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【摘 要】数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映，它具有高度的抽象性，学生学习存在难度。如何遵循小学生认知规律，提高概念教学有效性是很值得我们研究的问题。
【关键词】数学概念；概念研究；数学活动；概念理解
一、关键点细“研”，丰富概念表象
对学生来说，让他们记住数学概念的表面定义是没有问题的，只要给予足够的时间，学生对概念倒背如流都是容易的事情，在实际教学中这样的情况比比皆是。但问题也是显而易见的，学生看似掌握了数学知识，一旦进入运用概念进行解题的阶段，问题就显现出来了，尤其是在面对选择题和判断题时，学生很快就犯傻了，觉得这个答案似乎是对的，而另一个答案看起来也是正确的。为何会这样呢？究其原因，在于学生没有真正理解和把握概念所反映的一类事物的本质属性，而这恰恰是概念教学的关键点。那么，如何突破学生的这一学习误区呢？我认为，教师要做的不是进行“填鸭式”的灌输，也不是强硬的指责，而是带领学生抓住概念的关键点进行探究，引导学生通过自主研究来丰富概念表象，从而促进对概念本质的理解。
例如，教学“认识面积”一课时，为了避免学生混淆周长与面积这两个概念，我著重从感受直观的面积表象入手，分多个层次引导学生展开研究活动。层次一，先让学生用手摸一摸课桌的面，然后摸一摸黑板的面，并进行比较，看看课桌面和黑板面的大小有什么关系。学生由此获得直观的感知，认为每个物体都有平平的面，这些面有大有小，这个平平的面的大小就是面积。层次二，让学生对自己身边物体的面积进行大小比较。学生找到数学书的封面、教室的一面墙、墨水瓶的一个面等，在比较面积大小后，获得了面积概念的初步感知，即物体表面的大小就是它的面积。层次三，让学生拿出课前准备好的白纸，先说出这张白纸的面积，再用手摸一摸，然后在白纸上画出一个三角形并涂色，让学生指出涂色部分的面积。层次四，让学生画一个其他封闭的图形并涂色，然后指出所画图形的面积。通过以上四个层次活动的引领，学生积累了面积的表象，逐步逼近面积的本质属性，并在摸一摸、指一指、画一画、涂一涂等直观的活动探究中感受到“物体表面的大小”这个概念，深入理解了“封闭图形的面积”的内涵，从而真正掌握面积这个概念。
二、抽象处多“究”，体验概念形成
有些数学概念过于抽象，学生理解存在一定的难度，这就需要教师提供充分的研究时空，引领学生进行深入的探究，体验并经历抽象概念的形成过程，由此突破概念理解的难点。
例如，教学“百分数”一课时，如何引导学生明确分数与百分数的区别和联系，既是学习百分数这一数学概念的核心，又是这一教学内容的抽象点所在。为此，我进行了预习设置，先让学生用直尺画一条长1 / 2分米的线段，再用一幅图表示一个物体的1 / 2，然后结合课前预习作业，引导学生探究分数和百分数之间有什么异同。学生从这个问题出发展开小组合作研究，寻找分数和百分数之间的不同。首先，书写方法不同。百分数的分子既可以是整数，也可以是小数，但分数的分子通常都是整数。其次，分数的意义和百分数的意义不同。分数是指把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数；而百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。从概念的定义上看，学生易于区分百分数与分数，但在实际操作中却没有获得深刻的认知。为此，我让学生举例来进行比对辨析：“拿出课前准备的1 / 2分米的线段和表示一个物体的1 / 2的图形，看看大家画的线段是否都一样长，表示一个物体的1 / 2的图形是否都一样。”学生认为，大家画的1 / 2分米的线段长度当然是一样的，因为它表示的是一个长度，代表一分米的一半，也就是五厘米，这是一个固定的标准；但表示一个物体的1 / 2的图形则可以不一样，因为这里的1 / 2表示的是将一个整体平均分成2份，其中的1份是1 / 2。这里的“一个整体”可以是多种多样的，没有一个固定的标准。也就是说，1 / 2分米是一个具体的长度，而1 / 2则是两个部分进行比较后得到的一个比率。于是，我再引导学生思考：“这里有两个1 / 2，其中哪一个可以改写成百分数呢？”立刻有学生回答：“1 / 2分米不能改写，而1 / 2则可以改写成百分数，因为百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，也就是表示两个数相比的关系。”“1 / 2也可以表示两个数之间的关系，所以可以改写为50%。”我继续追问：“请大家举例说明，分数和百分数表示的意义有何不同？”学生举例80%可以表示4 / 5，4 / 5也可以改写成80%，但4 / 5千克就不能改写成80%千克。学生从中发现分数和百分数的区别：分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示一个具体的数量；百分数则只能表示两个数之间的关系，即一个数是另一个数的百分之几。学生通过自主研究，亲身经历百分数和分数两个概念发展延伸的过程，从而逐步抽象出两个概念的本质，真正理解了所学的概念。
三、易错处精“磨”，建构概念理解
数学知识具有连续性，在学习数学概念的过程中，经常会出现互相迁移影响的交叉现象，这就是容易产生错误的地方。根据建构主义理论，学习者建立概念的过程，是一个经验自主建构的过程，通过外在因素的影响，不断修正原有的学习材料和学习经验，自主建构概念。因此，在数学教学中，教师要引导学生在容易出错的地方进行精心打“磨”，带领学生深入探究所学的概念。
