来，达到最大限度发展思维的目的.本课的“疑问”环环相扣、步步深入，从而把用直接法、定义法、参数法等方法解决轨迹问题的思路逐步展开，使本节课的重点知识得到巩固.
2.例题的精选是本节课的一个亮点.例题的选取应做到“新”（新颖，以激发兴趣）；“广”（广思，以流通思维）；“诱”（诱错，可分析解剖）；“深”（深挖，可总结经验，加深理解）.本节课的例1，选题新颖，入手简单，但通过教师的推广挖掘，又总结出了一般规律，同时在求解过程中还需注意特殊情况做到了“新、广、诱、深”.例2及其练习起到了巩固已学知识和“诱错”的作用.例3和例4尝试用不同方法求解，不但让学生可以“趁热打铁”，练习刚学的方法，同时发散了学生的思维，加深了学生的理解，既“广”又“深”.这样，通过讨论分析，学生的思维积极活跃，教师的启发及时得法，时间不知不觉的流逝，数学的美感却长流心头，以致回味无穷.
3.本节课注重培养学生的能力.古人云，授之于鱼，不如授之于渔.本节课在数学教学中，着重分析范例，注重新旧知识的结合，不仅传授给学生求轨迹方程的方法，更重要的是通过诱导和剖析，引导学生正确思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
2. 引导学生针对具体情况探究合适求轨迹方程的方法.
3． 培养学生的观察能力和自主学习的能力.
【教学重点】掌握求轨迹方程的三种基本方法
【教学难点】引导学生针对具体情况探究合适的方法
【教学过程】
一、 引入
师：前面我们学习了曲线与方程，那么如何来求曲线的方程，即寻找曲线上任意一点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y所满足的关系式呢？这就是我们今天要学习的内容：求轨迹方程.（引入简洁明了，迅速将学生的思维引入学习的主要内容.）
二、 讲授新课
师：我们先看这样一个例子（投影）：
例1已知动点P到A（-1，0），B（1，0）的距离之比为1∶2，求动点P的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
师：我们大家一起来分析一下这道题.要求动点P的轨迹方程，就是要求……
众生回答：求P的横坐标和纵坐标所满足的关系式.
师：对了！因此，如果大家遇到要求某个动点P的轨迹方程的问题时，第一步是将动点P设为P（x，y），接下来的我们的任务是探究x、y之间所满足的关系式.就本题而言，我们只要把题目转化成数学语言，根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.（板书）设动点P（x，y），由题意：PAPB=12，即（x+1）2+y2(x-1)2+y2=12
下面请大家把这个式子化简一下，并告诉我动点P的轨迹是什么曲线
生1：3x2+3y2+10x+3=0，是一个圆.
师：对，它是一个圆.圆是怎样定义的？
生2：到定点的距离等于定长的点的轨迹.
师：对，那么根据这道题，大家能不能归纳出新的定义圆的方法呢？（学生思考片刻）
生3：是不是“到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹”？
师：如何证明？
众生迷惑：怎么证明啊？坐标都没有啊……
师：对啊，那就自己建立坐标系.这边又有一个需要大家注意的地方，就是如何建立合适的直角坐标系求动点的轨迹方程.如果我们只是简单的设动点P（x，y），定点A（a，b），B（c，d），势必会导致运算繁杂，给求解造成很大困难.那么本题中，我们该如何来设两个定点的坐标呢？
生4：把它们放到x轴上，即A（a，0），B（b，0）.
师：能否更简单？
生5：那就让点A是原点好了.
师：很好！这样在运算时就又少一个字母了！
（板书）由题意，建议如图所示坐标系：设动点P（x，y），A（0，0），B（b，0），PAPB=λ（λ＞0），即x2+y2(x-b)2+y2=λ.
师：下面请大家把这个式子化简一下.
生6：（λ2-1）x2+（λ2-1）y2-2bλ2x+λ2b2=0.
师：是一个圆吗？
生6：当λ2≠1，即λ≠1时是的.λ=1时是一条直线.
师：怎样的一条直线?
生6：线段AB的中垂线.
台下同学不断点头，众生恍然大悟.
师：λ2≠1时也不一定是圆啊.我们在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中知道，需有D2+E2-4F＞0，我们来检查一下：D2+E2-4F=4b2λ2(λ2-1)＞0，确实是一个圆.因此，圆的定义可以是……
众生齐答：到两个定点的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹.
师：很好.同时，我们要注意建立合适的直角坐标系可以使运算简单.这样一种求动点P的轨迹的方法我们叫直接法.
（板书）直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.
（利用“由特殊到一般”的手法创设情境，激起学生的求知欲望.针对教学内容的特点，结合学生的实际，选择问题切入点，通过从具体到抽象，从感性到理性的认知活动，不仅加深对定义的理解，更有利于提高学生的发散性思维能力.）
师：下面大家来看这样一道例题（投影）：
例2已知动点P到点A（0，1）比到直线y=-2少1，求点P的轨迹.
生7：设动点P（x，y），则x2+(y-1)2=|y+2|-1.接下来化简比较麻烦……
师：你们可以自己画张草图，再想想如何化简比较简单.
