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【摘 要】数列是高中数学知识的重要内容，它是一种特殊的函数，具有较为多变的性质以及题目类型。近年来关于解题错误的研究非常多，本文主要分析在高中数列学习中，常见的一些错误类型，以及错误的修正策略，使教师以后的教学更具针对性，学生能够更好的完善数列这一模块的知识体系。
【关键词】高中数学；数列；易错类型；策略
数列是高中数学学习的基础内容，它是体现函数离散现象的一个数学模型。同时，数列也是一项特殊的函数，对于学生理解函数性质有着重要的作用。在高考的试题中，数列也是常见的易考对象，它与方程、函数、不等式、概率等内容综合出题，具有多变的考题模式，学生在处理数列问题时也经常出现一些错误。
1.数列的定义
在大学高等数学中，我们这样定义数列：
若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f：N+→R或f（n），n∈N+为数列。因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f（n）也可写作a1，a2，…，an，…或简单地记为{an}，其中称an为该数列的通项。
而在高中数学的学习中，数列的定义可以这样表述：
数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函数，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2.数列解题的易错点
2.1对数列的概念理解不准而致错
例1已知数列{an}是递推数列，且对于任意的n∈N+，an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是____。
错解 因为an=n2+λn是关于n的二次函数，且n≥1，所以-≤1，解得λ≥-2。
错因分析 数列是以正整数N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数，因此它的图像只是一些孤立的点。
正解
正解一：因为an=n2+λn，其图像的对称轴为n=-，由数列{an}是单调递增函数列有-≤1，得λ≥-2。当2-（-）>--1，即λ>-3时，数列{an}也是单调递增的。故λ的取值范围为{λ|λ≥2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}，即λ>-3为所求取值范围。
正解二：因为数列{an}是单调递增数列，所以an+1-an>0（n∈N+）恒成立，又an=n2+λn，（n∈N+），所以（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）>0恒成立，即2n+1+λ>0。所以λ>-（2n+1）（n∈N+）恒成立。而n∈N+时，-（2n+1）的最大值为-3（n=1时），所以λ>-3即为所求范围。
反思 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意到數列定义域是{1，2，3，4，…，n，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错。
2.2忽视公式an=Sn-Sn-1的适用条件导致错误
例2设数列[an]的前n项和Sn=3n2-n+2（n∈N+），求{an}的通项公式
错解 ∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4
错因分析 求数列的通向公式是本章最常见的问题，此处的易错之处是：根据数列的前n项的特征归纳数列的通项公式时，考虑不全面而出错；或者在利用前n项和公式求通项时没有检验n=1的情况而出错；或者对通项公式理解不够透彻而出错。避免出现这些错误的方法就是验证，本例正是由于没有检验n=1的情况才导致了错误。
正解 当n>2时，∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4；当n=1时，a1=S1=4，不满足上式。∴数列{an}的通项公式为an=4（n=1）
6n-4（n≥2）
2.3错用等差数列的性质导致错误
例3设{an}是等差数列，ap=q，aq=p（p≠q），试求ap+q。
错解 ∵{an}是等差数列，∴ap+q=aP+aq=p+q。
错因分析 在运用等差数列的性质时，由于理解不深刻，从而出现性质混淆、乱用的现象。解决方法是对性质进行正面来加深对它们的理解，尤其是在运用“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N+）”的性质时，必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。如：
a15≠a7+a8，a7+a8=a6+a9，a1+a21≠a22，a1+a21=2a11
正解
正解一：设公差为d，则ap=aq+（p-q）d，
∴d===-1
∴ap+q=ap+（q+p-p）d=q+q×（-1）=0
2.4混淆等差数列的性质与前n项和的性质导致错误
例4在等差数列{an}中，已知S6=10，S24=24，求S18
错解 在等差数列{an}中，S6，S12，S18成等差数列，∴2S12=S6+S18即2×24=10+S18，∴S18=38
错因分析 在等差数列中，下标成等差数列的项仍成等差数列，即ak，a2k，a3k仍成等差数列，但Sk，S2k，S3k不一定成等差数列，应是Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列。混淆上述性质，容易造成错误。本例中，虽然下标6，12，18成等差数列，但S6，S12，S18不成等差数列，应是连续6项的和，即S6，S12-S6，S18-S12成等差数列。
正解 在等差数列{an}中，因为S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，所以2（S12-S6）=S6+S18-S12，即2×（24-10）=10+S18-24，解得S18=42
反思 等差数列具有一些特殊的性质，有些可以延伸到等差数列前n项和中，但是特别的，并不能类比在等差数列前n项和中使用，这样容易出现性质应用中的错误。
3.解题策略
3.1牢记定义、公式，灵活运用性质
3.2运用数学思想方法，总结归题目解类型
【参考文献】
[1]贾鹏云.高中数学数列教学设计的实践探讨[J].新课程学习（综合），2010（11）
[2]高东.高中数学数列教学探讨[J].语数外学习：数学教育，2013（5）
[3]向正凡.辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究[D].湖南师范大学，2006：6-36
[4]武坚.中学生数学学习中常见错误的分析和研究[D].云南师范大学，2006：12-27
