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【内容摘要】数学上解高次方程的基本思想是降次,那么我们该如何降次呢?一、直接开方法;二、配方法;三、求根公式法;四、因式分解法
一元二次方程解法的选择顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法。如何选择合适的方法解一元二次方程呢?其实,形如ax2+bx+c=0(a≠0)方程,我们只需先计算它的b2-4ac,若b2-4ac能开平方开得尽,通常适合因式分解法,开平方开不尽适合求根式公式或配方法。
【关键词】降次 b2-4ac 能否开得尽方 公式变形 整体思想
在我们学习数学的过程中,转化是一种重要的方法。解方程组时,用消元法化多元为一元,转化为我们学过的一元一次方程。那么学习一元二次方程时,我们的基本思想是降次,化二次为一次,那么我们该如何降次呢?
一、直接开平方法
能直接开平方的一元二次方程常见的形式有(1)ax2=p(p≥0),(2)(ax+b)2=p(p≥0),(3)(ax+b)2=(cx+d)2,凡符合这几种形式的,我们可以直接开平方,从而达到降次的目的。
例1 解下列方程:
(1)4x2=25 (2)(3x+2)2=16 (3)(x+3)2=4(x-2)2
解:(1)4x2=25 2x=±5 x=±
5
2
x1=
5
2
x2=-
5
2
(2)(3x+2)2=16 3x+2=4 3x=±4-2 3x=2或3x=-6 x1=
2
3
x2=-2
(3)(x+3)2=4(x-2)2 x+3=±2(x-2) x+3=2(x-2)或x+3=-2(x-2) x+3=2x-4或x+3=-2x+4 x1=7 x2=
1
3
二、配方法
对于任意一个有实数根的一元二次方程,我们都可以通过配方法,转化为能直接开平方的形式,从而达到降次的目的。
例2 用配方法解方程:2x2+5x-3=0
二次项系数化简为“1”得: x2+
5
2
x-
3
2
=0;移项得:x2+
5
2
x=
3
2
;配方得:x2+
5
2
x+
25
16
=
3
2
+
25
16
;分解得:(x+
5
4
)2=
49
16
;開方得:x+
5
4
=±
7
4
; x1=
1
2
x2=-3
因此,我们可以把配方法解一元二次方程的步骤简单概括为:一化,二移,三配,四分,五开,这样用配方法解一元二次方程的问题就迎刃而解。
三、公式法
有了刚才配方的经验,我们可以通过配方法把任何一个有实数根的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化得到求根公式x=,从而代入公
式求出方程的实数根。
例3 用公式法解方程:2x2-7x-4=0
解:a=2、b=7、c=-4 ;b2- 4ac=49+32=81>0;x=;x1=
1
2
x2= -4
对于任意一个有实数根的一元二次方程,我们认为配方与求根公式都是万能的。
四、因式分解法
因式分解法解一元二次方程,是通过因式分解把一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的等号左边的二次式化为两个一次因式积的形式,再根据如果两个因式的积等于零,那么这两个因式中至少有一个为零;反过来如果两个因式中有一个因式为零,那么它们的积就等于零,从而转化为两个一次方程,达到降次的目的。
一般情况下,有公因式的要首先提公因式,最大公因式通常取各项系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积。缺少常数项的一元二次方程,形如ax2+bx =0(a≠0)适合用提公因式法x(ax+b)=0,从而x=0或ax+b=0;缺少一次项的一元二次方程ax2+c=0(a≠0)且ac<0这适合用平方差公式分解;不缺项的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若能因式分解,我们通常考虑提公因式、完全平方公式或十字相乘法来因式分解。
例4 解下列方程:
