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【摘 要】 本文從五个方面论述了怎样在数学课堂教学中引导学生进行反思性学习。并结合具体的实例进行了有效的论证，对新课标的教学具有指导意义。
【关键词】 引导 课堂教学 反思性学习 思想方法
课堂教学是开展反思性数学学习的主渠道。在数学课堂教学中有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习，培养学生反省思维能力，养成反思习惯。一般应从以下几个方面引导学生积极进行反思。
一、引导学生对数学概念进行反思性学习
数学概念一般是以准确而精炼的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征，是学生进行数学思维的核心。教师引导学生积极反思概念形成的过程，多问几个为什么？例如对“函数”定义的理解，可提出反思性学习提纲：①研究对象是什么？②研究对象之间有什么关系？③X的值与Y的值如何对应？④有了上述对应关系后，Y和X间的这种关系叫做什么关系？经过反思深化学生对初中函数定义的理解，并在头脑中对函数的定义形成较完整的概念，在此基础上总结出“函数定义的本质是两个非空实数集之间的单值对应关系。”乘势再引导学生对函数进一步的反思，就会对函数定义的内涵有更深刻的认识。如：函数的定义域、值域所涉及的集合，可以是整数集、实数集，可以是平面上点集，可以是几何图形等；函数的对应法则，可以用文字语言进行描述；可以是一个统一的解析式，也可以是分段式表示；可以是列表或图像的形式等。这样可以提高对函数关系本质属性的认识水平，深化学生的知识建构。教师还应重视引导学生对相似的概念之间不同结构与本质区别的反思，有利于提高学生数学思维能力。
二、引导学生在解题教学中进行反思性学习
解题教学的反思一种是对正确解题的反思，另一种是对错误解题的反思。解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上，引导学生反思解题思路，根据题目的基本特征，进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去探索更好、更简便的解题途径。通过一题多解训练学生的发散性思维，优化思维品质。其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题。通过多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。最后，还需引导学生思考：解题结果是否合理？解题过程有没有漏洞？这样，不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展思维，培养探索能力，引发再创造。课堂教学中要创设情景，加强对课本例习题反思，引导学生进行类比和归纳，引发他们的猜想，发展他们发现、探索的解题能力，培养反思习惯。通过错例教学引导学生进行反思时常用的策略。教师可以有意识地设置解题陷阱，让学生陷进去，把典型错误暴露出来，引导学生积极思考，探索出正确的解题途径，是消除错误的有效方法。联合国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“①应当研究学生所犯的错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段；②在学生检查和改正自己的错误的实践中进行练习；③教师应当利用学生所犯的错误来促进他们加深对数学要素和规律性的理解。”
案例1：一道题的反思题目：点M与椭圆■+■=1的左焦点和右焦点的距离的比是2：3，求点M的轨迹方程。
大多数学生的作业是这样做的：设点M的坐标为（x，y），由题意得：……
在学生解答的基础上引导学生观察：椭圆的长半轴a=13，短半轴b=12，半焦距c=5，好像与上面的圆方程在数字上有联系。当学生处于“愤悱”状态时，引导学生计算（a-c）/b=？此时有同学兴奋地发现，此比值恰与点M到两焦点的距离之比相等，此圆的圆心恰与椭圆的左顶点（-a，0）重合，且半径恰好等于b。至此，已有同学按捺不住指出：到椭圆x2/a2+y2/b2=1 （a>b>0）两焦点的距离的比等于（a-c）/b的动点轨迹是以椭圆的长轴端点为圆心，短半轴长为半径的圆。我乘势问了一句：这样的圆有几个？当时有同学说是一个，有的说是两个；在此基础上，教师与学生共同证明了两个圆。
数学解题过程中的自我调控，解题后的反思，能强化自我评价意识和优化思维的批判性品质，能够加强对知识的理解，进而形成知识体系，优化认知结构；培养创新意识。在数学解题教学中我们经常从以下几个方面入手引导学生进行反思性学习：①每一步都有据可依吗？结论是否合理？②本题涉及了哪些基础知识，关键在哪里？③基本方法的应用是否正确和合理？方法还能优化吗？④此题是否能进行变式、引申和推广？⑤本题涉及了哪些数学思想方法？
