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【摘 要】数学中的一题多解对训练人的开阔性视野、开发智力、启迪思维都大有裨益。高等数学是大学生的必修知识,已经成为高校学生通识教育的组成部分。本文探析高等数学积分中的一题多解方法,通过多解演算,可加深对积分问题的理解,培养初学者的学习兴趣,逐步掌握常用解题方法及基本解题规律,不断提高分析问题和解决问题的能力,培养举一反三、触类旁通的解题本领。
【关键词】高等数学;积分学;一题多解;方法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089(2019)13-0029-02
一、一题多解的内涵
数学是现代科学技术的语言和工具。一个学生的数学素质是他文化素质中的核心部分,居于学生认知结构的顶端,是学生智力因素的基础。怎样才能更快更好的学习数学?首先要深入理解、牢固掌握、灵活运用数学概念、公式、法则、定理、性质;其次要熟练掌握各种数学方法和解题技能、技巧;最后要沟通数学知识点之间和方法之间的联系。要做到以上三点,最有效的方法就是培养一题多解能力。
二、积分一题多解的思路
高等数学积分运算中对变量的处理方法,更能培养出一题多解对大学生启迪思维的灵敏度(快),清晰度(准),广泛度(活)。通过多种解题方式的变化,引导学生突破固有的思维定式和解题思路,不是单一追求解出答案即可,而是尽可能去寻找不同的解题方法,掌握多个思维模式,积累总结解题经验,达到殊途同归的效果,这才是一题多解对学生应该起到的启智效果。积分与导数、微分密切相关,一方面,积分就是微分的逆运算,另一方面,积分也是一种极限,它同导数有着紧密的联系。总之,积分是高等数学中最重要、最基本的运算形式。
下面部分笔者从积分学中选取典型的一题多解的案例,体现其中的内涵,在解题过程中,凡出现的函数(无论是被积函数还是原函数),均认为是在有意义的定义域内进行的。在一般情况下,函数定义域是容易被确定的,因此题解中,就不再予以一一指明。
三、积分的一题多解案例分析
例1 求不定积分∫a2-x2dx(a>0);
解2 当0≤x≤1时,有xn-1≥xn,所以xn-11-x2≥xn1-x2,由积分的保号性,可得,所以数列{an}单调递减,因为需
要得到递推关系,并且是与n相关的积分,因此对积分考虑分部积分法,于是有
(2)由(1)可知an≤an-1 ,从而anan-1≤1并且anan-2=n-1n+2≤an-1an-2 由此可得limn→∞n-1n+2=1≤limn→∞an-1an-2=limn→∞anan-1≤1
所以由迫敛性可得limn→∞anan-1=1.
例4 求不定积分;
说明:以上各种解法的结果形式上并不完全相同,其实它们仅相差一个常数,这是由于积分时所用的求解方法不同,就可以得到不同形式的积分函数.上面几种解法说明,对于无理函数的求原函数问题,可以通过各种不同的变量代换求得.
积分学的第二个基本概念,就是定积分概念。它和一些重要概念一样,也是从人的实际需要而产生的;反过来,它是解决许多实际问题最有力的工具。
例5 求半径为的圆面积;
解法1 如图2所示,将圆心选为坐标原点,则圆的直角坐标为x2+y2=R2,圆在第一象限的部分是由y=R2-x2及x=0,x=R和x轴所成的曲边梯形,
其面积为∫R0R2-x2dx又由圆的对称性,知圆的面积为S=4∫R0R2-x2dx,現在求圆的面积S.令x=Rsint,则dx=Rcostdt.且当x=0时,t=0;当x=R时,t=π2 于是
解法2圆的参数方程为于是由参数方程求曲边梯形的面积公式得
解法3(应用极坐标求解)
选取坐标原点0为极点,x轴为极轴,则圆的极坐标方程为
r=r(θ)=R(0≤θ≤2π)由求曲边扇形面积公式
得
解法4(应用平面面积作为曲线积分方法)
由公式得
通过以上高等数学积分中的典型一题多解实例,可以看出求积分的基本方法主要有:基本积分表法;分项积分法;凑微分法;换元积分法;分部积分法;万能代换法;某积分的递推公式法;欧拉公式法;欧拉代换法等,对具体题目不能局限于一个方法或一个公式,应该广开思路,灵活运用不同的知识点,技巧以及方法和公式,通过纵横发散、知识串联、综合沟通,达到举一反三、融会贯通,这样才能得心应手地分析和解决一题多解的问题。
参考文献
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.
