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摘 要:二次函数是高考数学的重头戏. 本文从函数概念出发,对二次函数的单调性、最值与图象做了研究,并通过这些研究,说明其可以准确反映学生的数学思维.
关键词:二次函数;研究
在历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位,而其中的二次函数犹如一根红线贯穿其中. 在初中教材中,对二次函数作了详细的研究,由于初中学生理解能力较差,又受其接受能力的限制,对这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解. 进入高中以后,对二次函数的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、对称性、有界性)的理解提出了更高的要求. 作为最基本的幂函数,可以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编出灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力,使其成为高考数学的必考内容.
进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生对函数的一些理解,特别是以二次函数为例更深层次地认识函数. 二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A中的元素x对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型Ⅰ:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1). 这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值.
类型Ⅱ:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x).这个问题理解为,已知在对应法则f下,元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则. 一般有两种方法:(1)把所给表达式表示成x+1的多项式,f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6;(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都适用,令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,从而f(x)=x2-6x+6.
二次函数的单调性、最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞,-及-,+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习函数单调性.
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性.
(1)y=x2+2x-1-1;(2)y=x2-1;(3)=x2+2x-1.
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系,把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象,通过图象去研究函数的单调性.
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上要么只有最小值,要么只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习. 如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域.
二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅳ:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0 解题思路:本题要证明的是x (1)先证明x 因为00,又a>0,因此F(x)>0,即f(x)-x>0.
至此,证得x 根据韦达定理,有x1x2=. 因为0f(0),所以当x∈(0,x1)时f(x) (2)因为f(x)=ax2+bx+c=ax++c-(a>0).
函数f(x)的图象的对称轴为直线x= -,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-. 因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-. 因为x2-<0,所以x0=-=x1+x2-<,即x0<.
二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入.?摇
关键词:二次函数;研究
在历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位,而其中的二次函数犹如一根红线贯穿其中. 在初中教材中,对二次函数作了详细的研究,由于初中学生理解能力较差,又受其接受能力的限制,对这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解. 进入高中以后,对二次函数的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、对称性、有界性)的理解提出了更高的要求. 作为最基本的幂函数,可以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编出灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力,使其成为高考数学的必考内容.
进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生对函数的一些理解,特别是以二次函数为例更深层次地认识函数. 二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A中的元素x对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型Ⅰ:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1). 这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值.
类型Ⅱ:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x).这个问题理解为,已知在对应法则f下,元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则. 一般有两种方法:(1)把所给表达式表示成x+1的多项式,f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6;(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都适用,令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,从而f(x)=x2-6x+6.
二次函数的单调性、最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞,-及-,+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习函数单调性.
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性.
(1)y=x2+2x-1-1;(2)y=x2-1;(3)=x2+2x-1.
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系,把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象,通过图象去研究函数的单调性.
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上要么只有最小值,要么只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习. 如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域.
二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅳ:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0
至此,证得x
函数f(x)的图象的对称轴为直线x= -,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-. 因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-. 因为x2-<0,所以x0=-=x1+x2-<,即x0<.
二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入.?摇