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【摘要】 化归是解决数学问题的一种重要思想方法，它贯穿于整个数学之中. 本文从四个方面分析了这种方法的妙用：函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；化复杂问题为简单问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；分类讨论思想.
【关键词】 转化；化归
所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思. 数学解题中所论及的“化归方法”，是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题上去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法. 转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化. 掌握化归这一思想，学会用化归的策略分析问题和处理问题，有着十分重要的意义. 下面从四个不同的方面浅析这种方法的妙用. 一、函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系.
例１ 二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像如图1所示，根据图像解答下列问题：
（１）写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根 ．
（２）写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集 ．
（３）写出y随x的减小而增大的自变量x的取值范围 ．
（４）写出方程ax2 + bx + c = -6的实数根.
（５）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围 ．
分析 求方程ax2 + ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的两个根其实就是求二次函数ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像与ｘ轴的交点，而不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > 0的解集就是看函数图像在ｘ轴上方部分对应的自变量的取值范围，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ = -6的实数根就是函数图像与直线x = -6的交点对应的横坐标. 这道题巧妙地把函数、方程以及不等式结合起来.
二、化复杂问题为简单问题
例２ 解方程：２（ｘ － １）２ － ５（ｘ － １） ＋ ２ ＝ ０.
解 令ｙ ＝ ｘ - １，则２ｙ２ - ５ｙ ＋ ２ ＝ ０．
所以ｙ１ ＝ ２或ｙ２ ＝ ，即ｘ - １ ＝ ２或ｘ - １ ＝
所以ｘ ＝ ３或ｘ ＝ ，故原方程的解为ｘ ＝ ３或ｘ ＝
点拨 很显然，此为解关于ｘ － １的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，将（ｘ - １）设为ｙ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有ｙ的一元二次方程，问题就简单化了．
三 将一般性的问题转化为直观的特殊的问题
例３ △ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ a，ＡＣ ＝ b，ＡＢ ＝ ｃ． 若∠C = 90°，如图2，根据勾股定理，则a2 + b2 = c2. 若△ＡＢＣ不是直角三角形，如图3和图4，请你类比勾股定理，试猜想a2 + b2与ｃ２的关系，并证明你的结论．
证明 在图3和图4中，过Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，交AC或ＡＣ的延长线于Ｄ，如图5和图6.
在图5中，设ＣＤ为x，则有BD2 = ａ２ － ｘ２.
根据勾股定理，得（ｂ - ｘ）2 + ａ２ － ｘ２ ＝ ｃ２．
即ａ２ ＋ ｂ２ - ２ｂｘ ＝ ｃ２． ∵ ｂ ＞ ０，x > 0，
∴ 2bx > 0，∴ a2 + b2 > c2.
在图6中，同理可得a2 + b2 < c2.
点拨 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形的三边具有a2 + b2 = c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系．
四、分类讨论思想
例４ 解不等式：（ｍ ＋ １）ｘ ＞ ｍ2 － １.
分析 如果不区分ｍ ＋ １ ＞ ０或ｍ ＋ １ ＜ ０，得ｘ ＞ ｍ － １，那就不对了，因为既可以ｍ ＋ １ ＞ ０，或ｍ ＋ １ ＝ ０，也可以ｍ ＋ １ ＜ ０. 不同的情况下有不同的答案.
解 当ｍ ＋ １ ＞ ０，即ｍ ＞ －１时，则ｘ ＞ ＝ ｍ － １.
当ｍ ＋ １ ＝ ０，即ｍ ＝ －１时，原不等式为０·ｘ ＞ ０，故不等式无解.
当ｍ ＋ １ ＜ ０，即ｍ ＜ －１时，则ｘ ＜ ＝ ｍ － １.
说明 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果，故需要对其进行分类讨论.
化归策略是数学解题的基本方法之一，但为了更好地把握住化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则. 化归的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则. 在解决实际问题时，可以而且必须结合起来使用，这样才能收到更好的化归效果.
【参考文献】
［１］张维忠，著.数学文化与数学课程.上海：上海教育出版社，１９９９．９.
