函数的值域和最值的求法是高中数学的一个重点内容，求函数的值域或函数的最值，以及运用函数的值域和最值解决与函数相关的数学综合问题是我们必须关注的一个重点和难点.这类问题在近几年的高考试题中频繁出现，特别是导数知识和三角函数的加入，更让函数的最值问题焕发新的活力．在题型设计上，不仅有以函数性质面目出现的填空题，也有侧重于函数思想综合应用的解答题.这些问题主要考查学生运用函数性质分析问题和解决问题的能力，难度一般来说中等偏上.解决这类问题要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．
　　一、求函数值域和最值的常用方法
　　求函数的值域或最值时，要熟悉求函数值域的几种方法（如配方法、换元法、图象法等），函数的值域问题通常转化为最值问题，要注意基本不等式和函数单调性的应用，还要考虑到定义域对值域的制约作用．
　　例1 [JP3]求下列函数的值域或最值．（1）函数y=-x2+2x+3，x∈[-1,2]的最小值为；（2）函数y=log2(x+1)+x，x∈[1,2]的值域为；（3）函数y=x+23x-4的值域为；（4）函数y=x+12x(x≤-12)的最大值为．
　　解:（1）函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，又x∈[-1,2]，作出函数图象，知当x＝－1时，函数y=-x2+2x+3取得最小值0．
　　（2）∵函数y=log2(x+1)+x的定义域为[1,2]，又函数在其定义域上是增函数，∴函数y=log2(x+1)+x的值域为y∈[2,2+log23]．
　　（3）解法1：∵y=x+23x-4=13(3x-4)+1033x-4，根据函数y=kx的性质，可知上式中y≠13，∴函数y=x+23x-4的值域为{x|y≠13,y∈R}．
　　解法2：∵y=x+23x-4=x-(-2)3(x-43)，∴y表示点(43,-2)与点（x，x）连线斜率的13倍．由图可知，函数y=x+23x-4的值域为{x|y≠13,y∈R}． 
　　[TPS24.TIF;X*2,BP]
　　[JP5]（4）函数y=x+12x=-((-x)+12(-x))≤-212=-2，当-x=12(-x)，即x=-22时等号成立．∴y=x+12x(x≤-12)的最大值为-2．
　　点拨：值域的求法多种多样，数学知识联系较为密切，每个题可有多种解法，要注意积累．配方法、单调函数法、数形结合法和基本不等式法是解决函数的值域或最值问题常见的处理手段，我们解题时要根据题目的具体情况灵活选择适当的方法.如本题中的第1小题用配方法，第2小题采用函数单调性求解，第3小题的解法二则是选用数形结合和函数的几何意义相结合的方法，而第4小题应用基本不等式来解就比较方便．
　　
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