(1)3x2+4x=0 (2)4x2-9=0 (3)4x2+12x+9=0 (4)x2+6x-16=0
解:(1)3x2+4x=0 X(3x+4)=0 x=o或3x+4=0 x1=0 x2=-
4
3
(2)4x2-9=0 (2x+3)(2x-3)=0 2x+3=0或2x-3=0 x1=-
3
2
x2=
3
2
(3)4x2+12x+9=0 (2x+3)2=0 2x+3=0 x1=x2=-
3
2
(4)x2+6x-16=0 (x+8)(x-2)=0 x+8=0或x-2=0 x1=-8 x2=2
我们实际解一元二次方程,解法的一般顺序为(1)直接开平方法;(2)因式分解法;(3)公式法;(4)配方法。究竟选择什么解法合适呢?对于一个一元二次方程,能否用直接开平方法解一目了然,关键是不能直接开平方的一元二次方程,我们如何选择解法,其实也很简单,我们只将方程化为一般形式,ax2+bx+c=0,计算它的b2-4ac,若b2-4ac,能开得尽平方,该方程适合用因式分解法,若开平方开不尽可以选择公式法,通常在指定用配方法的要求下我们才选择配方法。
例5 选择适当的方法解方程:
(1)3x2-10x+3=0
(2)2x2+6x-3=0
分析:观察方程(1),计算b2-4ac=64,能开平方得尽方,所以选择用因式分解法,方程(2)计算b2-4ac=36+24=60开平方开不尽,我们选择公式法。
解:(1)3x2-10x+3=0 (3x-1)(x-3)=0 3x-1=0或x-3=0 x1=
1
3
x 2=3
(2)2x2+6x-3=0 a=2、b=6、
c=-3 x= x1=
x2=
当然,也不是所有的方程配方法都是最麻烦的。
例6 解方程x2-2x-288=0
解:x2-2x-288=0 x2-2x=288 x2-2x+1=289(x-1)2=289 x-1=±17 x1=18 X2=-16
该方程虽然用因式分解法,公式法都能解决,但是配方法也可以视为一个较合适的方法。
在实际的解题过程中,不一定局限于这些方法,结合不同形式的方程,灵活选择合适的方法。
以上是我对一元二次方程解法及解法选择的肤浅认识,在解方程的过程中,我们应该结合方程的特点和自身的实际情况选择合适的解法。
一元二次方程解法的选择顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法。如何选择合适的方法解一元二次方程呢?其实,形如ax2+bx+c=0(a≠0)方程,我们只需先计算它的b2-4ac,若b2-4ac能开平方开得尽,通常适合因式分解法,开平方开不尽适合求根式公式或配方法。
【关键词】降次 b2-4ac 能否开得尽方 公式变形 整体思想
在我们学习数学的过程中,转化是一种重要的方法。解方程组时,用消元法化多元为一元,转化为我们学过的一元一次方程。那么学习一元二次方程时,我们的基本思想是降次,化二次为一次,那么我们该如何降次呢?
一、直接开平方法
能直接开平方的一元二次方程常见的形式有(1)ax2=p(p≥0),(2)(ax+b)2=p(p≥0),(3)(ax+b)2=(cx+d)2,凡符合这几种形式的,我们可以直接开平方,从而达到降次的目的。
例1 解下列方程:
(1)4x2=25 (2)(3x+2)2=16 (3)(x+3)2=4(x-2)2
解:(1)4x2=25 2x=±5 x=±
5
2
x1=
5
2
x2=-
5
2
(2)(3x+2)2=16 3x+2=4 3x=±4-2 3x=2或3x=-6 x1=
2
3
x2=-2
(3)(x+3)2=4(x-2)2 x+3=±2(x-2) x+3=2(x-2)或x+3=-2(x-2) x+3=2x-4或x+3=-2x+4 x1=7 x2=
1
3
二、配方法
对于任意一个有实数根的一元二次方程,我们都可以通过配方法,转化为能直接开平方的形式,从而达到降次的目的。
例2 用配方法解方程:2x2+5x-3=0
二次项系数化简为“1”得: x2+
5
2
x-
3
2
=0;移项得:x2+
5
2
x=
3
2
;配方得:x2+
5
2
x+
25
16
=
3
2
+
25
16
;分解得:(x+
5
4
)2=
49
16
;開方得:x+
5
4
=±
7
4
; x1=