作者简介:王正光,副教授,工学硕士,云南财经职业学院基础部教师。
【关键词】高等数学;积分学;一题多解;方法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089(2019)13-0029-02
一、一题多解的内涵
数学是现代科学技术的语言和工具。一个学生的数学素质是他文化素质中的核心部分,居于学生认知结构的顶端,是学生智力因素的基础。怎样才能更快更好的学习数学?首先要深入理解、牢固掌握、灵活运用数学概念、公式、法则、定理、性质;其次要熟练掌握各种数学方法和解题技能、技巧;最后要沟通数学知识点之间和方法之间的联系。要做到以上三点,最有效的方法就是培养一题多解能力。
二、积分一题多解的思路
高等数学积分运算中对变量的处理方法,更能培养出一题多解对大学生启迪思维的灵敏度(快),清晰度(准),广泛度(活)。通过多种解题方式的变化,引导学生突破固有的思维定式和解题思路,不是单一追求解出答案即可,而是尽可能去寻找不同的解题方法,掌握多个思维模式,积累总结解题经验,达到殊途同归的效果,这才是一题多解对学生应该起到的启智效果。积分与导数、微分密切相关,一方面,积分就是微分的逆运算,另一方面,积分也是一种极限,它同导数有着紧密的联系。总之,积分是高等数学中最重要、最基本的运算形式。
下面部分笔者从积分学中选取典型的一题多解的案例,体现其中的内涵,在解题过程中,凡出现的函数(无论是被积函数还是原函数),均认为是在有意义的定义域内进行的。在一般情况下,函数定义域是容易被确定的,因此题解中,就不再予以一一指明。
三、积分的一题多解案例分析
例1 求不定积分∫a2-x2dx(a>0);
解2 当0≤x≤1时,有xn-1≥xn,所以xn-11-x2≥xn1-x2,由积分的保号性,可得,所以数列{an}单调递减,因为需
要得到递推关系,并且是与n相关的积分,因此对积分考虑分部积分法,于是有
(2)由(1)可知an≤an-1 ,从而anan-1≤1并且anan-2=n-1n+2≤an-1an-2 由此可得limn→∞n-1n+2=1≤limn→∞an-1an-2=limn→∞anan-1≤1
所以由迫敛性可得limn→∞anan-1=1.
例4 求不定积分;
说明:以上各种解法的结果形式上并不完全相同,其实它们仅相差一个常数,这是由于积分时所用的求解方法不同,就可以得到不同形式的积分函数.上面几种解法说明,对于无理函数的求原函数问题,可以通过各种不同的变量代换求得.
积分学的第二个基本概念,就是定积分概念。它和一些重要概念一样,也是从人的实际需要而产生的;反过来,它是解决许多实际问题最有力的工具。
例5 求半径为的圆面积;
解法1 如图2所示,将圆心选为坐标原点,则圆的直角坐标为x2+y2=R2,圆在第一象限的部分是由y=R2-x2及x=0,x=R和x轴所成的曲边梯形,
其面积为∫R0R2-x2dx又由圆的对称性,知圆的面积为S=4∫R0R2-x2dx,現在求圆的面积S.令x=Rsint,则dx=Rcostdt.且当x=0时,t=0;当x=R时,t=π2 于是
解法2圆的参数方程为于是由参数方程求曲边梯形的面积公式得
解法3(应用极坐标求解)
选取坐标原点0为极点,x轴为极轴,则圆的极坐标方程为
r=r(θ)=R(0≤θ≤2π)由求曲边扇形面积公式
得
解法4(应用平面面积作为曲线积分方法)
由公式得
通过以上高等数学积分中的典型一题多解实例,可以看出求积分的基本方法主要有:基本积分表法;分项积分法;凑微分法;换元积分法;分部积分法;万能代换法;某积分的递推公式法;欧拉公式法;欧拉代换法等,对具体题目不能局限于一个方法或一个公式,应该广开思路,灵活运用不同的知识点,技巧以及方法和公式,通过纵横发散、知识串联、综合沟通,达到举一反三、融会贯通,这样才能得心应手地分析和解决一题多解的问题。
参考文献
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.
作者简介:王正光,副教授,工学硕士,云南财经职业学院基础部教师。