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【摘要】数学变式既是一种重要的数学思维方式，也是一种重要的数学学习策略。数学变式能引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，有利于学生掌握数学对象的本质特征，有利于学生从整体上把握数学知识之间的内在联系，有利于培养学生的数学核心素养。
【关键词】数学变式；学习策略；核心素养
在数学学习中，教师运用变式学习策略引导学生从不同的层面、不同的背景和不同的角度，不断地变化数学学习对象的形式，运用分析、比较、抽象、概括、归纳、类比等思维方式对数学对象的本质特征和外延属性进行深入挖掘，有利于学生掌握数学对象的本质特征，有利于学生从整体上把握数学知识之间的内在联系，使学生的思维不断走向深入。
一、数学变式学习策略的内涵
数学变式是指相对于某种范式（即数学知识结构、数学思维模式、数学问题模型等）的变化形式。它是在确保数学对象的本质特征不变的情况下，通过不断变化数学对象的基本形式，使数学对象的非本质特征不断迁移的变化方式。
所谓数学变式学习策略，就是运用数学變式的思维方式进行数学学习的策略，即通过不断地变化数学对象的基本形式，掌握数学对象本质的数学学习策略。
数学变式既是一种重要的数学思维方式，也是一种重要的数学学习策略，是学生在主动对数学对象的基本形式进行变化的过程中，探求新的形式、新的结论或者新旧形式（或结论）之间联系的一种自主学习，是一种探究性学习。变式中的“变”，可以变换数学概念、性质、定理、公式的表达方式，变化问题的条件、问题的情境或者问题的结论，也可以变更元素、范围，还可以变换理解问题、思考问题的角度，使其条件、结论的形式或内容发生变化，而本质特征保持不变。
二、数学变式学习策略的类型
我们可以简单地把数学变式学习策略按照变化的内容分为以下三类：数学概念的变式学习、数学公式定理的变式学习、数学问题解决的变式学习。数学思想方法与数学思维的学习蕴含在数学知识学习的过程之中。
1.数学概念的变式学习
数学概念的变式学习包括数学概念表述的变式学习、数学概念辨析的变式学习、数学概念深化的变式学习和数学概念应用的变式学习等。
案例 1棱柱概念的变式学习
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，如图1所示。两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点。
变式1判断下列说法是否正确。
① 棱柱的各个侧面都是平行四边形；
② 一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；
③ 棱柱的两个底面是全等的多边形；
④ 如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形。
解析：① 由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，各侧面都是平行四边形，所以 ① 正确。
② 一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个顶点，棱柱的顶点数是2n个，所以 ② 正确。
③ 因为在同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等，所以 ③ 正确。
④ 如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证该侧面的侧棱垂直于底边，其余各侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形，所以 ④ 错误。
因此，① ② ③ 正确，④ 错误。
点评：解决这类关于棱柱概念命题真假的判断题，要抓住棱柱概念的两个本质特征：有两个面互相平行；其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。学生必须对具体棱柱模型进行观察、分析，依据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理，在严密推理的基础上做出判断。在这样的观察、分析、推理、判断的过程中，学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养得到培养。
变式2有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
解析：不一定。如图2所示的几何体，面ABC∥面A1B1C1，但是边BF与B1F不平行，所以图2中的几何体不是棱柱。
点评：本题是通过构造反例证否的典型问题。问题中的条件只是概念中的部分本质特征而不是全部本质特征，构造反例时要抓住遗漏的本质特征，发挥空间想象力构造图形。同时，反例是一种非常重要的数学模型，有时具有唯一性，不易想到。可见这类变式学习有利于培养学生直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养。
变式3如图3，在一个长方体的容器中装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
① 水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
② 水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
③ 如果长方体倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第 ① 问和第 ② 问对不对？
解析：① 不对。水面的形状就是一个与固定棱平行的平面截长方体，截面的形状可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形。
② 不对。水的形状就是用与固定棱平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱；水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥。
③ 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱、棱台，也可以是其他几何体。
点评：本题中的“变”是将静态问题转变为动态问题，其本质是用不同的平面去截长方体，判断剩余几何体的形状。判断时要以相关概念的本质特征为依据，紧扣相关几何体的具体模型，充分发挥空间想象力，进行严密推理。这类变式学习有利于培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养。
2.数学公式定理的变式学习
数学公式定理的变式学习，包括数学公式定理条件的变式学习、数学公式定理表述方式的变式学习、数学公式定理证明方法的变式学习、数学公式定理应用的变式学习、数学公式定理结论的变式学习（主要有特殊化与一般化两类），以及相关数学公式定理之间联系的变式学习等。
学生通过对数学公式定理的变式学习，能够在文字语言、符号语言、图形语言之间进行转换，能强化对公式定理适用范围和条件的学习，能掌握公式定理不同的证明方法和相关公式定理之间的联系，培养逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养。
案例2 柯西不等式的变式学习
柯西不等式非常重要，应用它可以灵活求解不等式、解三角形、求函数最值、解方程等。人教版高中数学把柯西不等式放在教材选修4-5不等式部分，包括二维形式、三维形式和一般形式，与排序不等式一起进行学习，内容安排丰富、系统，训练类型齐全，运用灵活多样。但是，由于是选修的最后一个内容，在高考中是选考内容，而且只考二维形式，因此在实际教学中师生投入的时间和精力不多，如蜻蜓点水般地过一遍，没有充分发挥知识交汇点在学习中的统领作用。二维柯西不等式在不同的数学分支中有不同的表现形式，是一个重要的知识交汇点。二维柯西不等式的变式学习有利于高屋建瓴地把握数学知识，有利于培养学生的数学核心素养。以代数形式为例，对柯西不等式的多种证明方法可以进行一题多解（证）训练，既有利于学生系统掌握证明不等式的基本方法，又有利于培养学生逻辑推理的核心素养。
