论文部分内容阅读
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）14-0015-02
一、引言
在中学数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多.转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法.转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响.
二、转化思想的概念
1.转化思想的定义
从转化思想的本质上讲，转化思想可分为等价转化思想和非等价转化思想.等价转化前后是充要条件，即旧问题通过转化成新问题的过程中不需要限制条件，新旧问题完全等价，这种转化思想就叫做等价转化思想。必要的验证，不等价转化在明确附加限制条件后也有等价转化同样的意义和应用.
2.转化思想遵循的基本原则
（1）、熟悉化原则.就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，利于我們应用熟知的知识、经验来解决问题.
（2）、和谐化原则.指转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其成为有利于运用某种数学方法或其方法符合的思维规律.
（3）、简单化原则.就是将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据.
三、转化思想在数学解题中应用的范围
当人们面临一些新问题，用正规的思维方法不能解答时，我们就需要转化为我们熟知的已解决问题中，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，体现了转化思想的熟悉化原则.
1.转化思想在集合中的应用
集合是现代数学的基本概念，是研究数学问题的基础和工具，可见其重要性.在解决一些集合问题时从集合的表达形式不好入手，就需要进行转化，转化到我们所学过的知识上，这样便能迅速的得到解决问题的思路，如：是的子集可以转化为、等.
说明：点的交集问题往往可转化为曲线之间的公共点问题，进而转化为方程组求解的问题，或者使用数形结合的思想将问题的题设和结论转化到图形中，使问题直观形象化，从而有利于问题的解决.
2.转化思想在方程、不等式中的应用
可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.
说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.
3.转化思想在几何中的应用
在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化.
例3 如图4-1所示，是半圆的直径，过作的垂线，在这垂线上任取一点，过作半圆的切线，为切点.作，连结交于，求证：.
分析：由题意，∵，，∴.则是的位似对应线段（以为位似中心，以为位似比）.欲证点为的中点，只需证明点为的位似对应线段的中点即可.连结并延长与的延长线交于，连结， ∵为半圆直径，∴，∴，为直角三角形，欲证，只需证即可.∵、同为切线，∴，只需要证明.即要证，又∵，，于是问题解决.
证明（略）.
说明：在上述解决几何问题的过程中，我们用到了线段与线段之间的转化思想，这种转化方式称为线段的位似转化，通过线段之间的联系将未知线段通过已知线段求解出来.位似转化思想在图形与图形的转化中也是适用的.
例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.
已知：在中，，是上任一点，交于，交于，交于.求证：.
说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.
五、结论
1.意义
数学转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较轻易解决的问题，是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.
2.局限性
数学转化思想在中学数学中的应用广泛，无论是数与数之间的转化、形与形之间的转化还是数与形之间的转化都是转化思想的重要体现，数学转化思想的应用渗透于代数和几何两个学科的方方面面，本篇论文只是针对其中重要的几个方面做论述，未涉及到数学的整个领域.
3.启示
熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼.要积极主动有意识地去发现事物之间的本质，“抓住基础，重转化”是学好数学的金钥匙.
一、引言
在中学数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多.转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法.转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响.
二、转化思想的概念
1.转化思想的定义
从转化思想的本质上讲，转化思想可分为等价转化思想和非等价转化思想.等价转化前后是充要条件，即旧问题通过转化成新问题的过程中不需要限制条件，新旧问题完全等价，这种转化思想就叫做等价转化思想。必要的验证，不等价转化在明确附加限制条件后也有等价转化同样的意义和应用.
2.转化思想遵循的基本原则
（1）、熟悉化原则.就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，利于我們应用熟知的知识、经验来解决问题.
（2）、和谐化原则.指转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其成为有利于运用某种数学方法或其方法符合的思维规律.
（3）、简单化原则.就是将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据.
三、转化思想在数学解题中应用的范围
当人们面临一些新问题，用正规的思维方法不能解答时，我们就需要转化为我们熟知的已解决问题中，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，体现了转化思想的熟悉化原则.
1.转化思想在集合中的应用
集合是现代数学的基本概念，是研究数学问题的基础和工具，可见其重要性.在解决一些集合问题时从集合的表达形式不好入手，就需要进行转化，转化到我们所学过的知识上，这样便能迅速的得到解决问题的思路，如：是的子集可以转化为、等.
说明：点的交集问题往往可转化为曲线之间的公共点问题，进而转化为方程组求解的问题，或者使用数形结合的思想将问题的题设和结论转化到图形中，使问题直观形象化，从而有利于问题的解决.
2.转化思想在方程、不等式中的应用
可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.
说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.
3.转化思想在几何中的应用
在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化.
例3 如图4-1所示，是半圆的直径，过作的垂线，在这垂线上任取一点，过作半圆的切线，为切点.作，连结交于，求证：.
分析：由题意，∵，，∴.则是的位似对应线段（以为位似中心，以为位似比）.欲证点为的中点，只需证明点为的位似对应线段的中点即可.连结并延长与的延长线交于，连结， ∵为半圆直径，∴，∴，为直角三角形，欲证，只需证即可.∵、同为切线，∴，只需要证明.即要证，又∵，，于是问题解决.
证明（略）.
说明：在上述解决几何问题的过程中，我们用到了线段与线段之间的转化思想，这种转化方式称为线段的位似转化，通过线段之间的联系将未知线段通过已知线段求解出来.位似转化思想在图形与图形的转化中也是适用的.
例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.
已知：在中，，是上任一点，交于，交于，交于.求证：.
说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.
五、结论
1.意义
数学转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较轻易解决的问题，是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.
2.局限性
数学转化思想在中学数学中的应用广泛，无论是数与数之间的转化、形与形之间的转化还是数与形之间的转化都是转化思想的重要体现，数学转化思想的应用渗透于代数和几何两个学科的方方面面，本篇论文只是针对其中重要的几个方面做论述，未涉及到数学的整个领域.
3.启示
熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼.要积极主动有意识地去发现事物之间的本质，“抓住基础，重转化”是学好数学的金钥匙.