（学生画草图）
生7：由题意，点P在直线y=-2上方，所以绝对值可以去掉.化简为：x2=4y.
师：请注意，要求的是点P的轨迹，“轨迹”是一个几何概念.
生7：x2=4y是轨迹方程，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.
师：对.大家要注意到,轨迹方程是一个代数概念，就是动点的横纵坐标所满足的关系式；而轨迹是一个几何概念，是指动点运动所形成的曲线类型.本题中，点P的轨迹是一条抛物线，轨迹方程为x2=4y.抛物线的定义是什么？
众生回答：到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.
师：那么大家能否从抛物线的定义入手，对本题进行解答？
生8：由题意，动点P到点A(0，1)与到直线y=-1相等，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.轨迹方程为x2=4y.
师：很好！在求轨迹的过程中，我们可以根据已知的曲线类型来归纳出动点生成的轨迹，这种求动点轨迹方程的方法叫做定义法.本题中，我们用定义法直接求出点P的轨迹方程及轨迹，避免了用直接法需运算及去绝对值的技巧.在高中阶段，我们涉及到的曲线定义有圆的定义，前面已经涉及；有椭圆、双曲线的第一定义；有圆锥曲线的统一定义等，大家在做题时要观察题设条件，注意能否运用定义法来求轨迹方程，往往可以避免运算和讨论.
（先让学生用已知的“直接法”来求轨迹方程，求解过程引导学生通过画草图，数形结合可以巧妙避免繁杂运算，体现了解析几何中数形结合思想的重要性.同时本题依旧引新，用学过的知识来探究新问题，激发学生学习的积极性，驱动学生思维的自觉性和主动性.同时在探究过程中，注重以学生为主体，教师适当引导，使问题层层深入，最终得到解决.）
下面我们来练习一道题目（投影）：
练习1：已知动圆M与G1∶x2+y2+4x=0外切，且与C2∶x2+y2-4x-60=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
师：这道题用直接法很难求，但是通过化简圆方程，我们发现，⊙C1和⊙C2的圆心正好是（-2，0）和（2，0），这让我们联想到什么？
生9：椭圆或双曲线的两个焦点.
师：对！很有可能是椭圆或双曲线，那么我们的目标就是MC1+MC2=定值或|MC1-MC2|=定值，如何来表示MC1和MC2？
生9：两圆外切，连心线等于半径之和；两圆内切，连心线等于半径之差.故MC1=r+2，MC2=8-r.
师：相加还是相减？
众生答：相加！
师：请生9把解题过程说一下，我来板演.
生9：⊙C1∶（x+2）2+y2=4；⊙C1∶（x-2）2+y2=64，设动圆M的半径为r，根据图形可知，MC1=r+2，MC2=8-r，故MC1+MC2=10，故点M的轨迹是以（±2，0）为焦点，长半轴长为5的椭圆，方程为：x225+y221=1.
师：若出现MC1-MC2=定值，轨迹是什么？
众生答：双曲线！
师：再想想，双曲线的定义是什么？是双曲线的两支吗？
生10：是双曲线的一支，因为MC1-MC2没有加绝对值.
师：很好，以后我们在解题中要注意思维严密性，不要粗心大意.但是一定是双曲线的一支吗？
众生：……
师：回想一下双曲线的完整定义！
生10：我知道了！双曲线的定义是到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于两点间距离）的点的轨迹，因此MC1-MC2=定值，若定值小于C1C2，则M点的轨迹是双曲线的一支，若定值等于C1C2，则M点的轨迹是一条射线，若定值大于C1C2，则M点的轨迹是空集.
师：很好，我们在用椭圆或双曲线的第一定义做题时，一定要注意定值和两点间距离的大小关系，注意定义的完整性，这体现我们思维的完备性.
（补充“若出现MC1-MC2=定值，求M点的轨迹”需要分三种情况讨论时十分必要的，此例考查基础知识，易为学生所接受，而且有利于防止学生在解题过程中思考的片面性，加强学生对概念的理解，提升学生思维的完备性.）
师：下面我们介绍求轨迹方程的第三种方法：相关点法.
（投影）
例3已知⊙C∶（x-1）2+y2=1，过原点O做圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
师：设弦OA的中点为P（x，y），我们发现，点P是随着点A在动，我们称点A是点P的相关点.而点A在已知曲线上，因此只要找到点p坐标P(x，y)和点A坐标A（x0，y0）之间的数量关系即可.哪位同学能告诉我它们之间所满足的关系式？（此处略作停顿，引导学生思考.）
生11：根据中点定义，有x=x02
y=y02.
师：x0，y0之间有什么关系？
生11：（x0-1）2+y20=1.
师：因此，x，y之间满足什么关系？
生11：由x=x02
y=y02，可得x0=2x
y0=2y，由于（x0-1）2+y20=1，故（2x-1）2+(2y)2=1.