【关键词】数学变式；学习策略；核心素养
在数学学习中，教师运用变式学习策略引导学生从不同的层面、不同的背景和不同的角度，不断地变化数学学习对象的形式，运用分析、比较、抽象、概括、归纳、类比等思维方式对数学对象的本质特征和外延属性进行深入挖掘，有利于学生掌握数学对象的本质特征，有利于学生从整体上把握数学知识之间的内在联系，使学生的思维不断走向深入。
一、数学变式学习策略的内涵
数学变式是指相对于某种范式（即数学知识结构、数学思维模式、数学问题模型等）的变化形式。它是在确保数学对象的本质特征不变的情况下，通过不断变化数学对象的基本形式，使数学对象的非本质特征不断迁移的变化方式。
所谓数学变式学习策略，就是运用数学變式的思维方式进行数学学习的策略，即通过不断地变化数学对象的基本形式，掌握数学对象本质的数学学习策略。
数学变式既是一种重要的数学思维方式，也是一种重要的数学学习策略，是学生在主动对数学对象的基本形式进行变化的过程中，探求新的形式、新的结论或者新旧形式（或结论）之间联系的一种自主学习，是一种探究性学习。变式中的“变”，可以变换数学概念、性质、定理、公式的表达方式，变化问题的条件、问题的情境或者问题的结论，也可以变更元素、范围，还可以变换理解问题、思考问题的角度，使其条件、结论的形式或内容发生变化，而本质特征保持不变。
二、数学变式学习策略的类型
我们可以简单地把数学变式学习策略按照变化的内容分为以下三类：数学概念的变式学习、数学公式定理的变式学习、数学问题解决的变式学习。数学思想方法与数学思维的学习蕴含在数学知识学习的过程之中。
1.数学概念的变式学习
数学概念的变式学习包括数学概念表述的变式学习、数学概念辨析的变式学习、数学概念深化的变式学习和数学概念应用的变式学习等。
案例 1棱柱概念的变式学习
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，如图1所示。两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点。
变式1判断下列说法是否正确。
① 棱柱的各个侧面都是平行四边形；
② 一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；
③ 棱柱的两个底面是全等的多边形；
④ 如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形。
解析：① 由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，各侧面都是平行四边形，所以 ① 正确。
② 一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个顶点，棱柱的顶点数是2n个，所以 ② 正确。
③ 因为在同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等，所以 ③ 正确。
④ 如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证该侧面的侧棱垂直于底边，其余各侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形，所以 ④ 错误。
因此，① ② ③ 正确，④ 错误。
点评：解决这类关于棱柱概念命题真假的判断题，要抓住棱柱概念的两个本质特征：有两个面互相平行；其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。学生必须对具体棱柱模型进行观察、分析，依据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理，在严密推理的基础上做出判断。在这样的观察、分析、推理、判断的过程中，学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养得到培养。
变式2有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
解析：不一定。如图2所示的几何体，面ABC∥面A1B1C1，但是边BF与B1F不平行，所以图2中的几何体不是棱柱。
点评：本题是通过构造反例证否的典型问题。问题中的条件只是概念中的部分本质特征而不是全部本质特征，构造反例时要抓住遗漏的本质特征，发挥空间想象力构造图形。同时，反例是一种非常重要的数学模型，有时具有唯一性，不易想到。可见这类变式学习有利于培养学生直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养。
变式3如图3，在一个长方体的容器中装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
① 水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
② 水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
③ 如果长方体倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第 ① 问和第 ② 问对不对？
解析：① 不对。水面的形状就是一个与固定棱平行的平面截长方体，截面的形状可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形。
② 不对。水的形状就是用与固定棱平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱；水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥。
③ 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱、棱台，也可以是其他几何体。
点评：本题中的“变”是将静态问题转变为动态问题，其本质是用不同的平面去截长方体，判断剩余几何体的形状。判断时要以相关概念的本质特征为依据，紧扣相关几何体的具体模型，充分发挥空间想象力，进行严密推理。这类变式学习有利于培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养。
2.数学公式定理的变式学习
数学公式定理的变式学习，包括数学公式定理条件的变式学习、数学公式定理表述方式的变式学习、数学公式定理证明方法的变式学习、数学公式定理应用的变式学习、数学公式定理结论的变式学习（主要有特殊化与一般化两类），以及相关数学公式定理之间联系的变式学习等。
学生通过对数学公式定理的变式学习，能够在文字语言、符号语言、图形语言之间进行转换，能强化对公式定理适用范围和条件的学习，能掌握公式定理不同的证明方法和相关公式定理之间的联系，培养逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养。
案例2 柯西不等式的变式学习
柯西不等式非常重要，应用它可以灵活求解不等式、解三角形、求函数最值、解方程等。人教版高中数学把柯西不等式放在教材选修4-5不等式部分，包括二维形式、三维形式和一般形式，与排序不等式一起进行学习，内容安排丰富、系统，训练类型齐全，运用灵活多样。但是，由于是选修的最后一个内容，在高考中是选考内容，而且只考二维形式，因此在实际教学中师生投入的时间和精力不多，如蜻蜓点水般地过一遍，没有充分发挥知识交汇点在学习中的统领作用。二维柯西不等式在不同的数学分支中有不同的表现形式，是一个重要的知识交汇点。二维柯西不等式的变式学习有利于高屋建瓴地把握数学知识，有利于培养学生的数学核心素养。以代数形式为例，对柯西不等式的多种证明方法可以进行一题多解（证）训练，既有利于学生系统掌握证明不等式的基本方法，又有利于培养学生逻辑推理的核心素养。