总之，数学概念的学习离不开学生的自主研究，教师要积极创设研究的氛围，突出研究的关键点、抽象点和易错点，让学生对概念的理解落实到位，能灵活运用所学的概念解决问题。
【关键词】数学概念；概念研究；数学活动；概念理解
一、关键点细“研”，丰富概念表象
对学生来说，让他们记住数学概念的表面定义是没有问题的，只要给予足够的时间，学生对概念倒背如流都是容易的事情，在实际教学中这样的情况比比皆是。但问题也是显而易见的，学生看似掌握了数学知识，一旦进入运用概念进行解题的阶段，问题就显现出来了，尤其是在面对选择题和判断题时，学生很快就犯傻了，觉得这个答案似乎是对的，而另一个答案看起来也是正确的。为何会这样呢？究其原因，在于学生没有真正理解和把握概念所反映的一类事物的本质属性，而这恰恰是概念教学的关键点。那么，如何突破学生的这一学习误区呢？我认为，教师要做的不是进行“填鸭式”的灌输，也不是强硬的指责，而是带领学生抓住概念的关键点进行探究，引导学生通过自主研究来丰富概念表象，从而促进对概念本质的理解。
例如，教学“认识面积”一课时，为了避免学生混淆周长与面积这两个概念，我著重从感受直观的面积表象入手，分多个层次引导学生展开研究活动。层次一，先让学生用手摸一摸课桌的面，然后摸一摸黑板的面，并进行比较，看看课桌面和黑板面的大小有什么关系。学生由此获得直观的感知，认为每个物体都有平平的面，这些面有大有小，这个平平的面的大小就是面积。层次二，让学生对自己身边物体的面积进行大小比较。学生找到数学书的封面、教室的一面墙、墨水瓶的一个面等，在比较面积大小后，获得了面积概念的初步感知，即物体表面的大小就是它的面积。层次三，让学生拿出课前准备好的白纸，先说出这张白纸的面积，再用手摸一摸，然后在白纸上画出一个三角形并涂色，让学生指出涂色部分的面积。层次四，让学生画一个其他封闭的图形并涂色，然后指出所画图形的面积。通过以上四个层次活动的引领，学生积累了面积的表象，逐步逼近面积的本质属性，并在摸一摸、指一指、画一画、涂一涂等直观的活动探究中感受到“物体表面的大小”这个概念，深入理解了“封闭图形的面积”的内涵，从而真正掌握面积这个概念。
二、抽象处多“究”，体验概念形成
有些数学概念过于抽象，学生理解存在一定的难度，这就需要教师提供充分的研究时空，引领学生进行深入的探究，体验并经历抽象概念的形成过程，由此突破概念理解的难点。
例如，教学“百分数”一课时，如何引导学生明确分数与百分数的区别和联系，既是学习百分数这一数学概念的核心，又是这一教学内容的抽象点所在。为此，我进行了预习设置，先让学生用直尺画一条长1 / 2分米的线段，再用一幅图表示一个物体的1 / 2，然后结合课前预习作业，引导学生探究分数和百分数之间有什么异同。学生从这个问题出发展开小组合作研究，寻找分数和百分数之间的不同。首先，书写方法不同。百分数的分子既可以是整数，也可以是小数，但分数的分子通常都是整数。其次，分数的意义和百分数的意义不同。分数是指把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数；而百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。从概念的定义上看，学生易于区分百分数与分数，但在实际操作中却没有获得深刻的认知。为此，我让学生举例来进行比对辨析：“拿出课前准备的1 / 2分米的线段和表示一个物体的1 / 2的图形，看看大家画的线段是否都一样长，表示一个物体的1 / 2的图形是否都一样。”学生认为，大家画的1 / 2分米的线段长度当然是一样的，因为它表示的是一个长度，代表一分米的一半，也就是五厘米，这是一个固定的标准；但表示一个物体的1 / 2的图形则可以不一样，因为这里的1 / 2表示的是将一个整体平均分成2份，其中的1份是1 / 2。这里的“一个整体”可以是多种多样的，没有一个固定的标准。也就是说，1 / 2分米是一个具体的长度，而1 / 2则是两个部分进行比较后得到的一个比率。于是，我再引导学生思考：“这里有两个1 / 2，其中哪一个可以改写成百分数呢？”立刻有学生回答：“1 / 2分米不能改写，而1 / 2则可以改写成百分数，因为百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，也就是表示两个数相比的关系。”“1 / 2也可以表示两个数之间的关系，所以可以改写为50%。”我继续追问：“请大家举例说明，分数和百分数表示的意义有何不同？”学生举例80%可以表示4 / 5，4 / 5也可以改写成80%，但4 / 5千克就不能改写成80%千克。学生从中发现分数和百分数的区别：分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示一个具体的数量；百分数则只能表示两个数之间的关系，即一个数是另一个数的百分之几。学生通过自主研究，亲身经历百分数和分数两个概念发展延伸的过程，从而逐步抽象出两个概念的本质，真正理解了所学的概念。
三、易错处精“磨”，建构概念理解
数学知识具有连续性，在学习数学概念的过程中，经常会出现互相迁移影响的交叉现象，这就是容易产生错误的地方。根据建构主义理论，学习者建立概念的过程，是一个经验自主建构的过程，通过外在因素的影响，不断修正原有的学习材料和学习经验，自主建构概念。因此，在数学教学中，教师要引导学生在容易出错的地方进行精心打“磨”，带领学生深入探究所学的概念。
总之，数学概念的学习离不开学生的自主研究，教师要积极创设研究的氛围，突出研究的关键点、抽象点和易错点，让学生对概念的理解落实到位，能灵活运用所学的概念解决问题。