案例2：已知平面上的三点A，B，C，向量■=（2-k，3）；■=（2，4）。
①若三点A，B，C不能够成三角形，求实数k应满足的条件；
②若△ABC为直角三角形，求k的值。
错解：
①三点A，B，C不能够成三角形，得A，B，C三点在同一条直线上，即向量■∥■。
∵■∥■
∴ 4（2-k）-2×3=0
∴ k=■
②∵ ■=（2-k，3）
∴ ■=（k-2，-3）
∴ ■=■+■=（k，1）
∵△ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，■⊥■，即■·■=0。
∴ 2k+4=0
解得k=-2
错因：因■和■已知，则可得■（含k的式子），若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k的值。
正确解法：
①由三点A，B，C不能够成三角形，得A，B，C三点在同一条直线上，即向量■∥■。
∵ ■∥■
∴ 4（2-k）-2×3=0
∴ k=■
②∵ ■=（2-k，3） ∴ ■=（k-2，-3）
∴ ■=■+■=（k，1）
∵ △ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ 2k+4=0
解得k=-2
当∠ABC是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ k2-2k-3=0
解得k=3或k=-1
当∠ACB是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ 16-2k=0
解得k=8
综合上述得k得取值为-2，-1，3，8。
解答完本题后引导学生反思，本题的错误非常典型，造成错误的主要原因就是思维定势所致。第①问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去；第②问，由于思维定势，误认为一定为直角，從而使解答不完整。在教学中这样的反思使学生进一步内化概念的本质属性，也使学生的思维品质得到优化
三、引导学生在单元小结中进行反思性学习
引导学生对一单元的知识、方法进行反思性总结。让学生自行编制知识网络，使知识更加系统化，结构化。而且对单元中隐含的思维特征予以反思，理清思路。反思自己对这一单元中知识的认识是否达到所要求的程度，自己对这些知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺之处，这种欠缺是如何造成的，如果需要补救必须及时进行。例如垂直问题，可引导学生从以下四个方面进行反思：①从定义出发思考；②从低维到高维角度思考；③从高维到低维角度思考；④从同维角度思考。即，线线线垂直←三垂线定理；定义：线面垂直←线面平行；面面垂直←面面平行。这种经过反思总结出来的规律，可降低学习数学的难度，增强学数学的信心，同样可举一反三，触类旁通。通过反思沟通新旧知识的联系，挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移。在单元小结中通过反例方式进行反思训练，诱导学生对自己获得的结论进行反思，“相关结论还有吗？”、“这个结论正确吗？”、“有无反例？”让学生在反思中将新知识得到“内化”、“顺应”，从而建构新的良好的认知结构。这样有利于促进学生养成反思性学习的习惯。
四、引导学生在数学交流中形成反思性学习习惯
数学课堂是一个小型的数学共同体，它应当成为师生交流数学思想的场所。通过数学交流，启发了学生思维和反思，促使学生思维向纵深发展。变换课堂教学的空间形式，将54名学生按男、女生比例、数学基础、认知水平、学习态度、个性心理及学习成绩，分成十个小组。每组选一名组长，按要求程序去操作，布置课前预习，提出要求，看书回答问题，组内循环检查与议论，并确定中心发言人，向全班交流学习结果。在数学交流过程中，教师可采用“因果设问与反思、比较设问与反思、变化设问与反思、正误设问与反思、转化设问与反思”等方法，营造探求、反思的数学交流氛围。使学生在交流中学会反思与推理，以使达到理性交流层次。
案例3：等比数列的前n项和公式的推导。
通过学生自主学习、探索、组内讨论，交流、展示学习成果：
学生甲：由a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，相加得：a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1），即Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），所以，Sn=■。
学生乙：受学生甲的想法n个式子纵向相加的启发，想到将？中n个式子的分子、分母横向相加，从而联想到等比定理，再利用方程的思想得到Sn的表达式。