［2］毛永聪，主编.中学数学创新教法——思维训练方案. 北京：学苑出版社，１９９９．６.
【关键词】 转化；化归
所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思. 数学解题中所论及的“化归方法”，是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题上去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法. 转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化. 掌握化归这一思想，学会用化归的策略分析问题和处理问题，有着十分重要的意义. 下面从四个不同的方面浅析这种方法的妙用. 一、函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系.
例１ 二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像如图1所示，根据图像解答下列问题：
（１）写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根 ．
（２）写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集 ．
（３）写出y随x的减小而增大的自变量x的取值范围 ．
（４）写出方程ax2 + bx + c = -6的实数根.
（５）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围 ．
分析 求方程ax2 + ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的两个根其实就是求二次函数ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像与ｘ轴的交点，而不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > 0的解集就是看函数图像在ｘ轴上方部分对应的自变量的取值范围，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ = -6的实数根就是函数图像与直线x = -6的交点对应的横坐标. 这道题巧妙地把函数、方程以及不等式结合起来.
二、化复杂问题为简单问题
例２ 解方程：２（ｘ － １）２ － ５（ｘ － １） ＋ ２ ＝ ０.
解 令ｙ ＝ ｘ - １，则２ｙ２ - ５ｙ ＋ ２ ＝ ０．
所以ｙ１ ＝ ２或ｙ２ ＝ ，即ｘ - １ ＝ ２或ｘ - １ ＝
所以ｘ ＝ ３或ｘ ＝ ，故原方程的解为ｘ ＝ ３或ｘ ＝
点拨 很显然，此为解关于ｘ － １的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，将（ｘ - １）设为ｙ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有ｙ的一元二次方程，问题就简单化了．
三 将一般性的问题转化为直观的特殊的问题
例３ △ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ a，ＡＣ ＝ b，ＡＢ ＝ ｃ． 若∠C = 90°，如图2，根据勾股定理，则a2 + b2 = c2. 若△ＡＢＣ不是直角三角形，如图3和图4，请你类比勾股定理，试猜想a2 + b2与ｃ２的关系，并证明你的结论．
证明 在图3和图4中，过Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，交AC或ＡＣ的延长线于Ｄ，如图5和图6.
在图5中，设ＣＤ为x，则有BD2 = ａ２ － ｘ２.
根据勾股定理，得（ｂ - ｘ）2 + ａ２ － ｘ２ ＝ ｃ２．
即ａ２ ＋ ｂ２ - ２ｂｘ ＝ ｃ２． ∵ ｂ ＞ ０，x > 0，
∴ 2bx > 0，∴ a2 + b2 > c2.
在图6中，同理可得a2 + b2 < c2.
点拨 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形的三边具有a2 + b2 = c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系．
四、分类讨论思想
例４ 解不等式：（ｍ ＋ １）ｘ ＞ ｍ2 － １.
分析 如果不区分ｍ ＋ １ ＞ ０或ｍ ＋ １ ＜ ０，得ｘ ＞ ｍ － １，那就不对了，因为既可以ｍ ＋ １ ＞ ０，或ｍ ＋ １ ＝ ０，也可以ｍ ＋ １ ＜ ０. 不同的情况下有不同的答案.
解 当ｍ ＋ １ ＞ ０，即ｍ ＞ －１时，则ｘ ＞ ＝ ｍ － １.
当ｍ ＋ １ ＝ ０，即ｍ ＝ －１时，原不等式为０·ｘ ＞ ０，故不等式无解.
当ｍ ＋ １ ＜ ０，即ｍ ＜ －１时，则ｘ ＜ ＝ ｍ － １.
说明 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果，故需要对其进行分类讨论.
化归策略是数学解题的基本方法之一，但为了更好地把握住化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则. 化归的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则. 在解决实际问题时，可以而且必须结合起来使用，这样才能收到更好的化归效果.
【参考文献】
［１］张维忠，著.数学文化与数学课程.上海：上海教育出版社，１９９９．９.
［2］毛永聪，主编.中学数学创新教法——思维训练方案. 北京：学苑出版社，１９９９．６.