[5]黄敏.初中数学易错题分析及应对策[J].读与写杂志，2009.6（12）：126-127
（吉林师范大学教育科研振兴基金重点研究项目——基于教师专业发展的职前培养与职后培训的一体化模式创新研究（jsjkzx201402））
【关键词】高中数学；数列；易错类型；策略
数列是高中数学学习的基础内容，它是体现函数离散现象的一个数学模型。同时，数列也是一项特殊的函数，对于学生理解函数性质有着重要的作用。在高考的试题中，数列也是常见的易考对象，它与方程、函数、不等式、概率等内容综合出题，具有多变的考题模式，学生在处理数列问题时也经常出现一些错误。
1.数列的定义
在大学高等数学中，我们这样定义数列：
若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f：N+→R或f（n），n∈N+为数列。因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f（n）也可写作a1，a2，…，an，…或简单地记为{an}，其中称an为该数列的通项。
而在高中数学的学习中，数列的定义可以这样表述：
数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函数，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2.数列解题的易错点
2.1对数列的概念理解不准而致错
例1已知数列{an}是递推数列，且对于任意的n∈N+，an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是____。
错解 因为an=n2+λn是关于n的二次函数，且n≥1，所以-≤1，解得λ≥-2。
错因分析 数列是以正整数N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数，因此它的图像只是一些孤立的点。
正解
正解一：因为an=n2+λn，其图像的对称轴为n=-，由数列{an}是单调递增函数列有-≤1，得λ≥-2。当2-（-）>--1，即λ>-3时，数列{an}也是单调递增的。故λ的取值范围为{λ|λ≥2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}，即λ>-3为所求取值范围。
正解二：因为数列{an}是单调递增数列，所以an+1-an>0（n∈N+）恒成立，又an=n2+λn，（n∈N+），所以（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）>0恒成立，即2n+1+λ>0。所以λ>-（2n+1）（n∈N+）恒成立。而n∈N+时，-（2n+1）的最大值为-3（n=1时），所以λ>-3即为所求范围。
反思 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意到數列定义域是{1，2，3，4，…，n，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错。
2.2忽视公式an=Sn-Sn-1的适用条件导致错误
例2设数列[an]的前n项和Sn=3n2-n+2（n∈N+），求{an}的通项公式
错解 ∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4
错因分析 求数列的通向公式是本章最常见的问题，此处的易错之处是：根据数列的前n项的特征归纳数列的通项公式时，考虑不全面而出错；或者在利用前n项和公式求通项时没有检验n=1的情况而出错；或者对通项公式理解不够透彻而出错。避免出现这些错误的方法就是验证，本例正是由于没有检验n=1的情况才导致了错误。
正解 当n>2时，∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4；当n=1时，a1=S1=4，不满足上式。∴数列{an}的通项公式为an=4（n=1）
6n-4（n≥2）
2.3错用等差数列的性质导致错误
例3设{an}是等差数列，ap=q，aq=p（p≠q），试求ap+q。
错解 ∵{an}是等差数列，∴ap+q=aP+aq=p+q。
错因分析 在运用等差数列的性质时，由于理解不深刻，从而出现性质混淆、乱用的现象。解决方法是对性质进行正面来加深对它们的理解，尤其是在运用“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N+）”的性质时，必须是两项相加等于两项相加，否则不成立。如：
a15≠a7+a8，a7+a8=a6+a9，a1+a21≠a22，a1+a21=2a11
正解
正解一：设公差为d，则ap=aq+（p-q）d，
∴d===-1
∴ap+q=ap+（q+p-p）d=q+q×（-1）=0
2.4混淆等差数列的性质与前n项和的性质导致错误
例4在等差数列{an}中，已知S6=10，S24=24，求S18
错解 在等差数列{an}中，S6，S12，S18成等差数列，∴2S12=S6+S18即2×24=10+S18，∴S18=38
错因分析 在等差数列中，下标成等差数列的项仍成等差数列，即ak，a2k，a3k仍成等差数列，但Sk，S2k，S3k不一定成等差数列，应是Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列。混淆上述性质，容易造成错误。本例中，虽然下标6，12，18成等差数列，但S6，S12，S18不成等差数列，应是连续6项的和，即S6，S12-S6，S18-S12成等差数列。
正解 在等差数列{an}中，因为S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，所以2（S12-S6）=S6+S18-S12，即2×（24-10）=10+S18-24，解得S18=42
反思 等差数列具有一些特殊的性质，有些可以延伸到等差数列前n项和中，但是特别的，并不能类比在等差数列前n项和中使用，这样容易出现性质应用中的错误。
3.解题策略
3.1牢记定义、公式，灵活运用性质
3.2运用数学思想方法，总结归题目解类型
【参考文献】
[1]贾鹏云.高中数学数列教学设计的实践探讨[J].新课程学习（综合），2010（11）
[2]高东.高中数学数列教学探讨[J].语数外学习：数学教育，2013（5）
[3]向正凡.辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究[D].湖南师范大学，2006：6-36
[4]武坚.中学生数学学习中常见错误的分析和研究[D].云南师范大学，2006：12-27
[5]黄敏.初中数学易错题分析及应对策[J].读与写杂志，2009.6（12）：126-127
（吉林师范大学教育科研振兴基金重点研究项目——基于教师专业发展的职前培养与职后培训的一体化模式创新研究（jsjkzx201402））