学生丙：类比等差数列求前n项和公式的推导中对消n-2个项方法，故联想到方程组中的加减消元法，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1……①，将①式两边乘以q，组成方程组，消去①中的n-2项，进而得到Sn的表达式。
其实一个人内心的反思，常常是被别人反思成果激发的。因而，从数学交流的那一刻起，反思就每时每刻伴随着数学学习的全过程，学生认知正是通过内化与外显的多次交替逐渐发展、完善的。学生在交流中表现着主体性，学生主体的发挥又反过来促进思维的发展，去满足学生对知识的不懈追求。
五、引导学生对数学课堂内容进行反思性学习
课堂是学生获取知识的主要场所，但许多数学知识仅凭课堂专心听讲是难以真正做到理解和掌握的，还必须经过反思这一环节得以消化、吸收。课堂笔记则是反思性学习的基础，因而教师要引导学生做好课堂笔记，记重点、记难点、记疑点，倡导学生及时整理笔记，课后通过阅读笔记，再沿着教师讲解的内容、思路或方法对其反思，认真消化，把教师解决问题的思想方法及对问题的认识转化为自己的学习过程，并在反思课堂内容的基础上进行再创造。如学生在整理“等差数列、等比数列”笔记时，经过逆向反思，推出了满足an+an+1=S（常数）、an·an+1=p（常数）的数列{an}，即等和数列、等积数列。这样不仅能够巩固、掌握好知识，为以后进一步学习铺平一条可持续发展之路，而且能培养学生探求、创新的欲望。
在数学教学中引进反思性学习，为学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式，为学生的学习注入了活力，适应新课程改革的要求。让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，发展数学思维能力，培养反思习惯和创新意识，提高数学素质。
学生学习的反思与教师的反思性教学是相统一的，都是新课程的精神。培养学生在数学学习中的反思性学习，有利于提高学生的数学成绩，反思性学习的形成要靠教师正确地引导和培养，才能够让学生逐步形成一种反思的意识和习惯，并在学习中自觉地、积极地进行反思。通过反思性学习，可以培养学生的自主学习能力，体现学生的主体地位，提高学习效率，真正达到“学会学习”的目的。
参考文献
1 钟启泉.数学课程与教学论.浙江教育出版社，2003.9
2 连四清等.中学数学学困生题后反思的元认知技能培训.中学数学
教与学[J]，2005.9
3 钱珮玲.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出系，2008.8.2
4 王尚志.数学教学研究与案例.高等教育出版社，2006.12
【关键词】 引导 课堂教学 反思性学习 思想方法
课堂教学是开展反思性数学学习的主渠道。在数学课堂教学中有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习，培养学生反省思维能力，养成反思习惯。一般应从以下几个方面引导学生积极进行反思。
一、引导学生对数学概念进行反思性学习
数学概念一般是以准确而精炼的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征，是学生进行数学思维的核心。教师引导学生积极反思概念形成的过程，多问几个为什么？例如对“函数”定义的理解，可提出反思性学习提纲：①研究对象是什么？②研究对象之间有什么关系？③X的值与Y的值如何对应？④有了上述对应关系后，Y和X间的这种关系叫做什么关系？经过反思深化学生对初中函数定义的理解，并在头脑中对函数的定义形成较完整的概念，在此基础上总结出“函数定义的本质是两个非空实数集之间的单值对应关系。”乘势再引导学生对函数进一步的反思，就会对函数定义的内涵有更深刻的认识。如：函数的定义域、值域所涉及的集合，可以是整数集、实数集，可以是平面上点集，可以是几何图形等；函数的对应法则，可以用文字语言进行描述；可以是一个统一的解析式，也可以是分段式表示；可以是列表或图像的形式等。这样可以提高对函数关系本质属性的认识水平，深化学生的知识建构。教师还应重视引导学生对相似的概念之间不同结构与本质区别的反思，有利于提高学生数学思维能力。
二、引导学生在解题教学中进行反思性学习
