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【摘要】空间轨迹问题打破了传统同类题型的界限，它把轨迹放在空间内讨论，因此学生比较陌生。其实此类问题只不过是“纸老虎”，它们起点看似很高，落脚点其实很低，可以合理地转化到学生熟悉的平面轨迹问题来探求。笔者就以此文来浅析如何有效转化。
【关键词】转化；几何性质；向量；特殊点
伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，它具有新颖性、综合性。在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”。这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，抽象性强，学生求解起来颇感困难，造成得分率偏低，令人惋惜。本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法。
1 分析动点满足的几何性质
通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，寻求突破。
1.1 利用线面垂直关系
【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，在运动过程中，保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
分析：因为AP在运动中要与BD1保持垂直，所以转化为求AP运动所形成的面与BD1垂直，易证BD1⊥面AB1C，答案就是面AB1C与面BCC1B1的交线，故选A。
1.2 联想圆的定义
【例2】如图△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是( )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
解：∵AD⊥α，BC⊥α，∴AD//BC且∠CPB=DAP=90°，又∠CPB=∠APD，故Rt△CBP□Rt△DAP，由PAPB=ADBC=48=12在平面PAB内，设立以AB所在直线为X轴，AB的中点为坐标原点的平面直角坐标系。设P(x，y)则(x+3)2+y2(x-3)2+y2=12，化简得x2+y2+10x+9=0，注意到点P不在直线AB上，故除掉y≠0选A。
1.3 联想抛物线的定义
【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
A.直线
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
分析：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等。故根据抛物线的定义，可知是答案C。
1.4 联想球面的定义
【例4】如图，已知正方形ABCD-A1B1C1D的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在底面ABCD上运动，则MN中点的轨迹的面积是( )
A.4π
B.π
C.2π
D.π2
分析：充分利用MN的长度不变，△MND是直角三角形，P点为斜边MN的中点，因此DP=12MN=1。故P点的轨迹是以D为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分。分析可得，点P和棱AD、DC、DD1均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选D。
2 利用向量工具
按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感。
【例5】一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线m、n运动，求它的中点的轨迹。
分析：由MN为m、n、的公垂线段，则MN与m、n两两垂直。如图，以N点为原点，直线n为x轴，直线NM为z轴，以过点N所作直线m的平行线为y轴，建立空间直角坐标系。
设MN=c，A(0，a，c)，B(b，0，0)，则AB=a2+b2+c2，得P点坐标为b2，a2，c2，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量。因此P点必在MN的垂直平分面上，取MN的中点O，则O0，0，c2 OP=b22+a22
=b22+a22+c22-c22
=12(b2+a2+c2)-c2
=12AB2-NM2
所以P点在以O为圆心，12AB2-NM2为半径的圆上。故P点的轨迹是把MN垂直平分的一个平面上的一个圆。
3 利用特殊点定位
把问题的形式先推向特殊化，归纳出结论，然后证明特殊化的结论适合一般情况，即先猜想后证明的方法。
【例6】如图所示，在三棱锥A-BCD中，P为CD的中点，动点M在侧面ABD上运动，且保持PM∥平面ABC。求动点M的轨迹。
分析：先寻求它的特殊位置。当点M在BD边上时，由PM∥平面ABC可得PM∥BC，此时点M是BD边的中点Q。当动点M在AD边上时，同理可得PM∥AC，此时点M是AD边的中点R。于是猜想动点M的轨迹为中位线RQ。实际上此题就转化为证明面PRQ//面ABC，由PM面PQR得PM//面ABC故命题得证。
探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到平面几何和平面解析几何的过渡。以上是笔者在处理此类问题教学中的几种方法，愿与各位同仁共同探讨。
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【关键词】转化；几何性质；向量；特殊点
伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，它具有新颖性、综合性。在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”。这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，抽象性强，学生求解起来颇感困难，造成得分率偏低，令人惋惜。本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法。
1 分析动点满足的几何性质
通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，寻求突破。
1.1 利用线面垂直关系
【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，在运动过程中，保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
分析：因为AP在运动中要与BD1保持垂直，所以转化为求AP运动所形成的面与BD1垂直，易证BD1⊥面AB1C，答案就是面AB1C与面BCC1B1的交线，故选A。
1.2 联想圆的定义
【例2】如图△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是( )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
解：∵AD⊥α，BC⊥α，∴AD//BC且∠CPB=DAP=90°，又∠CPB=∠APD，故Rt△CBP□Rt△DAP，由PAPB=ADBC=48=12在平面PAB内，设立以AB所在直线为X轴，AB的中点为坐标原点的平面直角坐标系。设P(x，y)则(x+3)2+y2(x-3)2+y2=12，化简得x2+y2+10x+9=0，注意到点P不在直线AB上，故除掉y≠0选A。
1.3 联想抛物线的定义
【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
A.直线
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
分析：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等。故根据抛物线的定义，可知是答案C。
1.4 联想球面的定义
【例4】如图，已知正方形ABCD-A1B1C1D的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在底面ABCD上运动，则MN中点的轨迹的面积是( )
A.4π
B.π
C.2π
D.π2
分析：充分利用MN的长度不变，△MND是直角三角形，P点为斜边MN的中点，因此DP=12MN=1。故P点的轨迹是以D为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分。分析可得，点P和棱AD、DC、DD1均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选D。
2 利用向量工具
按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感。
【例5】一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线m、n运动，求它的中点的轨迹。
分析：由MN为m、n、的公垂线段，则MN与m、n两两垂直。如图，以N点为原点，直线n为x轴，直线NM为z轴，以过点N所作直线m的平行线为y轴，建立空间直角坐标系。
设MN=c，A(0，a，c)，B(b，0，0)，则AB=a2+b2+c2，得P点坐标为b2，a2，c2，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量。因此P点必在MN的垂直平分面上，取MN的中点O，则O0，0，c2 OP=b22+a22
=b22+a22+c22-c22
=12(b2+a2+c2)-c2
=12AB2-NM2
所以P点在以O为圆心，12AB2-NM2为半径的圆上。故P点的轨迹是把MN垂直平分的一个平面上的一个圆。
3 利用特殊点定位
把问题的形式先推向特殊化，归纳出结论，然后证明特殊化的结论适合一般情况，即先猜想后证明的方法。
【例6】如图所示，在三棱锥A-BCD中，P为CD的中点，动点M在侧面ABD上运动，且保持PM∥平面ABC。求动点M的轨迹。
分析：先寻求它的特殊位置。当点M在BD边上时，由PM∥平面ABC可得PM∥BC，此时点M是BD边的中点Q。当动点M在AD边上时，同理可得PM∥AC，此时点M是AD边的中点R。于是猜想动点M的轨迹为中位线RQ。实际上此题就转化为证明面PRQ//面ABC，由PM面PQR得PM//面ABC故命题得证。
探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到平面几何和平面解析几何的过渡。以上是笔者在处理此类问题教学中的几种方法，愿与各位同仁共同探讨。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”