1
2
x2=-3
因此,我们可以把配方法解一元二次方程的步骤简单概括为:一化,二移,三配,四分,五开,这样用配方法解一元二次方程的问题就迎刃而解。
三、公式法
有了刚才配方的经验,我们可以通过配方法把任何一个有实数根的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化得到求根公式x=,从而代入公
式求出方程的实数根。
例3 用公式法解方程:2x2-7x-4=0
解:a=2、b=7、c=-4 ;b2- 4ac=49+32=81>0;x=;x1=
1
2
x2= -4
对于任意一个有实数根的一元二次方程,我们认为配方与求根公式都是万能的。
四、因式分解法
因式分解法解一元二次方程,是通过因式分解把一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的等号左边的二次式化为两个一次因式积的形式,再根据如果两个因式的积等于零,那么这两个因式中至少有一个为零;反过来如果两个因式中有一个因式为零,那么它们的积就等于零,从而转化为两个一次方程,达到降次的目的。
一般情况下,有公因式的要首先提公因式,最大公因式通常取各项系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积。缺少常数项的一元二次方程,形如ax2+bx =0(a≠0)适合用提公因式法x(ax+b)=0,从而x=0或ax+b=0;缺少一次项的一元二次方程ax2+c=0(a≠0)且ac<0这适合用平方差公式分解;不缺项的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若能因式分解,我们通常考虑提公因式、完全平方公式或十字相乘法来因式分解。
例4 解下列方程:
(1)3x2+4x=0 (2)4x2-9=0 (3)4x2+12x+9=0 (4)x2+6x-16=0
解:(1)3x2+4x=0 X(3x+4)=0 x=o或3x+4=0 x1=0 x2=-
4
3
(2)4x2-9=0 (2x+3)(2x-3)=0 2x+3=0或2x-3=0 x1=-
3
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x2=
3
2
(3)4x2+12x+9=0 (2x+3)2=0 2x+3=0 x1=x2=-
3
2
(4)x2+6x-16=0 (x+8)(x-2)=0 x+8=0或x-2=0 x1=-8 x2=2
我们实际解一元二次方程,解法的一般顺序为(1)直接开平方法;(2)因式分解法;(3)公式法;(4)配方法。究竟选择什么解法合适呢?对于一个一元二次方程,能否用直接开平方法解一目了然,关键是不能直接开平方的一元二次方程,我们如何选择解法,其实也很简单,我们只将方程化为一般形式,ax2+bx+c=0,计算它的b2-4ac,若b2-4ac,能开得尽平方,该方程适合用因式分解法,若开平方开不尽可以选择公式法,通常在指定用配方法的要求下我们才选择配方法。
例5 选择适当的方法解方程:
(1)3x2-10x+3=0
(2)2x2+6x-3=0
分析:观察方程(1),计算b2-4ac=64,能开平方得尽方,所以选择用因式分解法,方程(2)计算b2-4ac=36+24=60开平方开不尽,我们选择公式法。
解:(1)3x2-10x+3=0 (3x-1)(x-3)=0 3x-1=0或x-3=0 x1=
1
3
x 2=3
(2)2x2+6x-3=0 a=2、b=6、
c=-3 x= x1=
x2=
当然,也不是所有的方程配方法都是最麻烦的。
例6 解方程x2-2x-288=0
解:x2-2x-288=0 x2-2x=288 x2-2x+1=289(x-1)2=289 x-1=±17 x1=18 X2=-16
该方程虽然用因式分解法,公式法都能解决,但是配方法也可以视为一个较合适的方法。
在实际的解题过程中,不一定局限于这些方法,结合不同形式的方程,灵活选择合适的方法。
以上是我对一元二次方程解法及解法选择的肤浅认识,在解方程的过程中,我们应该结合方程的特点和自身的实际情况选择合适的解法。