解题教学的反思一种是对正确解题的反思，另一种是对错误解题的反思。解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上，引导学生反思解题思路，根据题目的基本特征，进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去探索更好、更简便的解题途径。通过一题多解训练学生的发散性思维，优化思维品质。其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题。通过多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。最后，还需引导学生思考：解题结果是否合理？解题过程有没有漏洞？这样，不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展思维，培养探索能力，引发再创造。课堂教学中要创设情景，加强对课本例习题反思，引导学生进行类比和归纳，引发他们的猜想，发展他们发现、探索的解题能力，培养反思习惯。通过错例教学引导学生进行反思时常用的策略。教师可以有意识地设置解题陷阱，让学生陷进去，把典型错误暴露出来，引导学生积极思考，探索出正确的解题途径，是消除错误的有效方法。联合国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“①应当研究学生所犯的错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段；②在学生检查和改正自己的错误的实践中进行练习；③教师应当利用学生所犯的错误来促进他们加深对数学要素和规律性的理解。”
案例1：一道题的反思题目：点M与椭圆■+■=1的左焦点和右焦点的距离的比是2：3，求点M的轨迹方程。
大多数学生的作业是这样做的：设点M的坐标为（x，y），由题意得：……
在学生解答的基础上引导学生观察：椭圆的长半轴a=13，短半轴b=12，半焦距c=5，好像与上面的圆方程在数字上有联系。当学生处于“愤悱”状态时，引导学生计算（a-c）/b=？此时有同学兴奋地发现，此比值恰与点M到两焦点的距离之比相等，此圆的圆心恰与椭圆的左顶点（-a，0）重合，且半径恰好等于b。至此，已有同学按捺不住指出：到椭圆x2/a2+y2/b2=1 （a>b>0）两焦点的距离的比等于（a-c）/b的动点轨迹是以椭圆的长轴端点为圆心，短半轴长为半径的圆。我乘势问了一句：这样的圆有几个？当时有同学说是一个，有的说是两个；在此基础上，教师与学生共同证明了两个圆。
数学解题过程中的自我调控，解题后的反思，能强化自我评价意识和优化思维的批判性品质，能够加强对知识的理解，进而形成知识体系，优化认知结构；培养创新意识。在数学解题教学中我们经常从以下几个方面入手引导学生进行反思性学习：①每一步都有据可依吗？结论是否合理？②本题涉及了哪些基础知识，关键在哪里？③基本方法的应用是否正确和合理？方法还能优化吗？④此题是否能进行变式、引申和推广？⑤本题涉及了哪些数学思想方法？
案例2：已知平面上的三点A，B，C，向量■=（2-k，3）；■=（2，4）。
①若三点A，B，C不能够成三角形，求实数k应满足的条件；
②若△ABC为直角三角形，求k的值。
错解：
①三点A，B，C不能够成三角形，得A，B，C三点在同一条直线上，即向量■∥■。
∵■∥■
∴ 4（2-k）-2×3=0
∴ k=■
②∵ ■=（2-k，3）
∴ ■=（k-2，-3）
∴ ■=■+■=（k，1）
∵△ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，■⊥■，即■·■=0。
∴ 2k+4=0
解得k=-2
错因：因■和■已知，则可得■（含k的式子），若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k的值。
正确解法：
①由三点A，B，C不能够成三角形，得A，B，C三点在同一条直线上，即向量■∥■。
∵ ■∥■
∴ 4（2-k）-2×3=0
∴ k=■
②∵ ■=（2-k，3） ∴ ■=（k-2，-3）
∴ ■=■+■=（k，1）
∵ △ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ 2k+4=0
解得k=-2
当∠ABC是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ k2-2k-3=0
解得k=3或k=-1
当∠ACB是直角时，■⊥■，即■·■=0
∴ 16-2k=0
解得k=8
综合上述得k得取值为-2，-1，3，8。
解答完本题后引导学生反思，本题的错误非常典型，造成错误的主要原因就是思维定势所致。第①问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去；第②问，由于思维定势，误认为一定为直角，從而使解答不完整。在教学中这样的反思使学生进一步内化概念的本质属性，也使学生的思维品质得到优化
三、引导学生在单元小结中进行反思性学习
