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在近几年的高考题中,立体几何在选择题、填空题、解答题中都有涉及,题目变得灵活多样,创新性强,已不再满足于对一个单纯几何体考查了,更加强了学科的内在联系,包括代数、解析几何、立体几何之间的相互联系,对学生综合能力的要求更高了。
一、立体几何历年分布情况分析
通过研究发现,考查知识点依然突出立体、空间,围绕线线关系、线面关系以及线面角、面面关系以及二面角展开。如2012四川卷14题为线面垂直、线面平行题;2012山东卷18题为线面垂直以及二面角问题,2012陕西卷5题考查两异面直线夹角。
二、试卷结构情况分析
选择题、填空题中出现的多涉及基本定理判断,基本几何体结构判断,解答题中多为考查空间位置关系的综合题,通常附带大量计算。
三、试题考查形式分析
选择填空题依然注重基础知识,侧重于线面位置关系的判定及性质;解答题创新性明显,多以棱柱、棱锥为载体,考查柱体椎体中线面关系的判断或论证,这类题型考查形式突出多样、灵活,提高了对学生的空间想象能力、动手操作能力的要求。
四、立体几何例题分析
1.基本概念、定理、性质的考查
(2012四川卷理6)下列命题正确的是().
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案:C.
解析:若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.
(2011浙江卷4)下列命题中错误的是().
点评:该题中将直线夹角转化成向量夹角,并用向量数量积来进行求解,属于向量解决立体几何的基本应用。
3.利用平面图形转化成立体几何问题,考查空间想象能力
这种题目在最近几年有所出现,主要是将平面图形通过变形转换成立体图形,然后赋予相关问题,目的是考查学生的动手操作能力,以及空间想象能力。
点评:本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题。
5.以简易逻辑为考点,考查对空间基本关系的应用
(2012陕西卷18)(Ⅰ)证明命题“ a是平面 π内的一条直线, b是π外的一条直线( b不垂直于 π), c是直线 b在 π上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真;(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,判断其真假(不需证明).
点评:本题主要考查空间垂直关系的证明,空间垂直关系定理和定理的证明,考查向量在空间几何中的运用,把握垂直关系的证明及向量概念和运算是根本。
五、结语
从近几年高考的立体几何题中,不难看出,这部分考查仍然是以基础知识为底,加以一定的扩展和推广,把握图形是把握立体几何的关键。同时更注重学生对题目的综合分析能力。
一、立体几何历年分布情况分析
通过研究发现,考查知识点依然突出立体、空间,围绕线线关系、线面关系以及线面角、面面关系以及二面角展开。如2012四川卷14题为线面垂直、线面平行题;2012山东卷18题为线面垂直以及二面角问题,2012陕西卷5题考查两异面直线夹角。
二、试卷结构情况分析
选择题、填空题中出现的多涉及基本定理判断,基本几何体结构判断,解答题中多为考查空间位置关系的综合题,通常附带大量计算。
三、试题考查形式分析
选择填空题依然注重基础知识,侧重于线面位置关系的判定及性质;解答题创新性明显,多以棱柱、棱锥为载体,考查柱体椎体中线面关系的判断或论证,这类题型考查形式突出多样、灵活,提高了对学生的空间想象能力、动手操作能力的要求。
四、立体几何例题分析
1.基本概念、定理、性质的考查
(2012四川卷理6)下列命题正确的是().
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案:C.
解析:若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.
(2011浙江卷4)下列命题中错误的是().
点评:该题中将直线夹角转化成向量夹角,并用向量数量积来进行求解,属于向量解决立体几何的基本应用。
3.利用平面图形转化成立体几何问题,考查空间想象能力
这种题目在最近几年有所出现,主要是将平面图形通过变形转换成立体图形,然后赋予相关问题,目的是考查学生的动手操作能力,以及空间想象能力。
点评:本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题。
5.以简易逻辑为考点,考查对空间基本关系的应用
(2012陕西卷18)(Ⅰ)证明命题“ a是平面 π内的一条直线, b是π外的一条直线( b不垂直于 π), c是直线 b在 π上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真;(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,判断其真假(不需证明).
点评:本题主要考查空间垂直关系的证明,空间垂直关系定理和定理的证明,考查向量在空间几何中的运用,把握垂直关系的证明及向量概念和运算是根本。
五、结语
从近几年高考的立体几何题中,不难看出,这部分考查仍然是以基础知识为底,加以一定的扩展和推广,把握图形是把握立体几何的关键。同时更注重学生对题目的综合分析能力。