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摘 要：本文介绍了归纳法及数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用归纳法及数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，并且比较了归纳法与数学归纳法之间的差异，还介绍了归纳法及其数学归纳法推理的常用技巧。
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理
归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。
1归纳法
1.1归纳法的定义
由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。
1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。
1.1.2完全歸纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.
注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。
1.2使用归纳法要谨慎
我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。
例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+（2n-1）]
解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有
S（1）=1
S（2）=1+3=4
S（3）=1+3+5=9
S（4）=1+3+5+7=16
S（5）=1+3+5+7+9=25
可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。
考慮形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。
这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。
现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n ，公式
S（n）=[n2] [……]（1）
总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。
2 数学归纳法
2.1 数学归纳法的定义
n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。
2.2 运用数学归纳法证题的步骤
（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。
（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。
容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。
在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.
形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。
例、当n>1且n∈N时，求证：
[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]
证明： （1）n=2时，左边[=13+14+15+16=1920>910]
左边[>]右边，所以不等式成立.
（2）假设n=k时不等式成立，即
[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]
当n=k+1时，
[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]
[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]
[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]
[=910]
即n=k+l时，不等式成立。
根据（1）与（2）得，对于n>1且n∈N，所证不等式成立。
形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。
例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]
试证：[rn=2n+1]
证明：由题意，需验证n=0，n=1两值。
（1）当n=0时，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的；还有n=1时，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。
（2）假设当n=k时命题是正确的，当然n=k-1也 是正确的。
即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。
则 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。
应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。
参考文献：
[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年
[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社，1963年
[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（第二版）
[4]周性伟著《实变函数》科学出版社出版，2000年
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理
归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。
1归纳法
1.1归纳法的定义
由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。
1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。
1.1.2完全歸纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.
注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。
1.2使用归纳法要谨慎
我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。
例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+（2n-1）]
解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有
S（1）=1
S（2）=1+3=4
S（3）=1+3+5=9
S（4）=1+3+5+7=16
S（5）=1+3+5+7+9=25
可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。
考慮形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。
这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。
现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n ，公式
S（n）=[n2] [……]（1）
总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。
2 数学归纳法
2.1 数学归纳法的定义
n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。
2.2 运用数学归纳法证题的步骤
（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。
（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。
容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。
在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.
形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。
例、当n>1且n∈N时，求证：
[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]
证明： （1）n=2时，左边[=13+14+15+16=1920>910]
左边[>]右边，所以不等式成立.
（2）假设n=k时不等式成立，即
[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]
当n=k+1时，
[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]
[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]
[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]
[=910]
即n=k+l时，不等式成立。
根据（1）与（2）得，对于n>1且n∈N，所证不等式成立。
形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。
例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]
试证：[rn=2n+1]
证明：由题意，需验证n=0，n=1两值。
（1）当n=0时，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的；还有n=1时，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。
（2）假设当n=k时命题是正确的，当然n=k-1也 是正确的。
即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。
则 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。
应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。
参考文献：
[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年
[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社，1963年
[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（第二版）
[4]周性伟著《实变函数》科学出版社出版，2000年