引导学生对一单元的知识、方法进行反思性总结。让学生自行编制知识网络，使知识更加系统化，结构化。而且对单元中隐含的思维特征予以反思，理清思路。反思自己对这一单元中知识的认识是否达到所要求的程度，自己对这些知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺之处，这种欠缺是如何造成的，如果需要补救必须及时进行。例如垂直问题，可引导学生从以下四个方面进行反思：①从定义出发思考；②从低维到高维角度思考；③从高维到低维角度思考；④从同维角度思考。即，线线线垂直←三垂线定理；定义：线面垂直←线面平行；面面垂直←面面平行。这种经过反思总结出来的规律，可降低学习数学的难度，增强学数学的信心，同样可举一反三，触类旁通。通过反思沟通新旧知识的联系，挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移。在单元小结中通过反例方式进行反思训练，诱导学生对自己获得的结论进行反思，“相关结论还有吗？”、“这个结论正确吗？”、“有无反例？”让学生在反思中将新知识得到“内化”、“顺应”，从而建构新的良好的认知结构。这样有利于促进学生养成反思性学习的习惯。
四、引导学生在数学交流中形成反思性学习习惯
数学课堂是一个小型的数学共同体，它应当成为师生交流数学思想的场所。通过数学交流，启发了学生思维和反思，促使学生思维向纵深发展。变换课堂教学的空间形式，将54名学生按男、女生比例、数学基础、认知水平、学习态度、个性心理及学习成绩，分成十个小组。每组选一名组长，按要求程序去操作，布置课前预习，提出要求，看书回答问题，组内循环检查与议论，并确定中心发言人，向全班交流学习结果。在数学交流过程中，教师可采用“因果设问与反思、比较设问与反思、变化设问与反思、正误设问与反思、转化设问与反思”等方法，营造探求、反思的数学交流氛围。使学生在交流中学会反思与推理，以使达到理性交流层次。
案例3：等比数列的前n项和公式的推导。
通过学生自主学习、探索、组内讨论，交流、展示学习成果：
学生甲：由a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，相加得：a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1），即Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），所以，Sn=■。
学生乙：受学生甲的想法n个式子纵向相加的启发，想到将？中n个式子的分子、分母横向相加，从而联想到等比定理，再利用方程的思想得到Sn的表达式。
学生丙：类比等差数列求前n项和公式的推导中对消n-2个项方法，故联想到方程组中的加减消元法，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1……①，将①式两边乘以q，组成方程组，消去①中的n-2项，进而得到Sn的表达式。
其实一个人内心的反思，常常是被别人反思成果激发的。因而，从数学交流的那一刻起，反思就每时每刻伴随着数学学习的全过程，学生认知正是通过内化与外显的多次交替逐渐发展、完善的。学生在交流中表现着主体性，学生主体的发挥又反过来促进思维的发展，去满足学生对知识的不懈追求。
五、引导学生对数学课堂内容进行反思性学习
课堂是学生获取知识的主要场所，但许多数学知识仅凭课堂专心听讲是难以真正做到理解和掌握的，还必须经过反思这一环节得以消化、吸收。课堂笔记则是反思性学习的基础，因而教师要引导学生做好课堂笔记，记重点、记难点、记疑点，倡导学生及时整理笔记，课后通过阅读笔记，再沿着教师讲解的内容、思路或方法对其反思，认真消化，把教师解决问题的思想方法及对问题的认识转化为自己的学习过程，并在反思课堂内容的基础上进行再创造。如学生在整理“等差数列、等比数列”笔记时，经过逆向反思，推出了满足an+an+1=S（常数）、an·an+1=p（常数）的数列{an}，即等和数列、等积数列。这样不仅能够巩固、掌握好知识，为以后进一步学习铺平一条可持续发展之路，而且能培养学生探求、创新的欲望。
在数学教学中引进反思性学习，为学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式，为学生的学习注入了活力，适应新课程改革的要求。让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，发展数学思维能力，培养反思习惯和创新意识，提高数学素质。
学生学习的反思与教师的反思性教学是相统一的，都是新课程的精神。培养学生在数学学习中的反思性学习，有利于提高学生的数学成绩，反思性学习的形成要靠教师正确地引导和培养，才能够让学生逐步形成一种反思的意识和习惯，并在学习中自觉地、积极地进行反思。通过反思性学习，可以培养学生的自主学习能力，体现学生的主体地位，提高学习效率，真正达到“学会学习”的目的。
参考文献
1 钟启泉.数学课程与教学论.浙江教育出版社，2003.9
2 连四清等.中学数学学困生题后反思的元认知技能培训.中学数学
教与学[J]，2005.9
3 钱珮玲.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出系，2008.8.2
4 王尚志.数学教学研究与案例.高等教育出版社，2006.12