师：这位同学求轨迹的方法就叫相关点法，即探求所求动点及其相关点的横纵坐标满足的关系式，然后代入该相关点满足的曲线方程，即得动点的轨迹方程.相关点架起了一座求动点轨迹的桥梁，我们也把这种方法称为“点参法”.归纳起来如下：（板书）
已知f(x0，y0)=0，而x0=f1（x，y）
y0=f2（x，y），故f［f1（x，y），f2（x,y）］=0.
（此处若采用讲述法进行教学，往往会陷入平铺直叙的状况，较难激起学生思考问题的积极性，不利于学生生动活泼的学习.在教师所创设的问题情境中，让学生成为探索的主体，引导学生自己找到所求点坐标与相关点坐标之间的关系，自己剖析问题，探索用“相关点法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.最后教师进行总结，有利于学生更好的掌握和消化新知识.）
师：既然有“点参法”，那也应该有“数参法”，这道题用“数参法”如何来解决？
众生迷惑.
师：如果我们设OA的斜率为k，联立直线和圆的方程，能否得到x，y分别用k来表示？大家试一试？
生12：设动弦OA的方程为y=kx，代入圆方程得：（x-1）2+（kx）2=1，即（1+k2）x2-2x=0，故x=x1+x22=11+k2，y=kx=k1+k2.
师：很好，其实大家已经得到了动点P（x，y）的参数方程：x=11+k2
y=k1+k2.要得到x，y之间的关系式.只需将k消掉.如何消去参数k？
生12：两式相除得k=yx，代入x=11+k2，化简即得（2x-1）2+(2y)2=1.
师：很好！下面我们也总结一下用“数参法”求轨迹方程的一般步骤.（板书）
设定参数k，探究出x=f1(k)
y=f2（k），消去k即可.
（和“点参法”教学一样，学生在教师的引导下自己层层剖析，探索用“数参法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.问题在浓厚的探究气氛中解决.）
师：以上我们用“点参法”和“数参法”分别求了弦OA的中点P的轨迹方程，它是一条什么曲线？
众生：圆！
师：请大家把它画出来.
师：点P的轨迹可以是整个圆吗？
生12：不行，要出去原点.因为弦的中点总是在圆内部.
师：因此刚刚得出的轨迹方程需做何修改？
生12：（2x-1）2+(2y)2=1（0＜x≤1）.
师：对！我们在求轨迹方程时需注意是否需要去除哪些不符合条件的点.实际上，本题还可以用定义法来解决.我们连接AB，PC，可得PC∥AB，∵ ∠A=90°，∴ ∠P=90°，∴ 点P的轨迹是什么？
众生回答：以OC为直径的圆！
师：对了！我们可以直接写出轨迹方程x-122+y2=14，在注意去除原点即可.这和前面的结果是一致的.
师：以上我讲了求轨迹方程的三种主要方法：直接法，定义法，参数法（点参法、数参法）.大家在遇到相关问题时，要善于抓住题设的特征，选择合适的方法来解决问题.方法的恰当选择，可以简化运算，达到事半功倍的效果.
（探索问题时，必须使学生能够从不同角度来考虑解决问题的途径，若只从单一角度，在同一个思维模式中展现其面貌就会造成思路固定、思域狭窄的毛病.因此在教学中利用一题多解来培养学生的多维性思维是非常重要的.）
课后反思：
1.本节课采用“探索法”设计教学.整节课“以学生为主体，教师为主导”，教师引导学生深入探究，得出求轨迹方程的三种基本方法.探索法以发展探究能力为目标，以学科的基本知识结构为内容，以知识结构为根据划分探索过程，把学生置于主体地位，在探索中建立自己特色的认知结构.教师在探索法教学中，要紧紧抓住“疑问”，把学生的思维引向深入.根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的联系来巧妙的存疑设问，激发学生情趣，促进思考.在探索中，教师要注重与学生的双边交流，力求把各种情景因素组织起来，达到最大限度发展思维的目的.本课的“疑问”环环相扣、步步深入，从而把用直接法、定义法、参数法等方法解决轨迹问题的思路逐步展开，使本节课的重点知识得到巩固.
2.例题的精选是本节课的一个亮点.例题的选取应做到“新”（新颖，以激发兴趣）；“广”（广思，以流通思维）；“诱”（诱错，可分析解剖）；“深”（深挖，可总结经验，加深理解）.本节课的例1，选题新颖，入手简单，但通过教师的推广挖掘，又总结出了一般规律，同时在求解过程中还需注意特殊情况做到了“新、广、诱、深”.例2及其练习起到了巩固已学知识和“诱错”的作用.例3和例4尝试用不同方法求解，不但让学生可以“趁热打铁”，练习刚学的方法，同时发散了学生的思维，加深了学生的理解，既“广”又“深”.这样，通过讨论分析，学生的思维积极活跃，教师的启发及时得法，时间不知不觉的流逝，数学的美感却长流心头，以致回味无穷.
3.本节课注重培养学生的能力.古人云，授之于鱼，不如授之于渔.本节课在数学教学中，着重分析范例，注重新旧知识的结合，不仅传授给学生求轨迹方程的方法，更重要的是通过诱导和剖析，引导学生正确思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.
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