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【摘要】 化归是解决数学问题的一种重要思想方法,它贯穿于整个数学之中. 本文从四个方面分析了这种方法的妙用:函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;化复杂问题为简单问题;将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;分类讨论思想.
【关键词】 转化;化归
所谓“化归”,从字面上看,可理解为转化和归结的意思. 数学解题中所论及的“化归方法”,是指把待解决或未解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题上去,最终求得原问题之解答的一种手段和方法. 转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化. 掌握化归这一思想,学会用化归的策略分析问题和处理问题,有着十分重要的意义. 下面从四个不同的方面浅析这种方法的妙用. 一、函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化
函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.
例1 二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图像如图1所示,根据图像解答下列问题:
(1)写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根 .
(2)写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集 .
(3)写出y随x的减小而增大的自变量x的取值范围 .
(4)写出方程ax2 + bx + c = -6的实数根.
(5)若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根,写出k的取值范围 .
分析 求方程ax2 + bx + c = 0的两个根其实就是求二次函数ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图像与x轴的交点,而不等式ax2 + bx + c > 0的解集就是看函数图像在x轴上方部分对应的自变量的取值范围,方程ax2 + bx + c = -6的实数根就是函数图像与直线x = -6的交点对应的横坐标. 这道题巧妙地把函数、方程以及不等式结合起来.
二、化复杂问题为简单问题
例2 解方程:2(x - 1)2 - 5(x - 1) + 2 = 0.
解 令y = x - 1,则2y2 - 5y + 2 = 0.
所以y1 = 2或y2 = ,即x - 1 = 2或x - 1 =
所以x = 3或x = ,故原方程的解为x = 3或x =
点拨 很显然,此为解关于x - 1的一元二次方程.如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦,所以可根据方程的特点,将(x - 1)设为y,这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程,问题就简单化了.
三 将一般性的问题转化为直观的特殊的问题
例3 △ABC中,BC = a,AC = b,AB = c. 若∠C = 90°,如图2,根据勾股定理,则a2 + b2 = c2. 若△ABC不是直角三角形,如图3和图4,请你类比勾股定理,试猜想a2 + b2与c2的关系,并证明你的结论.
证明 在图3和图4中,过B作BD⊥AC,交AC或AC的延长线于D,如图5和图6.
在图5中,设CD为x,则有BD2 = a2 - x2.
根据勾股定理,得(b - x)2 + a2 - x2 = c2.
即a2 + b2 - 2bx = c2. ∵ b > 0,x > 0,
∴ 2bx > 0,∴ a2 + b2 > c2.
在图6中,同理可得a2 + b2 < c2.
点拨 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识,对于直角三角形的三边具有a2 + b2 = c2的关系,那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢?我们可以通过作高这条辅助线,将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.
四、分类讨论思想
例4 解不等式:(m + 1)x > m2 - 1.
分析 如果不区分m + 1 > 0或m + 1 < 0,得x > m - 1,那就不对了,因为既可以m + 1 > 0,或m + 1 = 0,也可以m + 1 < 0. 不同的情况下有不同的答案.
解 当m + 1 > 0,即m > -1时,则x > = m - 1.
当m + 1 = 0,即m = -1时,原不等式为0·x > 0,故不等式无解.
当m + 1 < 0,即m < -1时,则x < = m - 1.
说明 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果,故需要对其进行分类讨论.
化归策略是数学解题的基本方法之一,但为了更好地把握住化归方向,我们必须遵循一些化归的基本原则. 化归的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则. 在解决实际问题时,可以而且必须结合起来使用,这样才能收到更好的化归效果.
【参考文献】
[1]张维忠,著.数学文化与数学课程.上海:上海教育出版社,1999.9.
[2]毛永聪,主编.中学数学创新教法——思维训练方案. 北京:学苑出版社,1999.6.
【关键词】 转化;化归
所谓“化归”,从字面上看,可理解为转化和归结的意思. 数学解题中所论及的“化归方法”,是指把待解决或未解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题上去,最终求得原问题之解答的一种手段和方法. 转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化. 掌握化归这一思想,学会用化归的策略分析问题和处理问题,有着十分重要的意义. 下面从四个不同的方面浅析这种方法的妙用. 一、函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化
函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.
例1 二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图像如图1所示,根据图像解答下列问题:
(1)写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根 .
(2)写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集 .
(3)写出y随x的减小而增大的自变量x的取值范围 .
(4)写出方程ax2 + bx + c = -6的实数根.
(5)若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根,写出k的取值范围 .
分析 求方程ax2 + bx + c = 0的两个根其实就是求二次函数ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图像与x轴的交点,而不等式ax2 + bx + c > 0的解集就是看函数图像在x轴上方部分对应的自变量的取值范围,方程ax2 + bx + c = -6的实数根就是函数图像与直线x = -6的交点对应的横坐标. 这道题巧妙地把函数、方程以及不等式结合起来.
二、化复杂问题为简单问题
例2 解方程:2(x - 1)2 - 5(x - 1) + 2 = 0.
解 令y = x - 1,则2y2 - 5y + 2 = 0.
所以y1 = 2或y2 = ,即x - 1 = 2或x - 1 =
所以x = 3或x = ,故原方程的解为x = 3或x =
点拨 很显然,此为解关于x - 1的一元二次方程.如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦,所以可根据方程的特点,将(x - 1)设为y,这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程,问题就简单化了.
三 将一般性的问题转化为直观的特殊的问题
例3 △ABC中,BC = a,AC = b,AB = c. 若∠C = 90°,如图2,根据勾股定理,则a2 + b2 = c2. 若△ABC不是直角三角形,如图3和图4,请你类比勾股定理,试猜想a2 + b2与c2的关系,并证明你的结论.
证明 在图3和图4中,过B作BD⊥AC,交AC或AC的延长线于D,如图5和图6.
在图5中,设CD为x,则有BD2 = a2 - x2.
根据勾股定理,得(b - x)2 + a2 - x2 = c2.
即a2 + b2 - 2bx = c2. ∵ b > 0,x > 0,
∴ 2bx > 0,∴ a2 + b2 > c2.
在图6中,同理可得a2 + b2 < c2.
点拨 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识,对于直角三角形的三边具有a2 + b2 = c2的关系,那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢?我们可以通过作高这条辅助线,将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.
四、分类讨论思想
例4 解不等式:(m + 1)x > m2 - 1.
分析 如果不区分m + 1 > 0或m + 1 < 0,得x > m - 1,那就不对了,因为既可以m + 1 > 0,或m + 1 = 0,也可以m + 1 < 0. 不同的情况下有不同的答案.
解 当m + 1 > 0,即m > -1时,则x > = m - 1.
当m + 1 = 0,即m = -1时,原不等式为0·x > 0,故不等式无解.
当m + 1 < 0,即m < -1时,则x < = m - 1.
说明 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果,故需要对其进行分类讨论.
化归策略是数学解题的基本方法之一,但为了更好地把握住化归方向,我们必须遵循一些化归的基本原则. 化归的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则. 在解决实际问题时,可以而且必须结合起来使用,这样才能收到更好的化归效果.
【参考文献】
[1]张维忠,著.数学文化与数学课程.上海:上海教育出版社,1999.9.
[2]毛永聪,主编.中学数学创新教法——思维训练方案. 北京:学苑出版社,1999.6.